Задачи на работу

Задачи на работу: 6 типов + визуальные схемы

📌 Основная формула

Работа = Производительность × Время
A = P × t

Производительность (P) — работа за единицу времени. Если вся работа = 1, то P = 1/t.

Один исполнитель

Время → производительность

P = A / t

Пример: Рабочий делает 40 деталей за 5 часов → P = 40/5 = 8 дет./ч

Производительность → время

t = A / P

Пример: Нужно сделать 120 деталей, производительность 15 дет./ч → t = 120/15 = 8 ч

План vs факт (изменение производительности)

A/x — A/(x±Δ) = Δt

Где x — плановая производительность, Δ — изменение, Δt — изменение времени

Два исполнителя работают вместе

1/t₁ + 1/t₂ = 1/T
или P₁ + P₂ = 1/T

Классическая совместная работа

Уравнение: 1/x + 1/y = 1/T

Соотношение работ: A за a дней = B за b дней

Уравнение: a/x = b/y (где x, y — производительности)

Разные объёмы или производительности

Сравнение объёмов за разное время

V₁/P₁ — V₂/P₂ = Δt

Известна разница в производительности

V/(x+Δ) — V/x = Δt

Разные объёмы + разница производительности

V₂/x — V₁/(x+Δ) = Δt

Где x — производительность одного, (x+Δ) — другого

Последовательное или частичное участие

Общая работа = P₁×t₁ + (P₁+P₂)×t₂
или 1 = P₁×t₁ + (P₁+P₂)×t₂

Один начинает раньше

Уравнение: 1 = (1/x)×t₁ + (1/x + 1/y)×t₂

Частичная работа + совместная

Пример: Первый работает 2 дня один, потом вместе еще 3 дня

Три и более участников (расширение Типа B)

Для трёх: 1/t₁ + 1/t₂ + 1/t₃ = 1/T
Попарно: 2(P₁+P₂+P₃) = 1/t₁₂ + 1/t₂₃ + 1/t₁₃

Динамические изменения

Смена состава бригад

Уравнение: n₁×t₁ + n₂×t₂ = n₃×t₃ + n₄×t₄

Комбинированные сценарии

Составляем уравнение по этапам работы

📝 Задачи по типам (по 3-4 задачи каждого типа)

Тип A: Один исполнитель

A1.1 Рабочий изготавливает 72 детали за 6 часов. Какова его производительность в деталях в час?

P = A / t = 72 / 6 = 12 дет./ч

Ответ: 12 деталей в час

A2.1 Производительность станка 15 деталей в час. За какое время он изготовит 120 деталей?

t = A / P = 120 / 15 = 8 часов

Ответ: 8 часов

A3.1 Токарь должен изготовить 240 деталей. Увеличив производительность на 4 детали в день, он закончил на 3 дня раньше. Сколько деталей в день он делал по плану?

Пусть x дет./день — плановая производительность

240/x — 240/(x+4) = 3

240(x+4) — 240x = 3x(x+4)

3x² + 12x — 960 = 0, x² + 4x — 320 = 0

x = 16 (отрицательный корень отбрасываем)

Ответ: 16 деталей в день

A3.2 Маляр должен покрасить 300 м² забора. Увеличив производительность на 5 м² в день, он закончил на 2 дня раньше. Сколько м² в день он планировал красить?

300/x — 300/(x+5) = 2

300(x+5) — 300x = 2x(x+5)

2x² + 10x — 1500 = 0, x² + 5x — 750 = 0

x = 25

Ответ: 25 м²/день

Тип B: Два исполнителя вместе

B1.1 Первая труба наполняет бассейн за 6 часов, вторая — за 8 часов. За сколько часов наполнят бассейн две трубы вместе?

1/6 + 1/8 = 4/24 + 3/24 = 7/24

T = 1 / (7/24) = 24/7 ≈ 3.43 часа

Ответ: 24/7 часа или ≈ 3 часа 26 минут

B1.2 Двое рабочих вместе выполняют работу за 12 дней. Первый за 4 дня делает столько же, сколько второй за 3 дня. За сколько дней выполнит работу первый?

