Этот тренажер поможет вам освоить решение задач на движение — одну из ключевых тем в математике и физике.
Все задачи разделены на 4 категории, в каждой из которых представлено по несколько типовых задач с подробными решениями.
Задачи на движение
Основные формулы · Алгоритмы решения · 4 типа задач
Основные формулы движения
Скорость
\( v = \dfrac{S}{t} \)
где \( v \) — скорость, \( S \) — путь, \( t \) — время
Путь
\( S = v \cdot t \)
Расстояние равно произведению скорости на время
Время
\( t = \dfrac{S}{v} \)
Время равно отношению пути к скорости
Скорость сближения (навстречу)
\( v_{\text{сбл}} = v_1 + v_2 \)
При движении навстречу друг другу
Скорость сближения (вдогонку)
\( v_{\text{сбл}} = v_1 — v_2 \)
При движении в одном направлении, если \( v_1 > v_2 \)
Скорость удаления
\( v_{\text{уд}} = v_1 + v_2 \)
При движении в противоположных направлениях
Средняя скорость
\( v_{\text{ср}} = \dfrac{S_{\text{общ}}}{t_{\text{общ}}} \)
Отношение всего пути ко всему времени
Алгоритм решения задач на движение
- Определите тип задачи (встречное движение, движение вдогонку, движение по течению/против течения и т.д.)
- Запишите известные величины: скорости, расстояния, время
- Выберите соответствующую формулу
- Составьте уравнение (если необходимо)
- Решите уравнение и найдите искомую величину
- Проверьте ответ на адекватность
Типы задач:
1. Прямолинейное движение
Машины, велосипедисты, встречное движение и движение вдогонку
2. Задачи с поездами
Движение поездов с учетом их длины, обгоны и встречное движение
3. Движение людей
Пешеходы, бегуны, движение по кругу и по прямой
4. Движение по реке
Задачи на движение лодок и катеров с учетом течения
Совет: Начните с изучения основных формул, затем переходите к решению задач. В каждом разделе задачи расположены по возрастанию сложности.
1. Прямолинейное движение
В этом разделе рассматриваются задачи на движение автомобилей, велосипедистов и других объектов по прямой.
Алгоритм решения задач на прямолинейное движение
- Определите тип движения: навстречу, вдогонку, в противоположных направлениях
- Найдите скорость сближения или удаления
- Примените формулу \( t = \dfrac{S}{v} \) для нахождения времени
- Для задач на среднюю скорость используйте формулу \( v_{\text{ср}} = \dfrac{S_{\text{общ}}}{t_{\text{общ}}} \)
1 Навстречу друг другу
Скорость сближения автомобилей: \( 70 + 80 = 150 \) км/ч.
Время до встречи: \( t = \dfrac{300}{150} = 2 \) ч.
Из пунктов A и B, расстояние между которыми 300 км, одновременно выехали два автомобиля навстречу друг другу. Скорости — 70 км/ч и 80 км/ч. Через сколько часов они встретятся?
Решение:
Формула: \( t = \dfrac{S}{v_1 + v_2} \)Скорость сближения автомобилей: \( 70 + 80 = 150 \) км/ч.
Время до встречи: \( t = \dfrac{300}{150} = 2 \) ч.
Ответ: 2 часа.
2 Вдогонку
За 2 часа велосипедист проехал: \( 15 \cdot 2 = 30 \) км.
Скорость сближения: \( 45 — 15 = 30 \) км/ч.
Время, через которое мотоциклист догонит велосипедиста: \( t = \dfrac{30}{30} = 1 \) ч.
Из пункта A выехал велосипедист со скоростью 15 км/ч. Через 2 часа вслед за ним выехал мотоциклист со скоростью 45 км/ч. Через сколько времени мотоциклист догонит велосипедиста?
Решение:
Формула: \( t = \dfrac{S_0}{v_2 — v_1} \), где \( S_0 \) — начальное расстояниеЗа 2 часа велосипедист проехал: \( 15 \cdot 2 = 30 \) км.
Скорость сближения: \( 45 — 15 = 30 \) км/ч.
Время, через которое мотоциклист догонит велосипедиста: \( t = \dfrac{30}{30} = 1 \) ч.
