ЕГЭ 19-в31. Трёхзначные числа

От /

На доске написаны три различных натуральных числа.

Три числа: сумма цифр и их сумма — Полное пошаговое решение

Условие задачи

На доске написаны три различных натуральных числа. Второе число равно сумме цифр первого, а третье равно сумме цифр второго.

а) Может ли сумма этих чисел быть равна 2022?

б) Может ли сумма этих чисел быть равна 2021?

в) В тройке чисел первое число трёхзначное, а третье равно 2. Сколько существует таких троек?

Теоретическая основа

Обозначения:

  • \( A \) — первое число (натуральное)
  • \( B = S(A) \) — сумма цифр числа \( A \)
  • \( C = S(B) \) — сумма цифр числа \( B \)
  • Все три числа попарно различны.

Теорема о сумме цифр:

Для любого натурального числа \( n \) выполняется сравнение:

\[ n \equiv S(n) \pmod{9} \]

Доказательство: Поскольку \( 10^k \equiv 1 \pmod{9} \) для любого \( k \geq 0 \), то при записи числа в десятичной системе все разряды сравнимы с единицей по модулю 9, откуда и следует утверждение.

Ключевые следствия:

  • \( A \equiv B \equiv C \pmod{9} \) — все три числа сравнимы по модулю 9
  • \( T = A + B + C \equiv 3A \pmod{9} \) — сумма сравнима с утроенным первым числом
  • Возможные остатки \( T \mod 9 \): только \( 0, 3, 6 \)
  • Если \( A \) — трёхзначное, то \( 1 \leq B \leq 27 \), \( 1 \leq C \leq 9 \)

🧮 Калькулятор: количество трёхзначных чисел с заданной суммой цифр

Введите сумму цифр \( s \) и получите количество трёхзначных чисел \( A \), для которых \( S(A) = s \).

Формула: \( A = 100a + 10b + c \), где \( a \in [1,9] \), \( b,c \in [0,9] \), \( a + b + c = s \)
Количество чисел \( A \): 61

Примечание: Для суммы \( s = 11 \) получаем 61 число (как в пункте в), для \( s = 20 \) — 36 чисел.

Пошаговые алгоритмы решения

а) Может ли \( T = 2022 \)?

Цель: найти хотя бы одну тройку \( (A, B, C) \), удовлетворяющую условиям.

  1. Проверим необходимое условие по модулю 9:
    \( 2022 \equiv 2+0+2+2 = 6 \pmod{9} \) — допустимый остаток ✓
  2. Оценим диапазон \( B \).
    Так как \( A \approx 2022 \), это четырёхзначное число.
    Максимальная сумма цифр: \( 9+9+9+9 = 36 \). Реально — \( B \in [10, 30] \).
  3. Выберем пробное \( B \).
    Возьмём \( B = 26 \). Тогда \( C = S(26) = 2 + 6 = 8 \).
  4. Найдём кандидата на \( A \):
    \( A = 2022 — B — C = 2022 — 26 — 8 = 1988 \).
  5. Проверим согласованность:
    \( S(1988) = 1 + 9 + 8 + 8 = 26 = B \) — верно!
  6. Проверим различие чисел:
    \( A = 1988,\ B = 26,\ C = 8 \) — все разные.
  7. Вывод: такая тройка существует.

Ответ: ДА

б) Может ли \( T = 2021 \)?

Цель: доказать, что ни одна тройка не подходит.

  1. Применим теорему о сумме цифр:
    \( A \equiv S(A) = B \pmod{9} \) и \( B \equiv S(B) = C \pmod{9} \).
    Следовательно: \( A \equiv B \equiv C \pmod{9} \).
  2. Выразим сумму по модулю 9:
    \( T = A + B + C \equiv A + A + A = 3A \pmod{9} \).
  3. Определим возможные остатки:
    При любом целом \( A \): \( 3A \mod 9 \in \{0, 3, 6\} \).
  4. Найдём \( 2021 \mod 9 \):
    Сумма цифр: \( 2 + 0 + 2 + 1 = 5 \Rightarrow 2021 \equiv 5 \pmod{9} \).
  5. Сравним с возможными значениями:
    Остаток 5 не принадлежит множеству \( \{0, 3, 6\} \) — противоречие!
  6. Вывод: ни при каком \( A \) сумма не может быть 2021.

Ответ: НЕТ

в) \( A \) — трёхзначное, \( C = 2 \). Сколько троек?

Цель: перечислить все возможные \( B \), затем подсчитать подходящие \( A \).

\( B \) \( S(B) = C \) Допустимо? Обоснование
2 2 ❌ Нет \( B = C \) — нарушает условие различия чисел
11 1+1=2 ✅ Да Все числа различны
20 2+0=2 ✅ Да Все числа различны
  1. Найдём все \( B \leq 27 \), для которых \( S(B) = 2 \):
    Перебираем: \( B = 2,\ 11,\ 20 \).
    Других нет, так как \( 29 > 27 \) и \( S(29) = 11 \neq 2 \).
  2. Исключим \( B = 2 \):
    Тогда \( C = S(2) = 2 \Rightarrow B = C \), но числа должны быть различны.
  3. Остаются \( B = 11 \) и \( B = 20 \).
  4. Подсчитаем количество трёхзначных \( A \) с \( S(A) = 11 \):
    Используйте калькулятор выше: при \( s = 11 \) получаем 61 число.
  5. Подсчитаем количество трёхзначных \( A \) с \( S(A) = 20 \):
    Используйте калькулятор выше: при \( s = 20 \) получаем 36 чисел.
  6. Проверим уникальность:
    \( A \geq 100 \), \( B \in \{11,20\} \), \( C = 2 \) → все три числа автоматически различны.
  7. Сложим результаты:
    \( 61 + 36 = 97 \) допустимых троек.

Ответ: 97

Итоговые ответы:

а) ДА   б) НЕТ   в) 97

Справка: подсчёт трёхзначных чисел с заданной суммой цифр

Пусть \( A = 100a + 10b + c \), где \( a \in [1,9] \), \( b,c \in [0,9] \).
Нужно решить \( a + b + c = s \) при ограничениях.

Формула для количества пар \( (b,c) \) с \( b + c = r \):

  • Если \( 0 \leq r \leq 9 \): количество = \( r + 1 \)
  • Если \( 10 \leq r \leq 18 \): количество = \( 19 — r \)
  • Иначе: 0
Сумма \( s \) Диапазон \( a \) Расчёт Итого
11 \( a = 1..9 \) \( 9+10+9+8+7+6+5+4+3 \) 61
20 \( a = 2..9 \) \( 1+2+3+4+5+6+7+8 \) 36

Важно: Условие «различные числа» исключает только случай \( B = C \).
Так как \( A \geq 100 \), а \( B, C \leq 27 \), других совпадений быть не может.

Дополнительно

Скачать

Прокрутить вверх