Формула Пика была открыта и доказана австрийским математиком Георгом Александром Пиком (1859–1942) в 1899 году. Изначально этот результат не получил широкой известности, однако в середине XX века стал активно использоваться в математическом образовании и задачах на комбинаторную геометрию.
Георг Пик был разносторонним математиком, опубликовал работы по алгебре, анализу, геометрии. Однако именно формула, дающая простой способ вычисления площадей многоугольников на клетчатой (целочисленной) решетке, сделала его всемирно известным.
Формула Пика позволяет вычислять площадь любого многоугольника, вершины которого находятся в узлах квадратной решетки (координаты — целые числа).
Важно: Формула применяется только к многоугольникам, у которых все вершины — в узлах сетки (целочисленные координаты).
Формула Пика
Изучение площадей многоугольников на клетчатой бумаге
Формула Пика
Вычисление площади многоугольника с вершинами в узлах сетки
Что такое формула Пика?
Формула Пика — это математическая теорема, позволяющая вычислять площадь многоугольника, если все его вершины лежат в узлах целочисленной решетки (клетчатой бумаги).
Формула:
Как применять формулу:
- Убедитесь, что все вершины многоугольника находятся в узлах сетки
- Посчитайте точки строго внутри фигуры (B)
- Посчитайте точки на границе фигуры (Г)
- Подставьте значения в формулу
Пример расчета:
Формулы площади плоских фигур
Основные формулы для вычисления площадей различных геометрических фигур
Прямоугольник
где a и b — длины сторон
Треугольник
где a — основание, h — высота
Параллелограмм
где a — основание, h — высота
Трапеция
где a, b — основания, h — высота
Круг
где r — радиус круга
Многоугольник через координаты
формула Гаусса
Демонстрация расчета площади
Сравнение расчета по формуле Пика и разбиением на простые фигуры
Визуализация фигуры
Расчет по формуле Пика:
Расчет разбиением:
Конструктор заданий
Создайте свой многоугольник, щелкая по сетке. Для завершения фигуры соедините первую и последнюю точки.
Проверка ответа
Результаты:
Для самостоятельного решения
Попробуйте посчитать площадь каждого самостоятельно, используя:
— формулу Пика,
— формулы расчета площади геометрических фигур.
Сравните результаты, чтобы убедиться, что способы дают совпадающий итог.
| № | Вершины многоугольника | Для самостоятельного применения | Ответ (Площадь) |
|---|---|---|---|
| 1 | (0,0), (4,0), (4,3), (0,3) | Прямоугольник (формула S = ab) | 12 |
| 2 | (1,1), (5,1), (3,4) | Треугольник (формула S = ½bh) | 6 |
| 3 | (2,1), (7,1), (7,5), (2,5) | Прямоугольник (формула S = ab) | 20 |
Дополнительно:
- Формула Пика (презентация): http://dpo-smolensk.ru/RUMO/UMO-pred_EMC/pik.pdf
Источник: https://old.kvantik.com/art/files/pdf/2021-08.18-21.pdf