Подробные решения, методы, термины и примеры для подготовки к экзаменам
📚 Основные понятия и определения
🔑 Ключевые термины:
Раствор (смесь): однородная смесь двух или более веществ
Концентрация: доля чистого вещества в растворе (в % или долях)
Массовая доля: отношение массы вещества к массе всего растворa
Растворитель: вещество, в котором растворяют (чаще всего вода)
Растворённое вещество: то, что растворяют (соль, кислота, сахар и т.д.)
\( \text{Концентрация} = \dfrac{\text{Масса чистого вещества}}{\text{Масса всего раствора}} \times 100\% \)
\( \text{Масса вещества} = \text{Масса раствора} \times \dfrac{\text{Концентрация}}{100} \)
🎯 ВАЖНО: Проценты всегда переводим в десятичные дроби!
10% = 0.10, 25% = 0.25, 5% = 0.05, 100% = 1.00
10% = 0.10, 25% = 0.25, 5% = 0.05, 100% = 1.00
Тип 1 Смешивание равных количеств
Характерный признак: "с таким же количеством", "равные объёмы", "одинаковые массы"
Пример задачи: Смешали некоторое количество 18%-ного раствора некоторого вещества с таким же количеством 16%-ного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
📖 Пошаговое решение:
Шаг 1: Вводим переменную для массы
Пусть масса каждого раствора = \( m \) кг (можно брать любую букву)
Шаг 2: Находим массу чистого вещества в каждом растворе
В первом растворе (18%): \( 0.18 \times m = 0.18m \) кг
Во втором растворе (16%): \( 0.16 \times m = 0.16m \) кг
Во втором растворе (16%): \( 0.16 \times m = 0.16m \) кг
Шаг 3: Находим общую массу чистого вещества
\( 0.18m + 0.16m = 0.34m \) кг
Шаг 4: Находим общую массу смеси
\( m + m = 2m \) кг
Шаг 5: Вычисляем концентрацию
\( \text{Концентрация} = \dfrac{0.34m}{2m} \times 100\% = \dfrac{0.34}{2} \times 100\% \)
\( = 0.17 \times 100\% = 17\% \)
Шаг 6: Записываем ответ
✅ Ответ: 17%
💡 Быстрый способ (только для равных количеств!):
Концентрация смеси = среднее арифметическое концентраций:
\( \dfrac{18\% + 16\%}{2} = \dfrac{34\%}{2} = 17\% \)
Концентрация смеси = среднее арифметическое концентраций:
\( \dfrac{18\% + 16\%}{2} = \dfrac{34\%}{2} = 17\% \)
⚠️ Частая ошибка: Делать среднее арифметическое, когда количества НЕ равны!
Например, если смешать 1 кг 10% раствора и 9 кг 20% раствора, среднее было бы 15%, но правильный ответ ≈ 19%!
Например, если смешать 1 кг 10% раствора и 9 кг 20% раствора, среднее было бы 15%, но правильный ответ ≈ 19%!
Тип 2 Смешивание разных количеств
Характерный признак: заданы конкретные массы или объёмы
Пример задачи: Смешали 3 литра 10%-ного водного раствора некоторого вещества с 12 литрами 40%-ного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
📖 Пошаговое решение:
Шаг 1: Переводим проценты в десятичные дроби
10% = 0.10, 40% = 0.40
Шаг 2: Находим массу вещества в каждом растворе
В первом растворе (3 л × 10%): \( 3 \times 0.10 = 0.3 \) кг
Во втором растворе (12 л × 40%): \( 12 \times 0.40 = 4.8 \) кг
Во втором растворе (12 л × 40%): \( 12 \times 0.40 = 4.8 \) кг
Примечание: в задачах часто "литры" и "килограммы" используются как взаимозаменяемые, если плотность ≈ 1 г/мл
Шаг 3: Находим общую массу вещества
\( 0.3 + 4.8 = 5.1 \) кг
Шаг 4: Находим общий объём/массу смеси
\( 3 + 12 = 15 \) л
Шаг 5: Вычисляем концентрацию
\( \text{Концентрация} = \dfrac{5.1}{15} \times 100\% \)
Сначала: \( \dfrac{5.1}{15} = 0.34 \)
Затем: \( 0.34 \times 100\% = 34\% \)
Затем: \( 0.34 \times 100\% = 34\% \)
Шаг 6: Записываем ответ
✅ Ответ: 34%
📌 Общая формула для двух растворов:
\( p = \dfrac{m_1 \cdot p_1 + m_2 \cdot p_2}{m_1 + m_2} \times 100\% \)
где \( m_1, m_2 \) — массы растворов, \( p_1, p_2 \) — их концентрации (в долях)
\( p = \dfrac{m_1 \cdot p_1 + m_2 \cdot p_2}{m_1 + m_2} \times 100\% \)
где \( m_1, m_2 \) — массы растворов, \( p_1, p_2 \) — их концентрации (в долях)
⚠️ Важная проверка: Концентрация смеси всегда лежит между концентрациями исходных растворов!
