Формула включения-исключения

От /

Формула включения-исключения — мощный инструмент комбинаторики, который помогает считать количество элементов, удовлетворяющих сложным условиям (например, «хотя бы один», «не более двух» и т.д.). 

Пошаговая инструкция к решению

1️⃣ Определите множества (например, «ученики, занимающиеся математикой»).
2️⃣ Запишите данные:

  • количество элементов в каждом множестве,
  • количество в пересечениях.

3️⃣ Подставьте в формулу (для 2, 3 или более множеств).
4️⃣ Найдите искомое:

Если нужно «ни одного», вычитаем из общего числа.

Если нужно найти «хотя бы один», вычисляем ∣A∪B∪C∣.

Реальные задачи по теории вероятностей

📊 Формула включения-исключения

Теория и практика

📐 Формула включения-исключения

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) — P(A ∩ B)
P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) — P(A ∩ B) — P(A ∩ C) — P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C)

Когда использовать: Когда нужно найти вероятность того, что произойдет хотя бы одно из нескольких событий, и эти события могут происходить одновременно.

📊 Задача 1: Социологический опрос

Ситуация

В городе провели опрос 1000 человек. Результаты:

  • 600 человек читают газеты
  • 400 человек слушают радио
  • 300 человек смотрят телевизор
  • 200 человек читают газеты И слушают радио
  • 150 человек читают газеты И смотрят телевизор
  • 100 человек слушают радио И смотрят телевизор
  • 50 человек используют все три источника информации

Вопрос: Какова вероятность, что случайно выбранный человек использует хотя бы один источник информации?

Решение:

События:

A = «читает газеты» → P(A) = 600/1000 = 0.6
B = «слушает радио» → P(B) = 400/1000 = 0.4
C = «смотрит телевизор» → P(C) = 300/1000 = 0.3

Попарные пересечения:

P(A ∩ B) = 200/1000 = 0.2
P(A ∩ C) = 150/1000 = 0.15
P(B ∩ C) = 100/1000 = 0.1

Тройное пересечение:

P(A ∩ B ∩ C) = 50/1000 = 0.05

Применяем формулу включения-исключения:

P(A ∪ B ∪ C) = 0.6 + 0.4 + 0.3 — 0.2 — 0.15 — 0.1 + 0.05
= 1.3 — 0.45 + 0.05 = 0.9

Ответ: 90%

💻 Задача 2: Надежность системы

Ситуация

Вероятности отказа компонентов компьютерной системы в течение года:

  • Процессор: 2%
  • Память: 3%
  • Жёсткий диск: 5%
  • Процессор И память: 0.5%
  • Процессор И жёсткий диск: 0.8%
  • Память И жёсткий диск: 1%
  • Все три компонента: 0.1%

Вопрос: Какова вероятность, что система выйдет из строя в течение года?

Решение:

События отказа:

A = «отказ процессора» → P(A) = 0.02
B = «отказ памяти» → P(B) = 0.03
C = «отказ жёсткого диска» → P(C) = 0.05

Применяем формулу:

P(A ∪ B ∪ C) = 0.02 + 0.03 + 0.05 — 0.005 — 0.008 — 0.01 + 0.001
= 0.1 — 0.023 + 0.001 = 0.078

Ответ: 7.8%

Интересный факт: Если бы отказы были независимы, вероятность была бы:

P = 1 — (1-0.02)×(1-0.03)×(1-0.05) = 1 — 0.98×0.97×0.95 ≈ 0.097 9.7%

Разница показывает, что отказы компонентов зависимы!

🏥 Задача 3: Медицинская диагностика

Ситуация

При обследовании пациентов выявлены вероятности симптомов:

  • Повышенная температура: 40%
  • Головная боль: 60%
  • Слабость: 50%
  • Температура И головная боль: 25%
  • Температура И слабость: 20%
  • Головная боль И слабость: 30%
  • Все три симптома: 15%

Вопрос: Какова вероятность, что у пациента есть хотя бы один симптом?

Решение:

P(A ∪ B ∪ C) = 0.4 + 0.6 + 0.5 — 0.25 — 0.2 — 0.3 + 0.15
= 1.5 — 0.75 + 0.15 = 0.9

Ответ: 90%

Дополнительный вопрос: Какова вероятность, что у пациента ровно один симптом?

Только A: 0.4 — 0.25 — 0.2 + 0.15 = 0.1
Только B: 0.6 — 0.25 — 0.3 + 0.15 = 0.2
Только C: 0.5 — 0.2 — 0.3 + 0.15 = 0.15
Сумма: 0.1 + 0.2 + 0.15 = 0.45 45%

🛒 Задача 4: Маркетинговое исследование

Ситуация

Исследование покупательских привычек 2000 клиентов:

  • Покупают продукт A: 45%
  • Покупают продукт B: 35%
  • Покупают продукт C: 30%
  • Покупают A и B: 15%
  • Покупают A и C: 12%
  • Покупают B и C: 10%
  • Покупают все три продукта: 5%

Вопросы:

  1. Какова вероятность, что клиент покупает хотя бы один продукт?
  2. Сколько клиентов покупают только один продукт?