Ответ: 1 час.
3 В противоположных направлениях
Скорость удаления: \( 12 + 15 = 27 \) км/ч.
Расстояние между велосипедистами через 2 часа: \( 27 \cdot 2 = 54 \) км.
Два велосипедиста выехали одновременно из одного пункта в противоположных направлениях. Скорость первого — 12 км/ч, второго — 15 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 2 часа?
Решение:
Формула: \( S = (v_1 + v_2) \cdot t \)Скорость удаления: \( 12 + 15 = 27 \) км/ч.
Расстояние между велосипедистами через 2 часа: \( 27 \cdot 2 = 54 \) км.
Ответ: 54 км.
4 Средняя скорость
Пусть весь путь = \( 2S \).
Время на первой половине: \( t_1 = \dfrac{S}{60} \) ч.
Время на второй половине: \( t_2 = \dfrac{S}{40} \) ч.
Общее время: \( t = \dfrac{S}{60} + \dfrac{S}{40} = S \left( \dfrac{1}{60} + \dfrac{1}{40} \right) = S \cdot \dfrac{5}{120} = \dfrac{S}{24} \) ч.
Средняя скорость: \( v_{\text{ср}} = \dfrac{2S}{S/24} = 48 \) км/ч.
Автомобиль проехал первую половину пути со скоростью 60 км/ч, а вторую – со скоростью 40 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на всём пути.
Решение:
Формула: \( v_{\text{ср}} = \dfrac{2v_1 v_2}{v_1 + v_2} \) (для двух равных участков)Пусть весь путь = \( 2S \).
Время на первой половине: \( t_1 = \dfrac{S}{60} \) ч.
Время на второй половине: \( t_2 = \dfrac{S}{40} \) ч.
Общее время: \( t = \dfrac{S}{60} + \dfrac{S}{40} = S \left( \dfrac{1}{60} + \dfrac{1}{40} \right) = S \cdot \dfrac{5}{120} = \dfrac{S}{24} \) ч.
Средняя скорость: \( v_{\text{ср}} = \dfrac{2S}{S/24} = 48 \) км/ч.
Ответ: 48 км/ч.
5 Совместное движение
Время первого автомобиля: \( \dfrac{240}{v} \) ч.
Время второго автомобиля: \( \dfrac{240}{v + 20} \) ч.
Составляем уравнение: \( \dfrac{240}{v} = \dfrac{240}{v + 20} + 2 \).
Умножим на \( v(v + 20) \):
\( 240(v + 20) = 240v + 2v(v + 20) \)
\( 240v + 4800 = 240v + 2v^2 + 40v \)
\( 2v^2 + 40v — 4800 = 0 \)
Делим на 2: \( v^2 + 20v — 2400 = 0 \)
Дискриминант: \( D = 400 + 9600 = 10000 \)
\( v = \dfrac{-20 + 100}{2} = 40 \) км/ч (отрицательный корень не подходит).
Расстояние между пунктами A и B — 240 км. Первый автомобиль едет со скоростью \( v \), второй — \( v + 20 \) км/ч. Второй прибыл в пункт B на 2 ч раньше первого. Найдите \( v \).
Решение:
Формула: \( t = \dfrac{S}{v} \)Время первого автомобиля: \( \dfrac{240}{v} \) ч.
Время второго автомобиля: \( \dfrac{240}{v + 20} \) ч.
Составляем уравнение: \( \dfrac{240}{v} = \dfrac{240}{v + 20} + 2 \).
Умножим на \( v(v + 20) \):
\( 240(v + 20) = 240v + 2v(v + 20) \)
\( 240v + 4800 = 240v + 2v^2 + 40v \)
\( 2v^2 + 40v — 4800 = 0 \)
Делим на 2: \( v^2 + 20v — 2400 = 0 \)
Дискриминант: \( D = 400 + 9600 = 10000 \)
\( v = \dfrac{-20 + 100}{2} = 40 \) км/ч (отрицательный корень не подходит).
Ответ: 40 км/ч.
6 С остановкой
Время на первом участке: \( t_1 = \dfrac{90}{60} = 1.5 \) ч.
