В корзине лежит 35 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 18 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 19 грибов хотя бы один груздь. Сколько груздей в корзине?
Исходная задача про грибы (35 грибов)
В корзине лежит 35 грибов: рыжики и грузди.
Известно:
- Среди любых 18 грибов имеется хотя бы один рыжик
- Среди любых 19 грибов имеется хотя бы один груздь
Вопрос: Сколько груздей в корзине?
Пусть Р — количество рыжиков, Г — количество груздей.
«Среди любых 18 грибов есть хотя бы один рыжик»
Это значит, что нельзя выбрать 18 грибов, все из которых грузди.
Значит: груздей меньше 18
«Среди любых 19 грибов есть хотя бы один груздь»
Это значит, что нельзя выбрать 19 грибов, все из которых рыжики.
Значит: рыжиков меньше 19
Из Р ≤ 18 и Р + Г = 35 получаем:
Таким образом: Г ≥ 17
Из шага 2: Г ≤ 17
Из шага 4: Г ≥ 17
Единственное число, которое подходит: Г = 17
- Если груздей 17, а рыжиков 18
- Проверка 1: Любые 18 грибов: максимум можно взять 17 груздей, значит 18-й гриб обязательно будет рыжиком ✓
- Проверка 2: Любые 19 грибов: максимум можно взять 18 рыжиков, значит 19-й гриб обязательно будет груздём ✓
8 типовых задач
Все задачи решаются по единому алгоритму. Нажмите на задачу, чтобы увидеть подробное решение.
Задача про грибы (35 грибов)
В корзине лежит 35 грибов: рыжики и грузди. Среди любых 18 грибов есть хотя бы один рыжик, среди любых 19 грибов — хотя бы один груздь.
Вопрос: Сколько груздей?
Из «любые 18 — есть рыжик»: Г ≤ 17
Нельзя выбрать 18 груздей
Из «любые 19 — есть груздь»: Р ≤ 18
Нельзя выбрать 19 рыжиков
Из Р ≤ 18 и Р + Г = 35: Г ≥ 35 — 18 = 17
Объединяем: 17 ≤ Г ≤ 17 ⇒ Г = 17
Проверка: Г = 17, Р = 18. Оба условия выполняются.
Задача про грибы (32 гриба)
В корзине лежит 32 гриба. Среди любых 23 грибов есть хотя бы один рыжик, среди любых 11 грибов — хотя бы один груздь.
Вопрос: Сколько груздей?
Из «любые 23 — есть рыжик»: Г ≤ 22
Нельзя выбрать 23 груздя
Из «любые 11 — есть груздь»: Р ≤ 10
Нельзя выбрать 11 рыжиков
Из Р ≤ 10 и Р + Г = 32: Г ≥ 32 — 10 = 22
Объединяем: 22 ≤ Г ≤ 22 ⇒ Г = 22
Проверка: Г = 22, Р = 10. Оба условия выполняются.
Задача про фрукты (40 фруктов)
В вазе лежит 40 фруктов: яблоки и груши. Среди любых 17 фруктов есть хотя бы одно яблоко, среди любых 25 фруктов — хотя бы одна груша.
Вопрос: Сколько яблок?
Из «любые 17 — есть яблоко»: Груш ≤ 16
Нельзя выбрать 17 груш
Из «любые 25 — есть груша»: Яблок ≤ 24
Нельзя выбрать 25 яблок
Из Я ≤ 24 и Я + Гр = 40: Груш ≥ 40 — 24 = 16
Объединяем: 16 ≤ Груш ≤ 16 ⇒ Груш = 16
Яблок = 40 — 16 = 24
Проверка: Я = 24, Гр = 16. Оба условия выполняются.
Задача про книги (30 книг)
На полке 30 книг: учебники и художественные. Среди любых 12 книг есть хотя бы один учебник, среди любых 20 книг — хотя бы одна художественная.
Вопрос: Сколько учебников?
Из «любые 12 — есть учебник»: Художественных ≤ 11
Нельзя выбрать 12 художественных книг
Из «любые 20 — есть художественная»: Учебников ≤ 19
Нельзя выбрать 20 учебников
Из У ≤ 19 и У + Х = 30: Художественных ≥ 30 — 19 = 11
Объединяем: 11 ≤ Художественных ≤ 11 ⇒ Художественных = 11
Учебников = 30 — 11 = 19
Проверка: У = 19, Х = 11. Оба условия выполняются.
Задача про конфеты (40 конфет)
В вазе 40 конфет: шоколадные и карамельки. Среди любых 15 конфет есть хотя бы одна шоколадная, среди любых 28 конфет — хотя бы одна карамелька.
Вопрос: Сколько карамелек?
Из «любые 15 — есть шоколадная»: Карамелек ≤ 14
Нельзя выбрать 15 карамелек
Из «любые 28 — есть карамелька»: Шоколадных ≤ 27
Нельзя выбрать 28 шоколадных конфет
Из Ш ≤ 27 и Ш + К = 40: Карамелек ≥ 40 — 27 = 13
Объединяем: 13 ≤ Карамелек ≤ 14
Возможны два варианта: К = 13 или К = 14
Проверка обоих вариантов:
- Если К = 13, то Ш = 27
- Если К = 14, то Ш = 26
Оба варианта удовлетворяют условиям.
Оба значения удовлетворяют всем условиям задачи.