Решение:

1. Хотя бы один продукт:

P(A ∪ B ∪ C) = 0.45 + 0.35 + 0.30 — 0.15 — 0.12 — 0.10 + 0.05
= 1.10 — 0.37 + 0.05 = 0.78 78%

2. Только один продукт:

Только A: 0.45 — 0.15 — 0.12 + 0.05 = 0.23
Только B: 0.35 — 0.15 — 0.10 + 0.05 = 0.15
Только C: 0.30 — 0.12 — 0.10 + 0.05 = 0.13
Сумма: 0.23 + 0.15 + 0.13 = 0.51

Количество клиентов: 2000 × 0.51 = 1020 человек

🎓 Задача 5: Успеваемость студентов

Ситуация

Результаты сессии 500 студентов:

  • Сдали математику: 80%
  • Сдали физику: 70%
  • Сдали химию: 60%
  • Сдали математику и физику: 50%
  • Сдали математику и химию: 40%
  • Сдали физику и химию: 35%
  • Сдали все три предмета: 25%

Вопрос: Сколько студентов не сдали хотя бы один предмет?

Решение:

Сдали все три предмета:

P(все три) = 0.25

Сдали хотя бы один предмет:

P(хотя бы один) = 0.8 + 0.7 + 0.6 — 0.5 — 0.4 — 0.35 + 0.25
= 2.1 — 1.25 + 0.25 = 1.1

Вероятность не может быть больше 1! Значит, есть ошибка в данных.

Вывод: В реальных данных могут быть противоречия!

P(A ∩ B) не может быть больше P(A) или P(B)

P(A ∪ B ∪ C) не может превышать 1

💡 Практические советы

Когда использовать формулу включения-исключения:

  • При анализе опросов и исследований
  • В задачах надежности систем
  • В медицинской диагностике
  • В маркетинговых исследованиях
  • При анализе образовательных результатов

Проверка данных:

  • P(A ∩ B) ≤ min(P(A), P(B))
  • P(A ∪ B) ≤ P(A) + P(B)
  • P(A ∪ B ∪ C) ≤ 1
  • Все вероятности должны быть между 0 и 1
История формулы включения-исключения

Формула включений-исключений (или принцип включений-исключений) — комбинаторная формула, позволяющая определить мощность объединения конечного числа конечных множеств, которые в общем случае могут пересекаться друг с другом.

В теории вероятностей аналог принципа включений-исключений известен как формула Пуанкаре (или формула Сильвестра-Пуанкаре).

История принципа

Абрахам де Муавр (1667–1754): первый шаг

Французский математик

Абрахам де Муавр одним из первых рассматривал задачи, связанные с подсчётом вероятностей объединения событий. В своей работе «Доктрина случайностей» (1718) он сформулировал частный случай будущей формулы включений-исключений, анализируя вероятности объединения двух и более событий.

Даниил Бернулли (1700–1782): развитие идей

Швейцарский математик

Даниил Бернулли расширил идеи де Муавра, однако его вклад также оставался в рамках теории вероятностей, а не общей комбинаторики. Бернулли использовал подобные методы для решения конкретных вероятностных задач, но не сформулировал общий принцип.

Пьер-Симон Лаплас (1749–1827): систематизация

Французский математик

Пьер-Симон Лаплас в «Аналитической теории вероятностей» (1812) придал формуле современный вид и чётко сформулировал принцип включений-исключений как общий метод подсчёта мощности объединения множеств. Именно Лаплас обобщил и систематизировал этот подход, сделав его универсальным инструментом комбинаторики и теории вероятностей.

Джеймс Сильвестр (1814–1897): термин и популяризация

Английский математик

Джеймс Сильвестр ввёл сам термин «принцип включений-исключений» (inclusion-exclusion principle) в 1883 году, что способствовало его широкому распространению в математической литературе.

Формула включений-исключений

Для конечных множеств \(A_1, A_2, …, A_n\) формула включений-исключений имеет вид:

\[ \begin{aligned} \left| \bigcup_{i=1}^{n} A_i \right| = & \sum_{i=1}^{n} |A_i| — \sum_{1 \leq i < j \leq n} |A_i \cap A_j| \\ & + \sum_{1 \leq i < j < k \leq n} |A_i \cap A_j \cap A_k| — \cdots + (-1)^{n+1} |A_1 \cap \cdots \cap A_n| \end{aligned} \]

В теории вероятностей для событий \(A_1, A_2, …, A_n\) соответствующий аналог — формула Пуанкаре:

\[ P\left( \bigcup_{i=1}^{n} A_i \right) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i) — \sum_{i <j} P(A_i \cap A_j) + \sum_{i < j <k} P(A_i \cap A_j \cap A_k) — \cdots + (-1)^{n+1} P(A_1 \cap \cdots \cap A_n) \]

Задачи для самостоятельного решения

  1. В классе 35 учеников. 20 участвуют в олимпиаде по математике, 18 — по физике, 7 — по обоим предметам. Сколько не участвуют ни в одной олимпиаде?
    Ответ: 4 ученика.
  2. Из 60 человек 35 любят чай, 40 — кофе, а 15 — и то, и другое. Сколько человек не любят ни чай, ни кофе?
    Ответ: 0 человек.
  3. В школе 80 детей. 50 занимаются спортом, 45 — музыкой, 20 — рисованием. 20 совмещают спорт и музыку, 15 — спорт и рисование, 10 — музыку и рисование, а 5 — все три занятия. Сколько детей не заняты ничем?
    Ответ: 5 детей.
  4. Сколько чисел от 1 до 100 не делятся ни на 2, ни на 3, ни на 5?
    Ответ: 26 чисел.
  5. В группе 90 туристов. 50 не были в Англии, 60 — во Франции, 55 — в Италии, 30 — ни в Англии, ни во Франции, 25 — ни в Англии, ни в Италии, 20 — ни во Франции, ни в Италии, 15 — ни в одной из этих стран. Сколько побывали во всех трёх?
    Ответ: 5 туристов.

Дополнительно

Источник: https://mathus.ru/math/ief.pdf

Прокрутить вверх