Задача:
В киоске продают мороженое по цене 50 руб. за штуку. Если повысить цену на 1 руб., продажи падают на 10 штук. Себестоимость одного мороженого — 20 руб. Какую цену установить, чтобы получить максимальную прибыль?
Пошаговое решение
1. Определяем переменные:
- Пусть x — количество повышений цены на 1 руб.
- Тогда:
- Новая цена: 50+x руб.
- Количество продаж: 200−10x штук (изначально продавали 200 шт.)
2. Считаем прибыль:
- Доход: (50+x)(200−10x)
- Расходы: 20×(200−10x)
- Прибыль: P=(50+x)(200−10x)−20(200−10x)
3. Упрощаем уравнение:
P=(200−10x)(50+x−20)=(200−10x)(30+x)
P=6000+200x−300x−10x^2=−10x^2−100x+6000
4. Находим максимум:
Это парабола ветвями вниз (a=−10).
Вершина дает максимальную прибыль:
x=−b/2a=100/(2×10)=5
5. Оптимальная цена: 50+5=55 руб.
6. Проверка:
- При x=5:
- Продажи: 200−50=150 шт.
- Прибыль: (55−20)×150=5250 руб.
- При x=4:
- Прибыль: 5240 руб.
- При x=6:
- Прибыль: 5240 руб.
Дополнительные задачи
- Книжный магазин:
Цена книги 300 руб., продажи 100 шт. Каждое повышение цены на 10 руб. уменьшает продажи на 5 шт. Себестоимость — 150 руб. Найти оптимальную цену.
Ответ: 325 руб. - Производство телефонов:
При цене 5000 руб. завод продает 1000 телефонов. Каждые 100 руб. скидки увеличивают продажи на 50 шт. Себестоимость — 3000 руб. Найти цену для максимума прибыли.
Ответ: 4500 руб.
Вывод
Квадратные уравнения помогают бизнесу принимать обоснованные решения о ценообразовании. Этот метод применяется в:
- Розничной торговле
- Производстве
- Сфере услуг
Формула успеха:
Прибыль=(Цена−Себестоимость)×Количество продаж
Оптимизируя это уравнение, можно найти лучшую стратегию!