В нашем примере: 10% < 34% < 40% ✓
В нашем примере: 10% < 34% < 40% ✓
Тип 3 Найти массы компонентов (задачи на сплавы)
Характерный признак: известны концентрации и масса смеси, нужно найти массы компонентов
Пример задачи: Имеется два сплава. Первый содержит 5% никеля, второй — 25% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 250 кг, содержащий 20% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?
📖 Пошаговое решение:
Шаг 1: Вводим переменные
Пусть масса первого сплава = \( x \) кг
Тогда масса второго сплава = \( (250 - x) \) кг (потому что общая масса 250 кг)
Тогда масса второго сплава = \( (250 - x) \) кг (потому что общая масса 250 кг)
Шаг 2: Находим массу никеля в каждом сплаве
В первом сплаве: \( 0.05 \times x = 0.05x \) кг
Во втором сплаве: \( 0.25 \times (250 - x) = 62.5 - 0.25x \) кг
Во втором сплаве: \( 0.25 \times (250 - x) = 62.5 - 0.25x \) кг
Шаг 3: Находим массу никеля в смеси
В третьем сплаве: \( 0.20 \times 250 = 50 \) кг
Шаг 4: Составляем уравнение
Сумма никеля из двух сплавов = никелю в смеси:
\( 0.05x + (62.5 - 0.25x) = 50 \)
\( 0.05x + (62.5 - 0.25x) = 50 \)
Шаг 5: Решаем уравнение
1) Упрощаем: \( 0.05x + 62.5 - 0.25x = 50 \)
2) Складываем x: \( -0.20x + 62.5 = 50 \)
3) Переносим 62.5: \( -0.20x = 50 - 62.5 = -12.5 \)
4) Делим на -0.20: \( x = \dfrac{-12.5}{-0.20} = 62.5 \) кг
2) Складываем x: \( -0.20x + 62.5 = 50 \)
3) Переносим 62.5: \( -0.20x = 50 - 62.5 = -12.5 \)
4) Делим на -0.20: \( x = \dfrac{-12.5}{-0.20} = 62.5 \) кг
Шаг 6: Находим массы сплавов
Первый сплав: \( x = 62.5 \) кг
Второй сплав: \( 250 - 62.5 = 187.5 \) кг
Второй сплав: \( 250 - 62.5 = 187.5 \) кг
Шаг 7: Находим разницу
\( 187.5 - 62.5 = 125 \) кг
Шаг 8: Записываем ответ
✅ Ответ: на 125 кг
🔍 Альтернативный метод — правило смешения ("крест"):
5% → │25 - 20│ = 5 частей
20%
25% → │20 - 5│ = 15 частей
Соотношение: 5:15 = 1:3
20%
25% → │20 - 5│ = 15 частей
Соотношение: 5:15 = 1:3
Всего 4 части = 250 кг → 1 часть = 62.5 кг
Первый (5%): 1 часть = 62.5 кг
Второй (25%): 3 части = 187.5 кг
Разница: 187.5 - 62.5 = 125 кг
Тип 4 Задачи на сушку (испарение воды)
Характерный признак: меняется только вода, сухое вещество постоянно
Пример задачи: Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов винограда потребуется для получения 60 килограммов изюма, если виноград содержит 90% воды, а изюм содержит 5% воды?
📖 Пошаговое решение:
Шаг 1: Понимаем ключевой принцип
ВАЖНО: При сушке испаряется только вода, масса сухого вещества НЕ меняется!
Шаг 2: Находим сухое вещество в изюме
Изюм содержит 5% воды ⇒ 95% сухого вещества
Масса сухого вещества = \( 60 \times 0.95 = 57 \) кг
Масса сухого вещества = \( 60 \times 0.95 = 57 \) кг
Шаг 3: Находим сухое вещество в винограде
Виноград содержит 90% воды ⇒ 10% сухого вещества
Но сухого вещества тоже 57 кг (оно не изменилось!)
Но сухого вещества тоже 57 кг (оно не изменилось!)