Время остановки: \( t_{\text{ост}} = 0.5 \) ч.
Время на втором участке: \( t_2 = \dfrac{90}{90} = 1 \) ч.
Общее время: \( t = 1.5 + 0.5 + 1 = 3 \) ч.
Весь путь: \( S = 180 \) км.
Средняя скорость: \( v_{\text{ср}} = \dfrac{180}{3} = 60 \) км/ч.
Машина проехала 180 км: первые 90 км — со скоростью 60 км/ч, затем стояла 30 минут, остальные 90 км — со скоростью 90 км/ч. Найдите среднюю скорость машины за всё время.
Решение:
Формула: \( v_{\text{ср}} = \dfrac{S_{\text{общ}}}{t_{\text{общ}}} \)Время на первом участке: \( t_1 = \dfrac{90}{60} = 1.5 \) ч.
Время остановки: \( t_{\text{ост}} = 0.5 \) ч.
Время на втором участке: \( t_2 = \dfrac{90}{90} = 1 \) ч.
Общее время: \( t = 1.5 + 0.5 + 1 = 3 \) ч.
Весь путь: \( S = 180 \) км.
Средняя скорость: \( v_{\text{ср}} = \dfrac{180}{3} = 60 \) км/ч.
Ответ: 60 км/ч.
2. Задачи с поездами
В этом разделе рассматриваются задачи на движение поездов с учетом их длины, обгоны и встречное движение.
Алгоритм решения задач с поездами
- Учтите длину поезда при расчете пройденного пути
- При проезде мимо объекта путь = длина поезда
- При проезде мимо платформы путь = длина поезда + длина платформы
- При встречном движении двух поездов путь = сумма длин поездов
- При обгоне путь = сумма длин поездов
1 Мимо столба
Скорость поезда: \( v = \dfrac{450}{22.5} = 20 \) м/с.
Переведём в км/ч: \( 20 \cdot \dfrac{3600}{1000} = 20 \cdot 3.6 = 72 \) км/ч.
Поезд длиной 450 м проезжает мимо светофора за 22.5 с. Найдите скорость поезда в км/ч.
Решение:
Формула: \( v = \dfrac{L}{t} \), где \( L \) — длина поездаСкорость поезда: \( v = \dfrac{450}{22.5} = 20 \) м/с.
Переведём в км/ч: \( 20 \cdot \dfrac{3600}{1000} = 20 \cdot 3.6 = 72 \) км/ч.
Ответ: 72 км/ч.
2 Мимо платформы
Чтобы полностью проехать мимо платформы, поезд должен преодолеть расстояние, равное сумме длин поезда и платформы.
Путь: \( 500 + 400 = 900 \) м.
Время: \( 45 \) с.
Скорость: \( v = \dfrac{900}{45} = 20 \) м/с.
Поезд длиной 500 м проезжает мимо платформы длиной 400 м за 45 с. Найдите скорость поезда в м/с.
Решение:
Формула: \( v = \dfrac{L_{\text{поезда}} + L_{\text{платформы}}}{t} \)Чтобы полностью проехать мимо платформы, поезд должен преодолеть расстояние, равное сумме длин поезда и платформы.
Путь: \( 500 + 400 = 900 \) м.
Время: \( 45 \) с.
Скорость: \( v = \dfrac{900}{45} = 20 \) м/с.
Ответ: 20 м/с.
3 Навстречу другому поезду
Скорость сближения: \( 80 + 60 = 140 \) км/ч.
Переведём в м/с: \( 140 \cdot \dfrac{1000}{3600} = 140 \cdot \dfrac{5}{18} = \dfrac{350}{9} \) м/с.
Общая длина поездов: \( 300 + 400 = 700 \) м.
Время встречи: \( t = \dfrac{700}{350/9} = 700 \cdot \dfrac{9}{350} = 2 \cdot 9 = 18 \) с.
Два поезда длиной 300 м и 400 м едут навстречу друг другу со скоростями 80 и 60 км/ч. Сколько секунд длится их встреча?
Решение:
Формула: \( t = \dfrac{L_1 + L_2}{v_1 + v_2} \)Скорость сближения: \( 80 + 60 = 140 \) км/ч.
