ЕГЭ 19-в35. Трёхзначные числа

От /

Отношение трёхзначного натурального числа к сумме его цифр — целое число.

Отношение трёхзначного числа к сумме его цифр

Условие задачи

Отношение трёхзначного натурального числа к сумме его цифр — целое число.

а) Может ли это отношение быть равным 34?

б) Может ли это отношение быть равным 84?

в) Какое наименьшее значение может принимать это отношение, если первая цифра трёхзначного числа равна 4?

Теоретическая основа решения

Обозначения:

Пусть трёхзначное число имеет вид \( A = 100a + 10b + c \), где \( a \in \{1,\dots,9\} \), \( b,c \in \{0,\dots,9\} \).

Сумма его цифр: \( S = a + b + c \).

По условию: \( n = \dfrac{A}{S} \in \mathbb{N} \), то есть \( A = n \cdot S \).

Ключевые соображения:

  1. Для фиксированного \( n \) перебираем возможные \( S \) и проверяем совпадение суммы цифр числа \( A = n \cdot S \) с \( S \).
  2. Максимальная сумма цифр трёхзначного числа: \( 9+9+9 = 27 \).
  3. Для минимизации \( n \) при фиксированной первой цифре нужно максимизировать \( S \) и одновременно минимизировать \( A \).
  4. При \( a = 4 \): \( A \in [400, 499] \), максимальная сумма \( S = 4+9+9 = 22 \).

Решение задачи

а) Может ли \( n = 34 \)?

  1. Ограничим диапазон \( S \):
    \( A = 34S \) — трёхзначное ⇒ \( 100 \leq 34S \leq 999 \) ⇒ \( S \in [3, 29] \).
  2. Перебираем значения \( S \):
    При \( S = 12 \): \( A = 34 \cdot 12 = 408 \).
  3. Проверяем сумму цифр:
    \( S(408) = 4 + 0 + 8 = 12 \) — совпадает!
  4. Проверяем отношение:
    \( 408 / 12 = 34 \) — целое число.

Ответ: ДА, например \( A = 408 \)

б) Может ли \( n = 84 \)?

  1. Ограничим диапазон \( S \):
    \( A = 84S \leq 999 \) ⇒ \( S \leq \lfloor 999/84 \rfloor = 11 \).
  2. Теоретическое обоснование:
    По свойству суммы цифр: \( A \equiv S \pmod{9} \).
    Но \( A = 84S \equiv 3S \pmod{9} \) (т.к. \( 84 \equiv 3 \pmod{9} \)).
    Получаем: \( 3S \equiv S \pmod{9} \) ⇒ \( 2S \equiv 0 \pmod{9} \) ⇒ \( S \equiv 0 \pmod{9/ \gcd(2,9)} = 9 \).
    В диапазоне [3, 11] только \( S = 9 \).
  3. Проверяем единственное значение:
    \( A = 84 \cdot 9 = 756 \), \( S(756) = 7 + 5 + 6 = 18 \neq 9 \).
  4. Вывод: решений нет.

Ответ: НЕТ

в) Наименьшее \( n \) при первой цифре 4

  1. Форма числа:
    \( A = 400 + 10b + c \), где \( b,c \in \{0,\dots,9\} \).
  2. Максимизируем сумму цифр \( S = 4 + b + c \):
    Максимум \( S = 22 \) (при \( b = c = 9 \)), но \( 499 / 22 \approx 22.68 \) — не целое.
  3. Проверяем \( S = 18 \):
    Возможные числа: 459, 468, 477, 486, 495.
    Только \( 468 \): \( 4+6+8 = 18 \), \( 468 / 18 = 26 \) — целое.
  4. Проверяем меньшие \( n \) (25, 24, …):
    Для \( n = 25 \): \( A = 25S \in [400,499] \) ⇒ \( S \in [16,19] \).
    Ни для одного \( S \) сумма цифр не совпадает с \( S \).
    Аналогично для \( n = 24, 23, 22, 21, 20 \) — решений нет.
  5. Вывод: минимальное целое отношение — 26.

Проверка числа 468:

Цифры: 4, 6, 8 → сумма \( 4+6+8 = 18 \)

\( 468 \div 18 = 26 \) — целое число

Ответ: 26

Итоговые ответы:

а) ДА — пример: \( 408 \) (\( 408/12 = 34 \))

б) НЕТ — теоретически возможно только \( S = 9 \), но \( 756 \to 18 \neq 9 \)

в) 26 — достигается при числе \( 468 \)

Справочные данные

Числа с минимальным отношением при первой цифре 4:

\( A \) Цифры \( S \) \( n = A/S \)
468 4, 6, 8 18 26
448 4, 4, 8 16 28
476 4, 7, 6 17 28
465 4, 6, 5 15 31
444 4, 4, 4 12 37
405 4, 0, 5 9 45

Важно: Для \( n < 26 \) (25, 24, ...) не существует трёхзначных чисел с первой цифрой 4, удовлетворяющих условию.

Минимальное целое отношение при первой цифре 4 — 26 (число 468).

Дополнительно

Скачать

Прокрутить вверх