Формула площади Гаусса или «формула шнуровки» 

Формула Гаусса (Гаусса-Остроградского, также известную как теорема Остроградского), также известная как формула шнуровки (shoelace formula на английском), — это способ вычисления площади простого (непересекающегося) многоугольника на плоскости, если известны декартовы координаты его вершин.

Формула площади многоугольника была впервые описана Георгом Мейстером в 1769 году и позднее независимо Карлом Фридрихом Гауссом в 1795 году. Название «формула шнуровки» связано с тем, что положительные и отрицательные слагаемые, состоящие из перемножаемых координат, располагаются крест-накрест, как при завязывании шнурков. 

Дополнительно

Формула получила своё название в честь немецкого математика Карла Фридриха Гаусса, который широко применял подобные методы в геодезии и математике. В частности, она отражает способ подсчёта площади через суммы площадей треугольников с вершиной в начале координат, что связано с геодезическими измерениями. Такое применение известно с XIX века, однако точное историческое происхождение формулы связано с развитием аналитической геометрии и вычислительной математики.

Алгоритм (формула шнурования)

1. Вершины многоугольника записываются в порядке обхода контура, обычно против часовой стрелки, начиная с любой вершины. Последняя вершина дублируется первой, чтобы замкнуть последовательность.
2. Вычисляется два слагаемых:
   • Сумма произведений координаты х вершины на координату у следующей вершины.
   • Сумма произведений координаты у вершины на координату х следующей вершины.
3. Разность этих сумм берётся по модулю и делится на 2:

Площадь, вычисленная по формуле, имеет отрицательное значение при обходе фигуры по часовой стрелке и положительное — при обходе против часовой стрелки.

Шаги вычисления:

• Записать координаты вершин в порядке обхода (по или против часовой стрелки).
• Для каждой вершины вычислить x_i⋅y_i+1−x_i+1⋅y_i​.
• Сложить все полученные значения.
• Взять модуль суммы и разделить на 2.

Пример 1

Даны вершины четырехугольника: A(1,2), B(4,5),C(7,3), D(4,1).

Решение:

1. Запишем вершины в порядке обхода (например, по часовой стрелке): (1,2), (4,5), (7,3), (4,1), (1,2).
2. Для каждой вершины вычислить x_i⋅y_i+1−x_i+1⋅y_i​.
   • (1⋅5−4⋅2)=5−8=−3
   • (4⋅3−7⋅5)=12−35=−23
   • (7⋅1−4⋅3)=7−12=−5
   • (4⋅2−1⋅1)=8−1=7​
3. Суммируем:−3+(−23)+(−5)+7=−24
4. Берем модуль и делим на 2: S=1/2×∣−24∣=12

Ответ: площадь равна 12 квадратных единиц.

Пример 2

Пример 3

Рассмотрим выпуклый пятиугольник с вершинами в точках (1, 1), (5, 1), (6, 3), (4, 5), (2, 4), нарисованный на клетчатой бумаге размером 1×1.

Подставляем наши точки в порядке обхода:

• (x₁,y₁)=(1,1)
• (x₂,y₂)=(5,1)
• (x₃,y₃)=(6,3)
• (x₄,y₄)=(4,5)
• (x₅,y₅)=(2,4)

Вычислим сумму:

• x₁y₂+x₂y₃+x₃y₄+x₄y₅+x₅y₁=1×1+5×3+6×5+4×4+2×1=1+15+30+16+2=64

Теперь обратную сумму:

• y₁x₂+y₂x₃+y₃x₄+y₄x₅+y₅x₁=1×5+1×6+3×4+5×2+4×1=5+6+12+10+4=37

Разность по формуле:

• ∣64−37∣=27

Площадь:

• S=1/2×27=13.5

Ответ: площадь по формуле Гаусса — 13,5 кв. ед.

Пример 4 (треугольник):

Вершины: (0,0),(4,0),(4,3)

S=1/2​∣(0⋅0+4⋅3+4⋅0)−(0⋅4+0⋅4+3⋅0)∣=\\=1/2∣(0+12+0)−(0+0+0)∣=12​/2=6.

Это совпадает с площадью прямоугольного треугольника: 21​⋅4⋅3=6 .

Формула применима к любому простому многоугольнику (не обязательно выпуклому).

Для самостоятельного решения

Попробуйте посчитать площадь каждого самостоятельно, используя:
— формулу Гаусса,
— формулы расчета площади геометрических фигур.

Сравните результаты, чтобы убедиться, что способы дают совпадающий итог.