Пусть первый за x дней, второй за y дней

1/x + 1/y = 1/12 и 4/x = 3/y → y = (3/4)x

1/x + 4/(3x) = 1/12 → 7/(3x) = 1/12

x = 28 дней

Ответ: 28 дней

B1.3 Первый насос наполняет бак за 20 минут, второй — за 30 минут, третий — за 1 час. За сколько минут три насоса вместе?

1/20 + 1/30 + 1/60 = 3/60 + 2/60 + 1/60 = 6/60 = 1/10

T = 10 минут

Ответ: 10 минут

Тип C: Разные объёмы/производительности

C1.1 На изготовление 40 деталей первому нужно на 6 часов меньше, чем второму на 70 деталей. Первый делает на 3 детали больше в час. Сколько деталей в час делает второй?

Пусть второй делает x дет./ч, тогда первый (x+3) дет./ч

70/x — 40/(x+3) = 6

70(x+3) — 40x = 6x(x+3)

6x² — 12x — 210 = 0, x² — 2x — 35 = 0

x = 7 (отрицательный корень отбрасываем)

Ответ: 7 деталей в час

C2.1 Первая труба пропускает на 2 л/мин меньше, чем вторая. Резервуар 120 л первая заполняет на 2 мин дольше. Сколько л/мин пропускает первая?

Пусть первая x л/мин, тогда вторая (x+2) л/мин

120/x — 120/(x+2) = 2

120(x+2) — 120x = 2x(x+2)

x² + 2x — 120 = 0, x = 10

Ответ: 10 л/мин

C3.1 На изготовление 399 деталей первый тратит на 2 часа меньше, чем второй на 420 деталей. Первый делает на 1 деталь больше в час. Сколько деталей в час делает первый?

Пусть первый делает x дет./ч, тогда второй (x-1) дет./ч

420/(x-1) — 399/x = 2

420x — 399(x-1) = 2x(x-1)

2x² — 23x — 399 = 0, x = 21

Ответ: 21 деталь в час

Тип D: Последовательное участие

D1.1 Каждый из двух рабочих одинаковой квалификации может выполнить заказ за 18 часов. Первый начал выполнять заказ, через 2 часа к нему присоединился второй. За сколько часов был выполнен заказ?

Производительность каждого: 1/18

За 2 часа первый сделал: 2/18 = 1/9 работы

Осталось: 8/9 работы

Вместе: 1/18 + 1/18 = 2/18 = 1/9 в час

Время на остаток: (8/9) / (1/9) = 8 часов

Всего: 2 + 8 = 10 часов

Ответ: 10 часов

D2.1 Первая бригада может выполнить заказ за 12 дней, вторая — за 18 дней. Первая бригада работала 5 дней, затем к ней присоединилась вторая. За сколько дней был выполнен заказ?

Первая за 5 дней: 5/12 работы

Осталось: 7/12 работы

Вместе: 1/12 + 1/18 = 5/36 в день

Время на остаток: (7/12) / (5/36) = (7/12)×(36/5) = 21/5 = 4.2 дня

Всего: 5 + 4.2 = 9.2 дня

Ответ: 9.2 дня или 9 дней 5 часов

D3.1 Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 6 дней. Сначала работал только первый, а когда была выполнена половина работы, его сменил второй, который закончил работу. Вся работа была выполнена за 13 дней. За сколько дней каждый может выполнить работу?

Пусть первый за x дней, второй за y дней

1/x + 1/y = 1/6

Первая половина: 0.5/(1/x) = 0.5x дней

Вторая половина: 0.5/(1/y) = 0.5y дней

0.5x + 0.5y = 13 → x + y = 26

Решаем систему: 1/x + 1/y = 1/6 и x + y = 26

xy = 120, x = 20, y = 6 (или наоборот)

Ответ: 20 дней и 6 дней

Тип E: Три и более участников

E1.1 Игорь и Паша красят забор за 9 часов, Паша и Володя — за 12 часов, Володя и Игорь — за 18 часов. За сколько часов покрасят забор втроём?

Пусть производительности: И=x, П=y, В=z

x+y=1/9, y+z=1/12, z+x=1/18

Складываем: 2(x+y+z)=1/9+1/12+1/18=9/36=1/4

x+y+z=1/8

Время: 1/(1/8)=8 часов

Ответ: 8 часов

E1.2 Три насоса наполняют бассейн: первый за 10 часов, второй за 12 часов, третий за 15 часов. За сколько часов наполнят бассейн три насоса вместе?