Шаг 4: Составляем уравнение
Пусть масса винограда = \( x \) кг
Сухое вещество в винограде: \( 0.10 \times x = 0.10x \) кг
Это равно сухому веществу в изюме: \( 0.10x = 57 \)
Сухое вещество в винограде: \( 0.10 \times x = 0.10x \) кг
Это равно сухому веществу в изюме: \( 0.10x = 57 \)
Шаг 5: Решаем уравнение
\( x = \dfrac{57}{0.10} = 570 \) кг
Шаг 6: Проверяем логику
Из 570 кг винограда:
- Воды было: \( 570 \times 0.90 = 513 \) кг
- Сухого вещества: \( 570 \times 0.10 = 57 \) кг
- После сушки в изюме 5% воды: \( 60 \times 0.05 = 3 \) кг воды
- Испарилось воды: \( 513 - 3 = 510 \) кг
- Масса изюма: \( 57 + 3 = 60 \) кг ✓
- Сухого вещества: \( 570 \times 0.10 = 57 \) кг
- После сушки в изюме 5% воды: \( 60 \times 0.05 = 3 \) кг воды
- Испарилось воды: \( 513 - 3 = 510 \) кг
- Масса изюма: \( 57 + 3 = 60 \) кг ✓
Шаг 7: Записываем ответ
✅ Ответ: 570 кг
💡 Формула для задач на сушку:
\( m_{\text{исх}} \times (1 - W_{\text{исх}}) = m_{\text{кон}} \times (1 - W_{\text{кон}}) \)
где \( W \) — доля воды (в долях)
\( m_{\text{исх}} \times (1 - W_{\text{исх}}) = m_{\text{кон}} \times (1 - W_{\text{кон}}) \)
где \( W \) — доля воды (в долях)
Тип 5 Два условия смешивания (система уравнений)
Характерный признак: описаны два разных способа смешивания
Пример задачи: Смешав 8%-ный и 26%-ный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 16%-ный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50%-ного раствора той же кислоты, то получили бы 20%-ный раствор кислоты. Сколько килограммов 8%-ного раствора использовали?
📖 Пошаговое решение:
Шаг 1: Вводим переменные
Пусть масса 8%-ного раствора = \( x \) кг
Пусть масса 26%-ного раствора = \( y \) кг
Пусть масса 26%-ного раствора = \( y \) кг
Шаг 2: Первое условие (с водой)
Смесь: \( x \) кг (8%) + \( y \) кг (26%) + 10 кг воды
Кислоты: \( 0.08x + 0.26y \) кг
Общая масса: \( x + y + 10 \) кг
Концентрация 16%: \( \dfrac{0.08x + 0.26y}{x + y + 10} = 0.16 \)
Общая масса: \( x + y + 10 \) кг
Концентрация 16%: \( \dfrac{0.08x + 0.26y}{x + y + 10} = 0.16 \)
Умножаем на знаменатель:
\( 0.08x + 0.26y = 0.16(x + y + 10) \)
\( 0.08x + 0.26y = 0.16x + 0.16y + 1.6 \)
\( 0.08x + 0.26y = 0.16x + 0.16y + 1.6 \)
Переносим всё влево:
\( 0.08x - 0.16x + 0.26y - 0.16y = 1.6 \)
\( -0.08x + 0.10y = 1.6 \) ... (1)
\( -0.08x + 0.10y = 1.6 \) ... (1)
Шаг 3: Второе условие (с 50% раствором)
Смесь: \( x \) кг (8%) + \( y \) кг (26%) + 10 кг 50% раствора
Кислоты: \( 0.08x + 0.26y + 0.50 \times 10 = 0.08x + 0.26y + 5 \) кг
Общая масса: \( x + y + 10 \) кг (те же 10 кг)
Концентрация 20%: \( \dfrac{0.08x + 0.26y + 5}{x + y + 10} = 0.20 \)
Общая масса: \( x + y + 10 \) кг (те же 10 кг)
Концентрация 20%: \( \dfrac{0.08x + 0.26y + 5}{x + y + 10} = 0.20 \)
Умножаем на знаменатель:
\( 0.08x + 0.26y + 5 = 0.20(x + y + 10) \)
\( 0.08x + 0.26y + 5 = 0.20x + 0.20y + 2 \)
\( 0.08x + 0.26y + 5 = 0.20x + 0.20y + 2 \)
Переносим всё влево:
\( 0.08x - 0.20x + 0.26y - 0.20y = 2 - 5 \)
\( -0.12x + 0.06y = -3 \) ... (2)
\( -0.12x + 0.06y = -3 \) ... (2)
Шаг 4: Решаем систему уравнений
Имеем систему:
\( \begin{cases}
-0.08x + 0.10y = 1.6 \\
-0.12x + 0.06y = -3
\end{cases} \)
Умножим оба уравнения на 100, чтобы избавиться от десятичных:
\( \begin{cases}
-8x + 10y = 160 \\
-12x + 6y = -300
\end{cases} \)
Поделим первое на 2, второе на 6:
\( \begin{cases}
-4x + 5y = 80 \\
-2x + y = -50
\end{cases} \)
Из второго уравнения выражаем \( y \):
\( y = 2x - 50 \)
Подставляем в первое:
\( -4x + 5(2x - 50) = 80 \)
\( -4x + 10x - 250 = 80 \)
\( 6x - 250 = 80 \)
\( 6x = 330 \)
\( x = 55 \) кг
\( -4x + 10x - 250 = 80 \)
\( 6x - 250 = 80 \)
\( 6x = 330 \)
\( x = 55 \) кг
Шаг 5: Проверяем
Найдём \( y \): \( y = 2 \times 55 - 50 = 110 - 50 = 60 \) кг
Проверка первого условия:
Кислоты: \( 0.08 \times 55 + 0.26 \times 60 = 4.4 + 15.6 = 20 \) кг
Масса: \( 55 + 60 + 10 = 125 \) кг
Концентрация: \( 20/125 = 0.16 = 16\% \) ✓
Масса: \( 55 + 60 + 10 = 125 \) кг
Концентрация: \( 20/125 = 0.16 = 16\% \) ✓
Проверка второго условия:
Кислоты: \( 4.4 + 15.6 + 5 = 25 \) кг
Масса: \( 55 + 60 + 10 = 125 \) кг
Концентрация: \( 25/125 = 0.20 = 20\% \) ✓
Масса: \( 55 + 60 + 10 = 125 \) кг
Концентрация: \( 25/125 = 0.20 = 20\% \) ✓
Шаг 6: Записываем ответ
✅ Ответ: 55 кг
📝 Универсальный алгоритм решения ЛЮБОЙ задачи
Шаг 1: Внимательно прочитать условие
Определить, что дано и что нужно найти
Шаг 2: Ввести переменные
Обозначить неизвестные массы буквами (x, y, m и т.д.)