Задача про билеты (100 билетов)
В кассе 100 билетов: в партер и на балкон. Среди любых 41 билета есть хотя бы один в партер, среди любых 66 билетов — хотя бы один на балкон.
Вопрос: Какое минимальное количество билетов в партер?
Из «любые 41 — есть партер»: Балкон ≤ 40
Нельзя выбрать 41 билет на балкон
Из «любые 66 — есть балкон»: Партер ≤ 65
Нельзя выбрать 66 билетов в партер
Из П ≤ 65 и П + Б = 100: Балкон ≥ 100 — 65 = 35
Объединяем: 35 ≤ Балкон ≤ 40
Находим возможные значения для Партера:
Балкон = 36 ⇒ Партер = 64
Балкон = 37 ⇒ Партер = 63
Балкон = 38 ⇒ Партер = 62
Балкон = 39 ⇒ Партер = 61
Балкон = 40 ⇒ Партер = 60
Минимальное значение: Партер = 60 (при Балкон = 40)
Задача про учеников (28 учеников)
В классе 28 учеников: мальчики и девочки. Среди любых 15 учеников есть хотя бы один мальчик, среди любых 20 учеников — хотя бы одна девочка.
Вопрос: Какое минимальное количество девочек?
Из «любые 15 — есть мальчик»: Девочек ≤ 14
Нельзя выбрать 15 девочек
Из «любые 20 — есть девочка»: Мальчиков ≤ 19
Нельзя выбрать 20 мальчиков
Из М ≤ 19 и М + Д = 28: Девочек ≥ 28 — 19 = 9
Объединяем: 9 ≤ Девочек ≤ 14
Минимальное значение: Девочек = 9
При этом Мальчиков = 19
Проверка: Д = 9, М = 19. Оба условия выполняются.
Задача с противоречием (шары)
В ящике 50 шаров: красные и синие. Среди любых 13 шаров есть хотя бы один красный, среди любых 24 шаров — хотя бы один синий.
Вопрос: Сколько синих шаров?
Из «любые 13 — есть красный»: Синих ≤ 12
Нельзя выбрать 13 синих шаров
Из «любые 24 — есть синий»: Красных ≤ 23
Нельзя выбрать 24 красных шара
Из К ≤ 23 и К + С = 50: Синих ≥ 50 — 23 = 27
Объединяем ограничения для синих шаров:
Синих ≤ 12 и одновременно Синих ≥ 27
Проверка необходимого условия:
Для задач этого типа должно выполняться:
50 ≤ 12 + 23
50 ≤ 35 — НЕВЕРНО!
Вывод: Условия задачи невозможно выполнить одновременно.
Как решать такие задачи
Пошаговый алгоритм решения с примерами
1 Вводим обозначения
В любой задаче этого типа есть два вида предметов. Назовём их A и B.
Пример из задачи 1:
Рыжики (Р) и Грузди (Г)
2 Переводим первое условие в неравенство
Условие: «Среди любых K предметов есть хотя бы один A»
Это значит: нельзя выбрать K предметов, все из которых B
Математическая запись:
Пример из задачи 1:
«Среди любых 18 грибов есть рыжик»
Значит: Груздей меньше 18
3 Переводим второе условие в неравенство
Условие: «Среди любых M предметов есть хотя бы один B»
Это значит: нельзя выбрать M предметов, все из которых A
Математическая запись:
Пример из задачи 1:
«Среди любых 19 грибов есть груздь»
Значит: Рыжиков меньше 19
4 Преобразуем второе неравенство
Из A ≤ M — 1 и A + B = N получаем:
B ≥ N — M + 1
Пример из задачи 1:
Из Р ≤ 18 и Р + Г = 35:
Г ≥ 17
5 Объединяем ограничения
Теперь у нас есть два ограничения для B:
2) B ≥ N — M + 1
Чтобы задача имела решение, должно выполняться:
или
N ≤ K + M — 2
Пример из задачи 1:
35 ≤ 18 + 19 — 2 = 35 ✓ — решение есть
Пример из задачи 8:
50 ≤ 13 + 24 — 2 = 35 ✗ — решения нет
6 Три возможных случая
Случай 1
N = K + M — 2
Решение единственное
B = K — 1
A = M — 1
Пример: задача 1
Случай 2
N < K + M - 2
Несколько решений
Диапазон значений
Пример: задача 5
Случай 3
N > K + M — 2
Нет решения
Условия противоречивы
Пример: задача 8
7 Всегда делаем проверку!
Найденные числа подставляем обратно в условия задачи:
Проверка 1: Можно ли выбрать K предметов без A?
Проверка 2: Можно ли выбрать M предметов без B?
Оба ответа должны быть НЕТ.
Пример проверки для задачи 1:
- Груздей 17, Рыжиков 18
- Можно ли выбрать 18 грибов без рыжика? НЕТ (груздей всего 17)
- Можно ли выбрать 19 грибов без груздя? НЕТ (рыжиков всего 18)
- Ответ верный!
8 Частые ошибки
1. Путают A и B — внимательно читайте, про что каждое условие
2. Забывают вычесть 1 — «меньше K» значит ≤ K-1, а не ≤ K
3. Не проверяют ответ — всегда делайте проверку!
4. Не проверяют совместность — если N > K + M — 2, решения нет
9 Быстрая формула для проверки
Прежде чем решать задачу, проверьте:
Если неравенство выполняется, задача решаема.