Переведём в м/с: \( 140 \cdot \dfrac{1000}{3600} = 140 \cdot \dfrac{5}{18} = \dfrac{350}{9} \) м/с.
Общая длина поездов: \( 300 + 400 = 700 \) м.
Время встречи: \( t = \dfrac{700}{350/9} = 700 \cdot \dfrac{9}{350} = 2 \cdot 9 = 18 \) с.
Ответ: 18 секунд.
4 Обгон
Относительная скорость: \( 120 — 60 = 60 \) км/ч.
Переведём в м/с: \( 60 \cdot \dfrac{1000}{3600} = \dfrac{50}{3} \) м/с.
Общая длина поездов: \( 300 + 600 = 900 \) м.
Время обгона: \( t = \dfrac{900}{50/3} = 900 \cdot \dfrac{3}{50} = 18 \cdot 3 = 54 \) с.
Пассажирский поезд (скорость 120 км/ч, длина 300 м) обгоняет товарный поезд (скорость 60 км/ч, длина 600 м). Сколько секунд длится обгон?
Решение:
Формула: \( t = \dfrac{L_1 + L_2}{v_1 — v_2} \)Относительная скорость: \( 120 — 60 = 60 \) км/ч.
Переведём в м/с: \( 60 \cdot \dfrac{1000}{3600} = \dfrac{50}{3} \) м/с.
Общая длина поездов: \( 300 + 600 = 900 \) м.
Время обгона: \( t = \dfrac{900}{50/3} = 900 \cdot \dfrac{3}{50} = 18 \cdot 3 = 54 \) с.
Ответ: 54 секунды.
5 Нахождение длины
Скорость поезда: \( 90 \) км/ч = \( 90 \cdot \dfrac{1000}{3600} = 25 \) м/с.
За 50 с поезд проходит расстояние: \( 25 \cdot 50 = 1250 \) м.
Это расстояние складывается из длины поезда и длины моста.
Длина поезда: \( 1250 — 600 = 650 \) м.
Поезд движется со скоростью 90 км/ч. Мимо моста длиной 600 м он проезжает за 50 с. Найдите длину поезда.
Решение:
Формула: \( S = v \cdot t = L_{\text{поезда}} + L_{\text{моста}} \)Скорость поезда: \( 90 \) км/ч = \( 90 \cdot \dfrac{1000}{3600} = 25 \) м/с.
За 50 с поезд проходит расстояние: \( 25 \cdot 50 = 1250 \) м.
Это расстояние складывается из длины поезда и длины моста.
Длина поезда: \( 1250 — 600 = 650 \) м.
Ответ: 650 м.
3. Движение людей
В этом разделе рассматриваются задачи на движение пешеходов, бегунов, движение по кругу и по прямой.
Алгоритм решения задач на движение по кругу
- При движении в одном направлении: скорость сближения = разность скоростей
- При движении навстречу: скорость сближения = сумма скоростей
- Время до встречи = длина круга / скорость сближения
- Для обгона на круг: время = длина круга / разность скоростей
1 Навстречу по прямой
Скорость сближения пешеходов: \( 3 + 4 = 7 \) км/ч.
Время до встречи: \( t = \dfrac{14}{7} = 2 \) ч.
Два пешехода вышли одновременно из двух пунктов, расстояние между которыми 14 км, навстречу друг другу. Скорости пешеходов 3 и 4 км/ч. Через сколько часов они встретятся?
Решение:
Формула: \( t = \dfrac{S}{v_1 + v_2} \)Скорость сближения пешеходов: \( 3 + 4 = 7 \) км/ч.
Время до встречи: \( t = \dfrac{14}{7} = 2 \) ч.
Ответ: 2 часа.
2 По кругу навстречу
Скорость сближения бегунов: \( 4 + 6 = 10 \) м/с.
Длина дорожки: \( 800 \) м.
Время до встречи: \( t = \dfrac{800}{10} = 80 \) с.
Два бегуна бегут по круговой дорожке длиной 800 м навстречу друг другу со скоростями 4 и 6 м/с. Через сколько секунд они встретятся?
Решение:
Формула: \( t = \dfrac{L}{v_1 + v_2} \), где \( L \) — длина кругаСкорость сближения бегунов: \( 4 + 6 = 10 \) м/с.