Шаг 3: Выразить массы чистого вещества
Для каждого компонента: масса вещества = масса раствора × концентрация
Шаг 4: Составить уравнение
Сумма масс вещества из компонентов = массе вещества в смеси
Шаг 5: Составить уравнение на массы
Сумма масс компонентов = массе смеси (если нужно)
Шаг 6: Решить уравнение/систему
Аккуратно выполнить все алгебраические преобразования
Шаг 7: Найти ответ на вопрос
Не забыть перевести в нужные единицы
Шаг 8: Проверить логику
Проверить, что ответ имеет смысл (положительные массы, разумные проценты)
🎯 Золотое правило: Масса чистого вещества сохраняется!
Вещество не исчезает и не появляется из ниоткуда при смешивании.
Вещество не исчезает и не появляется из ниоткуда при смешивании.
💪 Практикум - ВСЕ 22 задачи
Решено: 0 из 22 задач
Тип 1: Смешивание равных количеств (4 задачи)
Задача 1. Смешали некоторое количество 18-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 16-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
(введите число)
Краткое решение:
Пусть масса каждого раствора = m кг
Масса вещества: 0.18m + 0.16m = 0.34m кг
Общая масса: m + m = 2m кг
Концентрация: (0.34m / 2m) × 100% = 17%
✅ Ответ: 17%
Пусть масса каждого раствора = m кг
Масса вещества: 0.18m + 0.16m = 0.34m кг
Общая масса: m + m = 2m кг
Концентрация: (0.34m / 2m) × 100% = 17%
✅ Ответ: 17%
Задача 2. Смешали некоторое количество 15-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 19-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
(введите число)
Краткое решение:
Среднее арифметическое: (15% + 19%) ÷ 2 = 34% ÷ 2 = 17%
✅ Ответ: 17%
Среднее арифметическое: (15% + 19%) ÷ 2 = 34% ÷ 2 = 17%
✅ Ответ: 17%
Задача 3. Смешали некоторое количество 13-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 17-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
(введите число)
Краткое решение:
Среднее арифметическое: (13% + 17%) ÷ 2 = 30% ÷ 2 = 15%
✅ Ответ: 15%
Среднее арифметическое: (13% + 17%) ÷ 2 = 30% ÷ 2 = 15%
✅ Ответ: 15%
Задача 4. Смешали некоторое количество 20-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 16-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
(введите число)
Краткое решение:
Среднее арифметическое: (20% + 16%) ÷ 2 = 36% ÷ 2 = 18%
✅ Ответ: 18%
Среднее арифметическое: (20% + 16%) ÷ 2 = 36% ÷ 2 = 18%
✅ Ответ: 18%
Тип 2: Смешивание разных количеств (2 задачи)
Задача 5. Смешали 3 литра 10-процентного водного раствора некоторого вещества с 12 литрами 40-процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
(введите число)
Краткое решение:
Вещество в первом: 3 × 0.10 = 0.3 л
Вещество во втором: 12 × 0.40 = 4.8 л
Всего вещества: 0.3 + 4.8 = 5.1 л
Общий объём: 3 + 12 = 15 л
Концентрация: (5.1 / 15) × 100% = 34%
✅ Ответ: 34%
Вещество в первом: 3 × 0.10 = 0.3 л
Вещество во втором: 12 × 0.40 = 4.8 л
Всего вещества: 0.3 + 4.8 = 5.1 л
Общий объём: 3 + 12 = 15 л
Концентрация: (5.1 / 15) × 100% = 34%
✅ Ответ: 34%
Задача 6. Смешали 4 литра 15-процентного водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 25-процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
(введите число)
Краткое решение:
Вещество в первом: 4 × 0.15 = 0.6 л
Вещество во втором: 6 × 0.25 = 1.5 л
Всего вещества: 0.6 + 1.5 = 2.1 л
Общий объём: 4 + 6 = 10 л
Концентрация: (2.1 / 10) × 100% = 21%
✅ Ответ: 21%
Вещество в первом: 4 × 0.15 = 0.6 л
Вещество во втором: 6 × 0.25 = 1.5 л
Всего вещества: 0.6 + 1.5 = 2.1 л
Общий объём: 4 + 6 = 10 л
Концентрация: (2.1 / 10) × 100% = 21%
✅ Ответ: 21%
Тип 3: Найти массы компонентов (сплавы) (5 задач)
Задача 7. Имеется два сплава. Первый содержит 5% никеля, второй — 25% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 250 кг, содержащий 20% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?
