Экономические задачи

За каждым заданием второй части профильного ЕГЭ по математике уже давно закрепилось неофициальное название: так, задание 16 учителя и учащиеся называют экономической задачей. Это название объединяет задачи на кредиты и вклады, а также задачи на оптимизацию.

Презентация: https://www.abiturient.ru/upload/content/abiturient_ru/EGE/2017Zan17.pdf

Кредит банка – сумма денежных средств, которую заёмщик обязуется вернуть банку в соответствии с условиями заключённого договора (проценты, сроки промежуточных платежей и др.). Платёж по кредиту состоит из основного долга и процентов. Основной долг — это размер кредита. А проценты — это сумма, которую берет банк за пользование кредитом. 

Основные понятия

S — сумма кредита или вклада (в рублях)
r — процентная ставка (например, 10% → r=10 )
k = 1 + r/100 — коэффициент роста долга/вклада (например, при 10% → k=1.1 )
n — количество периодов (лет, месяцев)
x — размер платежа (если аннуитетный)
d = S/n — ежемесячное (ежегодное) погашение основного долга (для дифференцированного)

1: https://trushinbv.ru/images/book_econom.pdf

Задача 1

В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на сумму 800 тысяч рублей на 10 лет. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего года (r – целое число);
– с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга;
– в июле 2026, 2027, 2028, 2029, 2030 годов долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года;
– в июле 2030 года долг должен составлять 200 тыс. руб.;
– в июле 2031, 2032, 2033, 2034, 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года;
– к июлю 2035 года долг должен быть полностью погашен.
Найдите r, если общая сумма выплат по кредиту составила 1480 тыс. руб

Дано:

Общая сумма выплат: 1480 тыс. руб

Кредит: S=800 тыс. руб. (июль 2025).

Срок: 10 лет (до июля 2035).

Ставка: r% в январе (r — целое).

График:

2026–2030 (5 лет): долг каждый июль уменьшается на x тыс. руб.

2030 июль: долг = 200 тыс. руб.

2031–2035 (5 лет): долг каждый июль уменьшается на y тыс. руб.

2035 июль: долг = 0.

Решение

1. Определяем x и y

Период 1 (2026–2030):

Июль 2025: 800
Июль 2026: 800−x
Июль 2027: 800−2x
Июль 2028: 800−3x
Июль 2029: 800−4x
Июль 2030: 800−5x

По условию:

800−5x=200⇒5x=600⇒x=120

Период 2 (2031–2035):

Июль 2030: 200
Июль 2031: 200−y
Июль 2032: 200−2y
Июль 2033: 200−3y
Июль 2034: 200−4y
Июль 2035: 200−5y

По условию:

200−5y=0⇒5y=200⇒y=40

2. Долг на начало каждого года (для начисления процентов)

Проценты начисляются в январе на долг на конец предыдущего июля.

Период 1:

Период 2:

3. Выплаты

Каждый год:
Выплата = проценты за год + уменьшение долга за год.

Уменьшение долга за год:

• 2026–2030: x=120
• 2031–2035: y=40

Сумма всех уменьшений долга:

5×120+5×40=600+200=800

Это равно сумме кредита — верно.

4. Сумма процентов

Общая сумма выплат = сумма кредита + сумма процентов.

1480=800+I⇒I=680

где I — общая сумма выплаченных процентов.

5. Вычисление r

Проценты начисляются в январе на долг на конец предыдущего июля.

Коэффициент увеличения долга в январе: 

k=1+r/100

Проценты за год = r/100×(долг на июль предыдущего года).

Сумма процентов:

I = \frac{r}{100} \times 2800 + \frac{r}{100} \times 600 = \frac{r}{100} \times 3400

Сумма выплат:

800 + \frac{r}{100} \times 3400 = 1480\\

\frac{r}{100} \times 3400 = 680\\

34r = 680\\

r = 20

Ответ: 20

Задача 2

В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму
на 10 лет. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг увеличивается на 10 % по сравнению с концом
предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга
одним платежом;
– в июле каждого из годов с 2026 по 2030 долг уменьшается на одну и
ту же сумму по сравнению с июлем предыдущего года;
– в июле каждого из годов с 2031 по 2035 долг уменьшается на одну
и ту же сумму по сравнению с июлем предыдущего года, отличную от
суммы, на которую долг уменьшался первые пять лет.
Известно, что в конце 2030 года долг составил 800 тысяч рублей. Найдите начальную величину кредита, если сумма всех выплат по кредиту
оказалась равна 2090 тысяч рублей.

