Формула Брахмагупты

Формула для вычисления площади вписанного в окружность четырёхугольника по длинам его сторон. Открыта индийским математиком Брахмагуптой в VII веке.

Формула Брахмагупты

Для вписанного в окружность четырёхугольника с длинами сторон \(a, b, c, d\) площадь вычисляется по формуле:

Формула площади циклического четырёхугольника:

S = \sqrt{(p — a)(p — b)(p — c)(p — d)}

где:

\[ p = \frac{a + b + c + d}{2} \] p — полупериметр четырёхугольника

История и значение

Формула была открыта Брахмагуптой (598–668 гг. н.э.) — выдающимся индийским математиком и астрономом.

Это открытие стало одним из самых значительных достижений древнеиндийской математики.

Связь с формулой Герона

Формула Брахмагупты является обобщением формулы Герона для площади треугольника:

S_{\triangle} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}

Пример расчёта

Дано: Вписанный в окружность четырёхугольник со сторонами:

\(a = 7,\quad b = 15,\quad c = 20,\quad d = 24\)

Решение:

Шаг 1: Находим полупериметр p
\[ p = \frac{7 + 15 + 20 + 24}{2} = \frac{66}{2} = 33 \]

Шаг 2: Подставляем в формулу
\[ S = \sqrt{(33-7)(33-15)(33-20)(33-24)} \]
\[ S = \sqrt{26 \times 18 \times 13 \times 9} \]
\[ S = 13 \times 2 \times 9 = 234 \]

Ответ: Площадь четырёхугольника равна 234 квадратных единиц.

Ключевые особенности

Формула работает только для вписанных четырёхугольников (все вершины лежат на одной окружности).
Обобщённая версия для вычисления площади любого четырёхугольника называется формулой Бретшнайдера.

Формула Бретшнайдера

Обобщённая формула для площади любого выпуклого четырёхугольника была получена немецким математиком Карлом Антоном Бретшнайдером в 1842 году.

Общая формула площади четырёхугольника:

S = \sqrt{(p — a)(p — b)(p — c)(p — d) — abcd \cdot \cos^2\left(\frac{\alpha + \gamma}{2}\right)}

где \(\alpha\) и \(\gamma\) — противоположные углы

Теорема Брахмагупты

Существует теорема Брахмагупты о перпендикулярных диагоналях во вписанном четырёхугольнике.

Если вписанный четырёхугольник имеет перпендикулярные диагонали, пересекающиеся в точке М, то прямая, проходящая через точку М и перпендикулярная одной из его сторон, делит противоположную ей сторону пополам.

ТЕМЫ

ЕГЭ ПРОФИ