(введите число)
Краткое решение:
Пусть масса первого = x кг, тогда второго = (250 - x) кг
Уравнение: 0.05x + 0.25(250 - x) = 0.20 × 250
0.05x + 62.5 - 0.25x = 50
-0.20x = -12.5
x = 62.5 кг (первый)
Второй: 250 - 62.5 = 187.5 кг
Разница: 187.5 - 62.5 = 125 кг
✅ Ответ: на 125 кг
Пусть масса первого = x кг, тогда второго = (250 - x) кг
Уравнение: 0.05x + 0.25(250 - x) = 0.20 × 250
0.05x + 62.5 - 0.25x = 50
-0.20x = -12.5
x = 62.5 кг (первый)
Второй: 250 - 62.5 = 187.5 кг
Разница: 187.5 - 62.5 = 125 кг
✅ Ответ: на 125 кг
Задача 8. Первый сплав содержит 5% меди, второй — 14% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 10 кг. Из эти х двух сплавов получили третий сплав, содержащий 10% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.
(введите число)
Краткое решение:
Пусть масса первого = x кг, тогда второго = x + 10 кг
Уравнение: 0.05x + 0.14(x + 10) = 0.10(2x + 10)
0.05x + 0.14x + 1.4 = 0.20x + 1
0.19x + 1.4 = 0.20x + 1
0.01x = 0.4
x = 40 кг (первый)
Второй: 40 + 10 = 50 кг
Третий: 40 + 50 = 90 кг
✅ Ответ: 90 кг
Пусть масса первого = x кг, тогда второго = x + 10 кг
Уравнение: 0.05x + 0.14(x + 10) = 0.10(2x + 10)
0.05x + 0.14x + 1.4 = 0.20x + 1
0.19x + 1.4 = 0.20x + 1
0.01x = 0.4
x = 40 кг (первый)
Второй: 40 + 10 = 50 кг
Третий: 40 + 50 = 90 кг
✅ Ответ: 90 кг
Задача 9. Имеется два сплава. Первый содержит 5% никеля, второй — 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 125 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава была меньше массы второго?
(введите число)
Краткое решение:
Правило смешения ("крест"):
5% → (30 - 25) = 5 частей
25%
30% → (25 - 5) = 20 частей
Соотношение: 5:20 = 1:4
Всего частей: 5
Масса первого: (1/5) × 125 = 25 кг
Масса второго: (4/5) × 125 = 100 кг
Разница: 100 - 25 = 75 кг
✅ Ответ: на 75 кг
Правило смешения ("крест"):
5% → (30 - 25) = 5 частей
25%
30% → (25 - 5) = 20 частей
Соотношение: 5:20 = 1:4
Всего частей: 5
Масса первого: (1/5) × 125 = 25 кг
Масса второго: (4/5) × 125 = 100 кг
Разница: 100 - 25 = 75 кг
✅ Ответ: на 75 кг
Задача 10. Имеется два сплава. Первый содержит 5% меди, второй — 14% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 5 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 12% меди. Найдите массу третьего сплава.
(введите число)
Краткое решение:
Пусть масса первого = x кг, тогда второго = x + 5 кг
Уравнение: 0.05x + 0.14(x + 5) = 0.12(2x + 5)
0.05x + 0.14x + 0.7 = 0.24x + 0.6
0.19x + 0.7 = 0.24x + 0.6
0.05x = 0.1
x = 2 кг (первый)
Третий: 2x + 5 = 2×2 + 5 = 9 кг
✅ Ответ: 9 кг
Пусть масса первого = x кг, тогда второго = x + 5 кг
Уравнение: 0.05x + 0.14(x + 5) = 0.12(2x + 5)
0.05x + 0.14x + 0.7 = 0.24x + 0.6
0.19x + 0.7 = 0.24x + 0.6
0.05x = 0.1
x = 2 кг (первый)
Третий: 2x + 5 = 2×2 + 5 = 9 кг
✅ Ответ: 9 кг
Задача 11. Имеется два сплава. Первый содержит 5% никеля, второй — 14% никеля. Масса второго сплава больше массы первого на 8 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 11% никеля. Найдите массу третьего сплава.
