Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Площади трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 14, 21 и 27. Найдите площадь четвёртого прямоугольника.
Площади прямоугольников
Исследуйте взаимосвязь площадей в разделённом прямоугольнике и научитесь вычислять неизвестные значения
Постановка задачи
1
Большой прямоугольник разделён на 4 части. Известны площади трёх частей. Найдите площадь четвёртой.
S₁ = 24
a × b
S₂ = 40
b × c
S₄ = ?
a × d
S₃ = 60
c × d
Обозначим размеры сторон:
• a — ширина левого столбца
• b — высота верхнего ряда
• c — ширина правого столбца
• d — высота нижнего ряда
S₃ находится под S₂, S₄ находится под S₁
• a — ширина левого столбца
• b — высота верхнего ряда
• c — ширина правого столбца
• d — высота нижнего ряда
S₃ находится под S₂, S₄ находится под S₁
Подробное решение
2
Шаг 1: Запишем уравнения для площадей
1 S₁ = a × b = 24
2 S₂ = b × c = 40
3 S₃ = c × d = 60
4 S₄ = a × d = ?
2 S₂ = b × c = 40
3 S₃ = c × d = 60
4 S₄ = a × d = ?
Шаг 2: Выразим параметры через d
Из уравнения (3):
c = 60 ÷ d
Из уравнения (2):
b = 40 ÷ c = 40 ÷ (60 ÷ d)
Из уравнения (1):
a = 24 ÷ b = 24 ÷ (40 ÷ (60 ÷ d))
c = 60 ÷ d
Из уравнения (2):
b = 40 ÷ c = 40 ÷ (60 ÷ d)
Из уравнения (1):
a = 24 ÷ b = 24 ÷ (40 ÷ (60 ÷ d))
Шаг 3: Найдем S₄ = a × d
S₄ = a = [24 × 60 ÷ (40 × d)]
S₄ = 24 × 60 ÷ 40 × (d ÷ d)
S₄ = 24 × 60 ÷ 40 = 36
S₄ = 24 × 60 ÷ 40 × (d ÷ d)
S₄ = 24 × 60 ÷ 40 = 36
S₄ = (S₁ × S₃) ÷ S₂ = (24 × 60) ÷ 40 = 36
Универсальная формула
3
Полученная формула работает для любых значений площадей!
S₄ = (S₁ × S₃) / S₂
Алгебраическое доказательство:
S₁ × S₃ = (a × b) × (c × d) = a × b × c × d
S₂ = b × c
(S₁ × S₃) ÷ S₂ = (a × b × c × d) ÷ (b × c) = a × d = S₄
Параметры b и c сокращаются!
S₁ × S₃ = (a × b) × (c × d) = a × b × c × d
S₂ = b × c
(S₁ × S₃) ÷ S₂ = (a × b × c × d) ÷ (b × c) = a × d = S₄
Параметры b и c сокращаются!
S₁=18
S₂=27
S₄=?
S₃=36
S₄ = (18 × 36) ÷ 27 = 24
S₁=12
S₂=16
S₄=?
S₃=20
S₄ = (12 × 20) ÷ 16 = 15
Практикуйтесь!
4
Сгенерируйте свою задачу
Нажмите кнопку для создания новой задачи