Дано:

• Кредит берётся в июле 2025 года на 10 лет → полностью погашается к июлю 2035 года.
• Ежегодно в январе долг увеличивается на 10%.
• С февраля по июнь — один платёж, после которого долг к июлю становится заданным.
• С 2026 по 2030 (5 лет): долг в июле уменьшается на одну и ту же сумму каждый год → обозначим эту сумму как x.
• С 2031 по 2035 (ещё 5 лет): долг уменьшается на другую постоянную сумму → обозначим её как y.
• В июле 2030 года долг = 800 тыс. руб.
• В июле 2035 года долг = 0.
• Общая сумма всех выплат = 2090 тыс. руб.
• Найти: начальную сумму кредита (в июле 2025) — обозначим её S (в тыс. руб.).

Решение

1. Связь между S, x и y

Долг в июле:

• 2025: S
• 2026: S – x
• 2027: S – 2x
• 2028: S – 3x
• 2029: S – 4x
• 2030: S – 5x = 800 → (1)

S=800+5x

Далее:

• 2031: 800 – y
• 2032: 800 – 2y
• 2033: 800 – 3y
• 2034: 800 – 4y
• 2035: 800 – 5y = 0 → (2)

800−5y=0⇒y=160

2. Выплаты по годам

В каждом году:

• В январе долг умножается на 1.1
• Платёж = долг после начисления процентов – долг в июле этого года

Выплаты за 2026–2030:

Обозначим долг в июле предыдущего года как D , тогда платёж = 1.1D−(D−x)=0.1D+x

Последовательно:

• 2026: D=S → платёж = 0.1S+x
• 2027: D=S−x → платёж = 0.1(S−x)+x=0.1S+0.9x
• 2028: D=S−2x → платёж = 0.1S+0.8x
• 2029: D=S−3x → платёж = 0.1S+0.7x
• 2030: D=S−4x → платёж = 0.1S+0.6x

Сумма выплат за первые 5 лет:

5⋅0.1S+(x+0.9x+0.8x+0.7x+0.6x)=0.5S+4x

Поскольку сумма арифметической прогрессии: среднее = (x + 0.6x)/2 = 0.8x, умножить на 5 → 4x

Выплаты за 2031–2035:

Теперь долг в июле 2030 = 800, и каждый год уменьшается на y = 160

Аналогично: платёж в году k (k = 1..5) :

1.1⋅(800−(k−1)y)−(800−ky)=0.1(800−(k−1)y)+y

Подставим y = 160:

• 2031: 0.1⋅800+160=80+160=240
• 2032: 0.1⋅640+160=64+160=224
• 2033: 0.1⋅480+160=48+160=208
• 2034: 0.1⋅320+160=32+160=192
• 2035: 0.1⋅160+160=16+160=176

Сумма = 240+224+208+192+176=1040 (тыс. руб.)

3. Общая сумма выплат

По условию: общая сумма выплат = 2090 тыс. руб.

Сумма выплат = выплаты за 2026–2030 + выплаты за 2031–2035

(0.5S+4x)+1040=2090 → 0.5S+4x=1050(3)

Но ранее мы получили:

S=800+5x(1′)

Подставим (1′) в (3):

0.5(800+5x)+4x=1050\\400+2.5x+4x=1050\\400+6.5x=1050\\6.5x=650\\x=100

Тогда:

S=800+5x=800+500=1300

Ответ:

Начальная сумма кредита — 1300 тысяч рублей, то есть 1 300 000 рублей.