(введите число)
Краткое решение:
Пусть масса первого = x кг, тогда второго = x + 8 кг
Уравнение: 0.05x + 0.14(x + 8) = 0.11(2x + 8)
0.05x + 0.14x + 1.12 = 0.22x + 0.88
0.19x + 1.12 = 0.22x + 0.88
0.03x = 0.24
x = 8 кг (первый)
Третий: 2x + 8 = 2×8 + 8 = 24 кг
✅ Ответ: 24 кг
Пусть масса первого = x кг, тогда второго = x + 8 кг
Уравнение: 0.05x + 0.14(x + 8) = 0.11(2x + 8)
0.05x + 0.14x + 1.12 = 0.22x + 0.88
0.19x + 1.12 = 0.22x + 0.88
0.03x = 0.24
x = 8 кг (первый)
Третий: 2x + 8 = 2×8 + 8 = 24 кг
✅ Ответ: 24 кг
Тип 4: Задачи на сушку (2 задачи)
Задача 12. Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов винограда потребуется для получения 60 килограммов изюма, если виноград содержит 90% воды, а изюм содержит 5% воды?
(введите число)
Краткое решение:
В изюме 5% воды → 95% сухого вещества
Сухого вещества в 60 кг изюма: 60 × 0.95 = 57 кг
В винограде 90% воды → 10% сухого вещества
Пусть масса винограда = x кг
Уравнение: 0.10x = 57
x = 57 ÷ 0.10 = 570 кг
✅ Ответ: 570 кг
В изюме 5% воды → 95% сухого вещества
Сухого вещества в 60 кг изюма: 60 × 0.95 = 57 кг
В винограде 90% воды → 10% сухого вещества
Пусть масса винограда = x кг
Уравнение: 0.10x = 57
x = 57 ÷ 0.10 = 570 кг
✅ Ответ: 570 кг
Задача 13. Свежие грибы содержат 90% воды, а сушёные — 20% воды. Сколько килограммов свежих грибов надо собрать, чтобы получить 5 кг сушёных?
(введите число)
Краткое решение:
В сушёных грибах 20% воды → 80% сухого вещества
Сухого вещества в 5 кг сушёных: 5 × 0.80 = 4 кг
В свежих грибах 90% воды → 10% сухого вещества
Пусть масса свежих грибов = x кг
Уравнение: 0.10x = 4
x = 4 ÷ 0.10 = 40 кг
✅ Ответ: 40 кг
В сушёных грибах 20% воды → 80% сухого вещества
Сухого вещества в 5 кг сушёных: 5 × 0.80 = 4 кг
В свежих грибах 90% воды → 10% сухого вещества
Пусть масса свежих грибов = x кг
Уравнение: 0.10x = 4
x = 4 ÷ 0.10 = 40 кг
✅ Ответ: 40 кг
Тип 5: Два условия смешивания (6 задач)
Задача 14. Имеется два сосуда. Первый содержит 60 кг, а второй — 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 76% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 82% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?
(введите число)
Краткое решение:
Пусть концентрация в первом = x, во втором = y (в долях)
Система уравнений:
1) 60x + 20y = 0.76 × 80 = 60.8
2) x + y = 2 × 0.82 = 1.64
Из (2): y = 1.64 - x
Подставляем в (1): 60x + 20(1.64 - x) = 60.8
60x + 32.8 - 20x = 60.8
40x = 28
x = 0.7 (70%)
Кислоты в первом: 60 × 0.7 = 42 кг
✅ Ответ: 42 кг
Пусть концентрация в первом = x, во втором = y (в долях)
Система уравнений:
1) 60x + 20y = 0.76 × 80 = 60.8
2) x + y = 2 × 0.82 = 1.64
Из (2): y = 1.64 - x
Подставляем в (1): 60x + 20(1.64 - x) = 60.8
60x + 32.8 - 20x = 60.8
40x = 28
x = 0.7 (70%)
Кислоты в первом: 60 × 0.7 = 42 кг
✅ Ответ: 42 кг
Задача 15. Смешав 8-процентный и 26-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 16-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 20-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 8-процентного раствора использовали для получения смеси?
(введите число)
Краткое решение:
Пусть масса 8% раствора = x кг, 26% раствора = y кг
Система уравнений:
1) 0.08x + 0.26y = 0.16(x + y + 10)
2) 0.08x + 0.26y + 5 = 0.20(x + y + 10)
Решаем систему: x = 55 кг, y = 60 кг
✅ Ответ: 55 кг
Пусть масса 8% раствора = x кг, 26% раствора = y кг
Система уравнений:
1) 0.08x + 0.26y = 0.16(x + y + 10)
2) 0.08x + 0.26y + 5 = 0.20(x + y + 10)
Решаем систему: x = 55 кг, y = 60 кг
✅ Ответ: 55 кг
Задача 16. Если смешать 45-процентный раствор кислоты и 97-процентный раствор этой же кислоты и добавить 10 кг чистой воды, получится 62-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 72-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 45-процентного раствора использовали для получения смеси?
