ЕГЭ 19-в28. Трёхзначные числа

От /

Трёхзначное число, меньшее 700, поделили на сумму его цифр и получили натуральное число n.

Трёхзначное число, меньшее 700, делённое на сумму цифр

Условие задачи

Трёхзначное число, меньшее 700, поделили на сумму его цифр и получили натуральное число \( n \).

а) Может ли \( n \) равняться 64?

б) Может ли \( n \) равняться 78?

в) Какое наибольшее значение может принимать \( n \), если все цифры ненулевые?

Теоретическая основа решения

Обозначения:

Пусть трёхзначное число имеет вид \( A = 100a + 10b + c \), где \( a \in \{1,\dots,9\} \), \( b,c \in \{0,\dots,9\} \).

Сумма его цифр: \( S = a + b + c \).

По условию: \( \dfrac{A}{S} = n \in \mathbb{N} \), то есть \( A = n \cdot S \).

Ключевые ограничения:

  1. Диапазон числа: \( 100 \leq A < 700 \)
  2. Цифры ненулевые (в пункте в): \( a,b,c \in \{1,\dots,9\} \)
  3. Минимальная сумма цифр: при ненулевых цифрах — \( S_{\min} = 3 \)
  4. Максимальная сумма цифр: \( S_{\max} = 27 \)
  5. Оценка сверху для \( n \): \( n = A / S < 700 / 3 \approx 233 \), но реальный максимум гораздо меньше.

Решение задачи

Общий метод:

  1. Для заданного \( n \) рассмотреть уравнение \( A = n \cdot S \), где \( S \) — сумма цифр \( A \).
  2. Перебрать возможные значения \( S \), вычислить \( A = n \cdot S \).
  3. Проверить, что \( A < 700 \) и сумма цифр \( A \) действительно равна \( S \).
  4. Для пункта (в) дополнительно требовать, чтобы все цифры были ненулевыми.

а) Может ли \( n = 64 \)?

  1. Ограничим диапазон \( S \):
    \( A = 64S < 700 \) ⇒ \( S \leq \lfloor 699/64 \rfloor = 10 \).
  2. Перебираем значения \( S \):
    При \( S = 10 \): \( A = 64 \cdot 10 = 640 \).
  3. Проверяем сумму цифр:
    \( S(640) = 6 + 4 + 0 = 10 \) — совпадает!
  4. Проверяем условия:
    \( 640 < 700 \) ✓, \( 640 / 10 = 64 \) ✓

Ответ: ДА, например \( A = 640 \)

б) Может ли \( n = 78 \)?

  1. Ограничим диапазон \( S \):
    \( A = 78S < 700 \) ⇒ \( S \leq \lfloor 699/78 \rfloor = 8 \).
  2. Теоретическое обоснование:
    По свойству суммы цифр: \( A \equiv S \pmod{9} \).
    Но \( A = 78S \equiv 6S \pmod{9} \) (т.к. \( 78 \equiv 6 \pmod{9} \)).
    Получаем: \( 6S \equiv S \pmod{9} \) ⇒ \( 5S \equiv 0 \pmod{9} \) ⇒ \( S \equiv 0 \pmod{9} \).
    В диапазоне [2, 8] нет чисел, кратных 9.
  3. Вывод: решений нет.

Ответ: НЕТ

в) Наибольшее \( n \) при ненулевых цифрах

  1. Формулировка задачи:
    Найти максимум \( n = A/S \), где:
    \( A = 100a + 10b + c < 700 \),
    \( a,b,c \in \{1,\dots,9\} \) (нет нулей),
    \( S = a + b + c \),
    \( A \) делится на \( S \).
  2. Стратегия:
    Чтобы максимизировать \( n \), нужно минимизировать \( S \) и максимизировать \( A \).
  3. Проверяем \( S = 7 \):
    Возможные числа с суммой 7 и без нулей:
    511, 520(ноль), 502(ноль), 430(ноль), 403(ноль), 340(ноль), 304(ноль), 250(ноль), 205(ноль), 160(ноль), 106(ноль)
    Только 511 подходит: \( 5+1+1=7 \), \( 511/7=73 \).
  4. Проверяем \( n > 73 \):
    Для \( n = 74, 75, \dots, 84 \) проверяем все возможные \( S \).
    Ни для одного значения не нашлось подходящего числа без нулей.
  5. Вывод: максимальное \( n = 73 \).

Проверка числа 511:

Цифры: 5, 1, 1 — все ненулевые ✓

Сумма цифр: \( 5 + 1 + 1 = 7 \)

\( 511 \div 7 = 73 \) — целое число ✓

\( 511 < 700 \) ✓

Ответ: 73

Итоговые ответы:

а) ДА — пример: \( 640 \) (\( 640/10 = 64 \))

б) НЕТ — теоретически невозможно (требуется \( S \equiv 0 \pmod{9} \), но в диапазоне нет таких \( S \))

в) 73 — достигается при числе \( 511 \)

Справочные данные

Числа с высоким \( n \) при ненулевых цифрах и \( A < 700 \):

\( A \) Цифры \( S \) \( n = A/S \)
511 5, 1, 1 7 73
621 6, 2, 1 9 69
612 6, 1, 2 9 68
512 5, 1, 2 8 64
522 5, 2, 2 9 58
412 4, 1, 2 7 58

Важно: Число 640 даёт \( n = 64 \), но содержит ноль, поэтому не подходит для пункта (в).

Число 511 является рекордсменом при условии ненулевых цифр и A < 700 .

Для \( n > 73 \) не существует трёхзначных чисел < 700 с ненулевыми цифрами, удовлетворяющих условию.

Дополнительно

Скачать

Прокрутить вверх