✅ Проверка:

Итого = 2090 — совпадает.

x = 100, y = 160

Выплаты 2026–2030:

0.1·1300 + 100 = 130 + 100 = 230

0.1·1300 + 90 = 220

210, 200, 190 → сумма = 230+220+210+200+190 = 1050

Выплаты 2031–2035 = 1040

Задача 3

В июле 2026 года планируется взять кредит на пять лет в размере 3,3
млн руб. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг будет возрастать на 20 % по сравнению с концом
предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
– в июле 2027, 2028 и 2029 годах долг остаётся равен 3,3 млн руб.;
– платежи в 2030 и 2031 годах должны быть равны;
– к июлю 2031 года долг должен быть выплачен полностью.
Найдите разницу между первым и последним платежами.

Дано:

• Кредит взят в июле 2026 года на 5 лет, сумма — 3,3 млн руб. = 3 300 000 руб.
• Каждый январь долг увеличивается на 20% → умножается на 1.2.
• С февраля по июнь — один платёж в год.
• В июле 2027, 2028 и 2029 долг остаётся равным 3,3 млн → значит, в 2027, 2028, 2029 годах выплачиваются только проценты.
• Платежи в 2030 и 2031 годах равны между собой.
• К июлю 2031 года долг = 0.
• Найти: разницу между первым и последним платежами.

Первый платёж — в 2027 году, последний — в 2031 году.

Решение

1. Выплаты в 2027–2029 (только проценты)

Долг в июле 2026: 3 300 000

Каждый январь начисляется 20%:

• Январь 2027: 1.2⋅3300000=3960000
• Чтобы к июлю 2027 долг снова стал 3 300 000, нужно выплатить:3960000−3300000=660000

Это 20% от 3,3 млн — действительно, только проценты.

Аналогично в 2028 и 2029 годах — каждый раз долг в июле остаётся 3,3 млн ⇒ выплата = 660 000 руб.

Итак:

• Первый платёж (2027) = 660 000 руб.

2. Погашение основного долга в 2030 и 2031

После июля 2029 долг всё ещё 3 300 000 руб.

Январь 2030:

• Долг = 1.2⋅3300000=3960000
• Платёж в 2030 = X → долг в июле 2030 = 3960000−X

Январь 2031:

• Долг = 1.2⋅(3960000−X)
• Платёж в 2031 = тоже X , и после него долг = 0:

1.2(3960000−X)−X=0

Решим уравнение:

1.2(3960000−X)=X\\1.2⋅3960000−1.2X=X\\4752000=X+1.2X=2.2X\\X=4752000​/2.2=47520000/22​=2160000

Проверка:

• 2030: долг после начисления = 3 960 000, платим 2 160 000 → остаток = 1 800 000
• 2031: начисляются 20% → 1 800 000 × 1.2 = 2 160 000, платим 2 160 000 → долг = 0 ✅

Итак:

• Последний платёж (2031) = 2 160 000 руб.

3. Разница между первым и последним платежами

2160000−660000=1500000

✅ Ответ: 1 500 000 рублей

2. https://3.shkolkovo.online/catalog/7172

Задача 4

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 545 000 рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 40% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года)?

Решение

Составим таблицу

\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Год} & \text{Долг до \%} & \text{Долг после \%} & \text{Платёж} & \text{Долг после платежа} \\
\hline
2026\ (\text{июль}) & — & — & — & 545\,000 \\
\hline
2027\ (\text{янв}) & 545\,000 & 1{,}4 \cdot 545\,000 & x & 1{,}4 \cdot 545\,000 - x \\
\hline
2028\ (\text{янв}) & 1{,}4 \cdot 545\,000 - x & 1{,}4(1{,}4 \cdot 545\,000 - x) & x & 1{,}4^2 \cdot 545\,000 - 1{,}4x - x \\
\hline
2029\ (\text{янв}) & 1{,}4^2 \cdot 545\,000 - 2{,}4x & 1{,}4(1{,}4^2 \cdot 545\,000 - 2{,}4x) & x & 0 \\
\hline
\end{array}

Так как в конце третьего года кредит будет погашен, то

k^3 S - k^2 x - k x = x\\
x (k^2 + k + 1) = k^3S\\
x \cdot \frac{k^3 - 1}{k - 1} = k^3 S\\
x = S k^3 \cdot \frac{k - 1}{k^3 - 1}\\