(введите число)
Краткое решение:
Пусть масса 45% раствора = x кг, 97% раствора = y кг
Система уравнений:
1) 0.45x + 0.97y = 0.62(x + y + 10)
2) 0.45x + 0.97y + 5 = 0.72(x + y + 10)
Решаем систему: x = 15 кг, y = 25 кг
✅ Ответ: 15 кг
Пусть масса 45% раствора = x кг, 97% раствора = y кг
Система уравнений:
1) 0.45x + 0.97y = 0.62(x + y + 10)
2) 0.45x + 0.97y + 5 = 0.72(x + y + 10)
Решаем систему: x = 15 кг, y = 25 кг
✅ Ответ: 15 кг
Задача 17. Если смешать 54-процентный раствор кислоты и 61-процентный раствор этой же кислоты и добавить 10 кг чистой воды, получится 46-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 56-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 54-процентного раствора использовали для получения смеси?
(введите число)
Краткое решение:
Пусть масса 54% раствора = x кг, 61% раствора = y кг
Система уравнений:
1) 0.54x + 0.61y = 0.46(x + y + 10)
2) 0.54x + 0.61y + 5 = 0.56(x + y + 10)
Решаем систему: x = 20 кг, y = 20 кг
✅ Ответ: 20 кг
Пусть масса 54% раствора = x кг, 61% раствора = y кг
Система уравнений:
1) 0.54x + 0.61y = 0.46(x + y + 10)
2) 0.54x + 0.61y + 5 = 0.56(x + y + 10)
Решаем систему: x = 20 кг, y = 20 кг
✅ Ответ: 20 кг
Задача 18. Если смешать 29-процентный раствор кислоты и 33-процентный раствор этой же кислоты и добавить 10 кг чистой воды, получится 19-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 39-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 29-процентного раствора использовали для получения смеси?
(введите число)
Краткое решение:
Пусть масса 29% раствора = x кг, 33% раствора = y кг
Система уравнений:
1) 0.29x + 0.33y = 0.19(x + y + 10)
2) 0.29x + 0.33y + 5 = 0.39(x + y + 10)
Решаем систему: x = 5 кг, y = 10 кг
✅ Ответ: 5 кг
Пусть масса 29% раствора = x кг, 33% раствора = y кг
Система уравнений:
1) 0.29x + 0.33y = 0.19(x + y + 10)
2) 0.29x + 0.33y + 5 = 0.39(x + y + 10)
Решаем систему: x = 5 кг, y = 10 кг
✅ Ответ: 5 кг
Задача 19. Если смешать 40-процентный раствор кислоты и 90-процентный раствор этой же кислоты и добавить 10 кг чистой воды, получится 62-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 72-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 40-процентного раствора использовали для получения смеси?
(введите число)
Краткое решение:
Пусть масса 40% раствора = x кг, 90% раствора = y кг
Система уравнений:
1) 0.40x + 0.90y = 0.62(x + y + 10)
2) 0.40x + 0.90y + 5 = 0.72(x + y + 10)
Решаем систему: x = 10 кг, y = 30 кг
✅ Ответ: 10 кг
Пусть масса 40% раствора = x кг, 90% раствора = y кг
Система уравнений:
1) 0.40x + 0.90y = 0.62(x + y + 10)
2) 0.40x + 0.90y + 5 = 0.72(x + y + 10)
Решаем систему: x = 10 кг, y = 30 кг
✅ Ответ: 10 кг
Дополнительные задачи (3 задачи)
Задача 20. Имеется два сосуда. Первый содержит 50 кг, а второй — 10 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 40% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 52% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?
(введите число)
Краткое решение:
Пусть концентрация в первом = x, во втором = y (в долях)
Система уравнений:
1) 50x + 10y = 0.40 × 60 = 24
2) x + y = 2 × 0.52 = 1.04
Из (2): y = 1.04 - x
Подставляем в (1): 50x + 10(1.04 - x) = 24
50x + 10.4 - 10x = 24
40x = 13.6
x = 0.34 (34%)
Кислоты в первом: 50 × 0.34 = 17 кг
✅ Ответ: 17 кг
Пусть концентрация в первом = x, во втором = y (в долях)
Система уравнений:
1) 50x + 10y = 0.40 × 60 = 24
2) x + y = 2 × 0.52 = 1.04
Из (2): y = 1.04 - x
Подставляем в (1): 50x + 10(1.04 - x) = 24
50x + 10.4 - 10x = 24
40x = 13.6
x = 0.34 (34%)
Кислоты в первом: 50 × 0.34 = 17 кг
✅ Ответ: 17 кг
Задача 21. Имеется два сплава. Первый содержит 5% меди, второй — 14% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 7 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 11% меди. Найдите массу третьего сплава.
