Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении на единичный отрезок за прыжок, делая первый прыжок из начала координат. Сколько существует различных точек на координатной прямой, в которых кузнечик может оказаться, совершив ровно 7 прыжков?
Задачи
Задача 1: Улитка на дереве
Условие: Улитка за день поднимается на 2 метра, а за ночь сползает на 1 метр. Высота дерева составляет 9 метров. За сколько дней улитка впервые доползёт до вершины дерева?
Решение:
1. Определим чистое продвижение за одни полные сутки (день + ночь):
Δ = 2 м − 1 м = 1 м
2. Важно: в последний день, когда улитка достигнет вершины, ночного сползания не произойдёт.
3. Пусть n — номер дня, когда улитка достигнет вершины.
4. За (n−1) полных суток она поднимется на (n−1)·1 метров.
5. На n-й день она поднимется ещё на 2 м и достигнет вершины.
6. Составим неравенство:
(n−1)·1 + 2 ≥ 9
7. Решим его:
n − 1 + 2 ≥ 9 → n + 1 ≥ 9 → n ≥ 8
8. Поскольку n — целое число, n = 8.
9. Проверим по дням:
| День | Утро (перед подъёмом) | Вечер (после подъёма) | Следующее утро (после сползания) |
|---|---|---|---|
| 1 | 0 м | 2 м | 1 м |
| 2 | 1 м | 3 м | 2 м |
| 3 | 2 м | 4 м | 3 м |
| 4 | 3 м | 5 м | 4 м |
| 5 | 4 м | 6 м | 5 м |
| 6 | 5 м | 7 м | 6 м |
| 7 | 6 м | 8 м | 7 м |
| 8 | 7 м | 9 м | — |
10. На 8-й день улитка поднимается с 7 м до 9 м и достигает вершины. Ночного сползания не происходит.
Задача 2: Муравей в колодце
Условие: Муравей находится на дне колодца глубиной 30 метров. За день он поднимается на 18 метров, а за ночь спускается вниз на 15 метров. Сколько дней понадобится муравью, чтобы подняться до верха колодца?
Решение:
1. Чистое продвижение за сутки: Δ = 18 м − 15 м = 3 м.
2. В последний день спуска не будет.
3. Пусть n — день достижения верха.
4. Неравенство: 3·(n−1) + 18 ≥ 30.
5. Решаем: 3n − 3 + 18 ≥ 30 → 3n + 15 ≥ 30 → 3n ≥ 15 → n ≥ 5.
6. Проверка:
| День | Утро | Вечер | Следующее утро |
|---|---|---|---|
| 1 | 0 м | 18 м | 3 м |
| 2 | 3 м | 21 м | 6 м |
| 3 | 6 м | 24 м | 9 м |
| 4 | 9 м | 27 м | 12 м |
| 5 | 12 м | 30 м | — |
7. На 5-й день муравей поднимается с 12 м до 30 м и выбирается из колодца.
Задача 3: Жук на доске
Условие: Жук за один ход заползает вверх по доске на 4 метра, но затем скатывается вниз на 1,5 метра. За сколько ходов жук впервые окажется на высоте не менее 8 метров?
Решение:
1. Чистое продвижение за ход: Δ = 4 м − 1,5 м = 2,5 м.
2. В последний ход скатывания не происходит.
3. Неравенство: 2,5·(n−1) + 4 ≥ 8.
4. Решаем: 2,5n − 2,5 + 4 ≥ 8 → 2,5n + 1,5 ≥ 8 → 2,5n ≥ 6,5 → n ≥ 2,6.
5. Наименьшее целое n = 3.
6. Проверка:
| Ход | Перед ходом | После подъёма | После скатывания | Цель достигнута? |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 0 м | 4 м | 2,5 м | Нет |
| 2 | 2,5 м | 6,5 м | 5 м | Нет |
| 3 | 5 м | 9 м | — | Да (9 м ≥ 8 м) |
Жук достигает цели в момент подъёма на 3-м ходе (высота 9 м ≥ 8 м), поэтому скатывания не происходит.
Задача 4: Гусеница с начальной высоты
Условие: Гусеница находится на высоте 5 метров на дереве высотой 20 метров. За день она поднимается на 3 метра, а за ночь сползает на 2 метра. За сколько дней она достигнет вершины дерева?
Решение:
1. Начальная высота: 5 м.
2. Оставшееся расстояние до вершины: 20 м − 5 м = 15 м.
3. Чистое продвижение за сутки: Δ = 3 м − 2 м = 1 м.
4. Неравенство: (n−1)·1 + 3 ≥ 15.
5. Решаем: n − 1 + 3 ≥ 15 → n + 2 ≥ 15 → n ≥ 13.
6. Проверка:
| День | Утро | Вечер | Следующее утро |
|---|---|---|---|
| 1 | 5 м | 8 м | 6 м |
| 2 | 6 м | 9 м | 7 м |
| … | … | … | … |
| 12 | 16 м | 19 м | 17 м |
| 13 | 17 м | 20 м | — |
7. На 13-й день гусеница поднимается с 17 м до 20 м и достигает вершины.
Калькулятор и визуализация
Введите параметры движения:
Пошаговая визуализация циклов
Общий алгоритм решения
Шаг 1: Анализ условия
Определите следующие величины:
- H — высота цели (метров)
- P — подъём за активный период (метров)
- S — спуск за пассивный период (метров)
- H₀ — начальная высота (метров)
Шаг 2: Проверка возможности решения
Если H ≤ H₀, объект уже достиг цели.
Если P ≤ S и H > H₀, то чистое продвижение Δ = P − S ≤ 0, и задача не имеет решения.
Шаг 3: Применение формулы
Количество периодов вычисляется по формуле:
n = ⌈1 + (H − H₀ − P) / (P − S)⌉
где ⌈x⌉ — округление вверх до ближайшего целого.
Шаг 4: Проверка
Всегда выполняйте проверку подстановкой найденного n в модель движения.
Важно: В последнем периоде спуск не происходит, так как цель достигается в процессе подъёма.