\text{Вычислим:} \\
x = S \cdot 1{,}4^3 \cdot \frac{0{,}4}{1{,}4^3 - 1} = S \cdot \frac{14^3}{10^3} \cdot \frac{400}{14^3 - 10^3} =\\
= S \cdot 14^3 \cdot \frac{4}{10 \cdot (14^3 - 10^3)} = 545\,000 \cdot 14^3 \cdot \frac{1}{4360} =125\cdot 14^3 =70^3 = 343\,000\\

\text{Общая сумма выплат: } 3x = \boxed{1\,029\,000}

Общая формула

k^n S = x(k^{n-1} + k^{n-2} + \dots + 1) = x \cdot \frac{k^n - 1}{k - 1}\\
x = S \cdot k^n \cdot \frac{k - 1}{k^n - 1}\\

Задача 5

В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма платежей после полного погашения кредита должна быть на 65 500 рублей больше суммы, взятой кредита?

Решение

x = S \cdot k^3 \cdot \frac{k - 1}{k^3 - 1}, \quad k = \frac{5}{4}\\

x = S \cdot \frac{125}{64} \cdot \frac{1/4}{61/64} = S \cdot \frac{125}{244}\\

3x = S + 65\,500 \Rightarrow S \cdot \frac{375}{244} = S + 65\,500\\

S \cdot \frac{131}{244} = 65\,500 \Rightarrow S = 65\,500 \cdot \frac{244}{131} = 500 \cdot 244 = \boxed{122\,000}

Задача 6

В июле 2026 года планируется взять кредит на 3 года в размере 800 000 рублей. Условия его возврата таковы:

— в январе 2027 и 2028 годов долг будет возрастать на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

— в январе 2029 года долг будет возрастать на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года)?

Решение

Введем обозначения

S = 800\,000 \text{ — сумма кредита}, \quad x \text{ — ежегодный платёж}.

Коэффициенты роста долга:

k_1 = 1{,}1 \quad (\text{10\%}), \qquad k_2 = 1{,}2 \quad (\text{20\%}).

Построим таблицу

\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Год} & \text{Долг до \%} & \text{Долг после \%} & \text{Платёж} & \text{Долг после платежа} \\
\hline
2026\ (\text{июль}) & — & — & — & 800\,000 \\
\hline
2027\ (\text{янв}) & 800\,000 & 1{,}1 \cdot 800\,000 = 880\,000 & x & 880\,000 - x \\
\hline
2028\ (\text{янв}) & 880\,000 - x & 1{,}1(880\,000 - x) & x & 1{,}1(880\,000 - x) - x \\
\hline
2029\ (\text{янв}) & 1{,}1(880\,000 - x) - x & 1{,}2[1{,}1(880\,000 - x) - x] & x & 0 \\
\hline
\end{array}
\\

Расчеты

\text{Так как кредит погашен, то:} \\
1{,}2 \left( 1{,}1^2 S - 2{,}1x \right) = x \\
1{,}2 \cdot 1{,}1^2 S = x + 1{,}2 \cdot 2{,}1x \\
3{,}52x = 1{,}2 \cdot 1{,}1^2 S \\
x = \frac{1{,}2 \cdot 1{,}1^2}{3{,}52} S = \frac{12 \cdot 11}{320} S = \frac{33}{80} S \\
\text{Подставляем } S = 800\,000: \\
x = \frac{33}{80} \cdot 800\,000 = 33 \cdot 10\,000 = 330\,000 \\

\text{Общая сумма выплат: } 3x = \boxed{990\,000}

Дополнительно

Источник: https://mathus.ru/math/ege19.pdf

Источник: https://mathcourse.ru/wp-content/uploads/2025/03/6_3-materialy-dlya-uchit-differencz-platezhi-plavayushhaya-stavka.pdf

Источник: https://everest-edu.ru/wp-content/uploads/2024/07/Экономические-задачи-на-ЕГЭ-по-математике.pdf

Источник: https://fgosonline.ru/wp-content/uploads/2021/04/Ekonomicheskie_zadachi_EGE.pdf