Отношение трёхзначного натурального числа к сумме его цифр — целое число.
Условие задачи
Отношение трёхзначного натурального числа к сумме его цифр — целое число.
а) Может ли это отношение быть равным 11?
б) Может ли это отношение быть равным 5?
в) Какое наибольшее значение может принимать это отношение, если число не делится на 100 и его первая цифра равна 7?
Теоретическая основа решения
Обозначения:
Пусть трёхзначное число имеет вид \( A = 100a + 10b + c \), где \( a \in \{1,\dots,9\} \), \( b,c \in \{0,\dots,9\} \).
Сумма его цифр: \( S = a + b + c \).
По условию: \( n = \dfrac{A}{S} \in \mathbb{N} \), то есть \( A = n \cdot S \).
Ключевые соображения:
- Для фиксированного \( n \) перебираем возможные \( S \) и проверяем, совпадает ли сумма цифр числа \( A = n \cdot S \) с \( S \).
- Максимальная сумма цифр трёхзначного числа: \( 9+9+9 = 27 \).
- Для максимизации \( n \) при фиксированной первой цифре нужно минимизировать \( S \) и максимизировать \( A \).
- Число не делится на 100 означает, что оно не равно 700 (при первой цифре 7).
Решение задачи
а) Может ли \( n = 11 \)?
-
Ограничим диапазон \( S \):
\( A = 11S \) — трёхзначное ⇒ \( 100 \leq 11S \leq 999 \) ⇒ \( S \in [10, 27] \). -
Перебираем значения \( S \):
При \( S = 18 \): \( A = 11 \cdot 18 = 198 \). -
Проверяем сумму цифр:
\( S(198) = 1 + 9 + 8 = 18 \) — совпадает! -
Проверяем отношение:
\( 198 / 18 = 11 \) — целое число.
Ответ: ДА, например \( A = 198 \)
б) Может ли \( n = 5 \)?
-
Ограничим диапазон \( S \):
\( A = 5S \geq 100 \) ⇒ \( S \geq 20 \).
Максимум \( S = 27 \) ⇒ \( S \in [20, 27] \). -
Теоретическое обоснование:
По свойству суммы цифр: \( A \equiv S \pmod{9} \).
Но \( A = 5S \) ⇒ \( 5S \equiv S \pmod{9} \) ⇒ \( 4S \equiv 0 \pmod{9} \) ⇒ \( S \equiv 0 \pmod{9} \).
В диапазоне [20, 27] только \( S = 27 \). -
Проверяем единственное значение:
\( A = 5 \cdot 27 = 135 \), \( S(135) = 1 + 3 + 5 = 9 \neq 27 \). - Вывод: решений нет.
Ответ: НЕТ
в) Наибольшее \( n \) при первой цифре 7 и числе, не делящемся на 100
-
Форма числа:
\( A = 700 + 10b + c \), где \( (b,c) \ne (0,0) \) (иначе \( A = 700 \) делится на 100). -
Минимизируем сумму цифр \( S = 7 + b + c \):
Минимум \( S = 7 \) достигается только при \( b = c = 0 \) → число 700 запрещено.
Следующий минимум: \( S = 8 \) (числа 701, 710). -
Проверяем \( S = 8 \):
\( 701 / 8 = 87.625 \), \( 710 / 8 = 88.75 \) — не целые. -
Проверяем \( S = 9 \):
Возможные числа: 702, 711, 720.
Все делятся на 9 (признак делимости на 9).
\( 702/9 = 78 \), \( 711/9 = 79 \), \( \mathbf{720/9 = 80} \). -
Проверяем большие \( S \):
При \( S \geq 10 \): максимальное число \( A \leq 799 \) ⇒ \( n = A/S \leq 799/10 = 79.9 < 80 \). - Вывод: максимум достигается при \( A = 720 \), \( n = 80 \).
Проверка числа 720:
Цифры: 7, 2, 0 → сумма \( 7+2+0 = 9 \)
\( 720 \div 9 = 80 \) — целое число
720 не делится на 100 → условие выполнено
Ответ: 80
Итоговые ответы:
а) ДА — пример: \( 198 \) (\( 198/18 = 11 \))
б) НЕТ — теоретически невозможно (требуется \( S \equiv 0 \pmod{9} \), но единственное значение не подходит)
в) 80 — достигается при числе \( 720 \)
Справочные данные
Числа с высоким отношением при первой цифре 7:
| \( A \) | Цифры | \( S \) | \( n = A/S \) |
|---|---|---|---|
| 720 | 7, 2, 0 | 9 | 80 |
| 711 | 7, 1, 1 | 9 | 79 |
| 702 | 7, 0, 2 | 9 | 78 |
| 730 | 7, 3, 0 | 10 | 73 |
| 704 | 7, 0, 4 | 11 | 64 |
| 700 | 7, 0, 0 | 7 | 100 |
Важно: Число 700 даёт отношение \( 700/7 = 100 \), но оно делится на 100 и поэтому исключено условием задачи.
Наибольшее допустимое значение — 80 при числе 720.