1/10 + 1/12 + 1/15 = 6/60 + 5/60 + 4/60 = 15/60 = 1/4

T = 4 часа

Ответ: 4 часа

Тип F: Динамические изменения

F1.1 Две бригады выполняют одинаковые заказы. В первой бригаде 8 человек, во второй — 10 человек. Через 4 дня 4 человека перешли из второй бригады в первую. Заказы были выполнены одновременно. Сколько всего дней потребовалось?

Пусть производительность одного рабочего = p, всего дней = t

Работа первой: 8p×4 + 12p×(t-4) = 32p + 12p(t-4)

Работа второй: 10p×4 + 6p×(t-4) = 40p + 6p(t-4)

32p + 12p(t-4) = 40p + 6p(t-4)

32 + 12t — 48 = 40 + 6t — 24

6t = 32 → t = 16/3 ≈ 5.33 дня

Ответ: 5.33 дня

🎯 Практикум (15 смешанных задач)

⚠️ Задачи даны без указания типа. Определите тип самостоятельно!

Задача 1: Двое рабочих вместе выполняют работу за 8 дней. Первый за 3 дня делает столько же, сколько второй за 2 дня. За сколько дней выполнит работу первый?

Задача 2: Первая труба наполняет бассейн за 6 часов, вторая — за 9 часов. За какое время наполнится бассейн, если открыть обе трубы одновременно?

Задача 3: На изготовление 180 деталей первый рабочий тратит на 3 часа меньше, чем второй на 240 деталей. Первый делает на 4 детали в час больше. Сколько деталей в час делает первый?

Задача 4: Плиточник должен уложить 240 м² плитки. Увеличив производительность на 8 м² в день, он закончил на 3 дня раньше. Сколько м² в день он планировал укладывать?

Задача 5: Две бригады, работая вместе, могут выполнить работу за 8 дней. Первая бригада, работая одна, выполнила бы эту работу на 12 дней быстрее, чем вторая. За сколько дней выполнит работу первая бригада?

Задача 6: Первый насос наполняет бак за 24 минуты, второй — за 40 минут. За сколько минут наполнят бак два насоса вместе?

Задача 7: Двое рабочих, работая вместе, выполняют работу за 6 дней. Сколько дней потребуется каждому в отдельности, если первый сделает такую же работу на 5 дней быстрее второго?

Задача 8: Три бригады изготовили вместе 114 деталей. Известно, что вторая бригада изготовила деталей в 3 раза больше, чем первая, и на 16 деталей меньше, чем третья. Сколько деталей изготовила первая бригада?

Задача 9: Мастер и ученик должны были выполнить работу за 6 дней. После двух дней совместной работы мастер заболел, и ученик закончил работу один за 4 дня. За сколько дней мог бы выполнить всю работу каждый в отдельности?

Задача 10: Бассейн наполняется через первую трубу за 4 часа, через вторую — за 6 часов. За какое время наполнится бассейн, если открыть обе трубы одновременно?

Задача 11: На изготовление 360 деталей первый рабочий затрачивает на 8 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 480 деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 4 детали больше, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий?

Задача 12: Один экскаватор может вырыть котлован за 12 дней, а второй — за 8 дней. Первый проработал 3 дня, затем его сменил второй. За сколько дней был вырыт котлован?

Задача 13: Два печника, работая вместе, сложили печь за 12 дней. Если бы сначала первый печник работал 5 дней, а затем один второй закончил работу, то вся работа заняла бы 25 дней. За сколько дней сложил бы печь каждый печник в отдельности?

Задача 14: Первая труба пропускает на 3 литра воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 180 литров она заполняет на 3 минуты дольше, чем вторая труба резервуар объемом 162 литра?

Задача 15: Три насоса, работая вместе, наполняют бассейн за 4 часа. Первый насос наполняет бассейн на 6 часов быстрее третьего, а второй — на 8 часов быстрее третьего. За сколько часов наполняет бассейн третий насос?

Дополнительно

Скачать

ТЕМЫ

ЕГЭ ПРОФИ

📌 Основная формула

📝 Задачи по типам (по 3-4 задачи каждого типа)

🎯 Практикум (15 смешанных задач)

Дополнительно