(введите число)
Краткое решение:
Пусть масса первого = x кг, тогда второго = x + 7 кг
Уравнение: 0.05x + 0.14(x + 7) = 0.11(2x + 7)
0.05x + 0.14x + 0.98 = 0.22x + 0.77
0.19x + 0.98 = 0.22x + 0.77
0.03x = 0.21
x = 7 кг (первый)
Третий: 2x + 7 = 2×7 + 7 = 21 кг
✅ Ответ: 21 кг
Пусть масса первого = x кг, тогда второго = x + 7 кг
Уравнение: 0.05x + 0.14(x + 7) = 0.11(2x + 7)
0.05x + 0.14x + 0.98 = 0.22x + 0.77
0.19x + 0.98 = 0.22x + 0.77
0.03x = 0.21
x = 7 кг (первый)
Третий: 2x + 7 = 2×7 + 7 = 21 кг
✅ Ответ: 21 кг
Задача 22. Имеется два сплава. Первый содержит 5% никеля, второй — 20% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 150 кг, содержащий 15% никеля. На сколько килограммов массы сплавов отличаются?
(введите число)
Краткое решение:
Пусть масса первого = x кг, тогда второго = 150 - x кг
Уравнение: 0.05x + 0.20(150 - x) = 0.15 × 150
0.05x + 30 - 0.20x = 22.5
-0.15x = -7.5
x = 50 кг (первый)
Второй: 150 - 50 = 100 кг
Первый МЕНЬШЕ на: 100 - 50 = 50 кг
✅ Ответ: 50 кг (первый меньше)
Пусть масса первого = x кг, тогда второго = 150 - x кг
Уравнение: 0.05x + 0.20(150 - x) = 0.15 × 150
0.05x + 30 - 0.20x = 22.5
-0.15x = -7.5
x = 50 кг (первый)
Второй: 150 - 50 = 100 кг
Первый МЕНЬШЕ на: 100 - 50 = 50 кг
✅ Ответ: 50 кг (первый меньше)
📊 Проверить ВСЕ задачи (автоматически проверяет заполненные ответы)
🎯 Методы решения задач (5 основных)
1. Алгебраический метод
Применение: Все типы задач
Суть: Ввод переменных, составление уравнений
\( p_1x + p_2y = p_3(x+y) \)
Пример: Задачи 7-11, 21-22
2. Правило смешения ("крест")
Применение: Смешивание двух компонентов
Суть: Графическое определение соотношений
\( \dfrac{m_1}{m_2} = \dfrac{|p_2 - p_3|}{|p_1 - p_3|} \)
Пример: Задачи 1-4, 9
3. Табличный метод
Применение: Сложные задачи с несколькими компонентами
Суть: Систематизация данных в таблице
| Компонент | Масса | Конц. | Вещество |
|---|---|---|---|
| Раствор 1 | x | p₁ | p₁x |
| Раствор 2 | y | p₂ | p₂y |
| Вода | 10 | 0% | 0 |
| Смесь | x+y+10 | p₃ | p₃(x+y+10) |
Пример: Задачи 15-19
4. Принцип сохранения
Применение: Задачи на сушку, испарение
Суть: Масса сухого вещества не меняется
\( m_{\text{сух}} = \text{const} \)
Пример: Задачи 12-13
5. Система уравнений
Применение: Задачи с двумя условиями
Суть: Два условия → два уравнения
\( \begin{cases}
m_1p_1 + m_2p_2 = p_3(m_1+m_2+M) \\
m_1p_1 + m_2p_2 + M'p' = p_4(m_1+m_2+M')
\end{cases} \)
Пример: Задачи 14-20
📝 Универсальный алгоритм решения:
1. Прочитать условие и определить тип задачи
2. Ввести переменные для неизвестных величин
3. Выразить массы чистого вещества в каждом компоненте
4. Составить уравнение/систему на основе условия
5. Решить уравнение/систему
6. Проверить ответ на соответствие условию
🚨 Типичные ошибки и как их избежать:
1. 10% ≠ 0.01 — правильно: 10% = 0.10
2. Забыли раскрыть скобки — всегда проверяйте: a(b+c) = ab + ac
3. Вода ≠ 0% вещества — вода не содержит вещества, её концентрация = 0%
4. Путаница с массами — масса смеси = сумме масс компонентов
5. Нет проверки — ответ должен быть логичным (например, не может быть отрицательной массы)
1. 10% ≠ 0.01 — правильно: 10% = 0.10
2. Забыли раскрыть скобки — всегда проверяйте: a(b+c) = ab + ac
3. Вода ≠ 0% вещества — вода не содержит вещества, её концентрация = 0%
4. Путаница с массами — масса смеси = сумме масс компонентов
5. Нет проверки — ответ должен быть логичным (например, не может быть отрицательной массы)