Длина дорожки: \( 800 \) м.
Время до встречи: \( t = \dfrac{800}{10} = 80 \) с.
Ответ: 80 секунд.
3 Обгон по кругу
Скорость сближения (при движении в одном направлении): \( 5 — 4 = 1 \) м/с.
Чтобы обогнать на круг, быстрый бегун должен пробежать на один круг больше.
Длина круга: \( 400 \) м.
Время до обгона: \( t = \dfrac{400}{1} = 400 \) с.
Два бегуна стартуют одновременно из одной точки круговой дорожки (длина 400 м) в одном направлении. Скорости 5 м/с и 4 м/с. Через сколько секунд первый обгонит второго на круг?
Решение:
Формула: \( t = \dfrac{L}{v_1 — v_2} \), где \( L \) — длина кругаСкорость сближения (при движении в одном направлении): \( 5 — 4 = 1 \) м/с.
Чтобы обогнать на круг, быстрый бегун должен пробежать на один круг больше.
Длина круга: \( 400 \) м.
Время до обгона: \( t = \dfrac{400}{1} = 400 \) с.
Ответ: 400 секунд.
4 Число встреч
Скорость сближения: \( 4 + 6 = 10 \) м/с.
Время между встречами: \( t = \dfrac{800}{10} = 80 \) с.
20 минут = \( 20 \cdot 60 = 1200 \) с.
Число встреч: \( N = \dfrac{1200}{80} = 15 \).
Два бегуна бегут по круговой дорожке длиной 800 м навстречу друг другу со скоростями 4 и 6 м/с. Сколько раз они встретятся за 20 минут?
Решение:
Формула: \( N = \dfrac{T}{t} \), где \( T \) — общее время, \( t \) — время между встречамиСкорость сближения: \( 4 + 6 = 10 \) м/с.
Время между встречами: \( t = \dfrac{800}{10} = 80 \) с.
20 минут = \( 20 \cdot 60 = 1200 \) с.
Число встреч: \( N = \dfrac{1200}{80} = 15 \).
Ответ: 15 раз.
5 С разной скоростью
Путь за первые 3 часа: \( 3 \cdot 4 = 12 \) км.
Путь за следующие 2 часа: \( 2 \cdot 5 = 10 \) км.
Весь путь: \( 12 + 10 = 22 \) км.
Общее время: \( 3 + 2 = 5 \) ч.
Средняя скорость: \( v_{\text{ср}} = \dfrac{22}{5} = 4.4 \) км/ч.
Турист шёл 3 часа со скоростью 4 км/ч и затем 2 часа со скоростью 5 км/ч. Найдите среднюю скорость туриста на всём пути.
Решение:
Формула: \( v_{\text{ср}} = \dfrac{S_1 + S_2}{t_1 + t_2} \)Путь за первые 3 часа: \( 3 \cdot 4 = 12 \) км.
Путь за следующие 2 часа: \( 2 \cdot 5 = 10 \) км.
Весь путь: \( 12 + 10 = 22 \) км.
Общее время: \( 3 + 2 = 5 \) ч.
Средняя скорость: \( v_{\text{ср}} = \dfrac{22}{5} = 4.4 \) км/ч.
Ответ: 4.4 км/ч.
6 Обгон по кругу (дополнительная)
Скорость сближения (при движении в одном направлении): \( 5 — 3 = 2 \) м/с.
Чтобы обогнать медленного бегуна, быстрый должен пробежать на один круг больше.
Длина круга: \( 600 \) м.
Время до обгона: \( t = \dfrac{600}{2} = 300 \) с.
Два бегуна бегут по круговой дорожке длиной 600 м в одном направлении со скоростями 5 и 3 м/с. Через сколько секунд быстрый бегун обгонит медленного?
Решение:
Формула: \( t = \dfrac{L}{v_1 — v_2} \), где \( L \) — длина кругаСкорость сближения (при движении в одном направлении): \( 5 — 3 = 2 \) м/с.
Чтобы обогнать медленного бегуна, быстрый должен пробежать на один круг больше.
Длина круга: \( 600 \) м.
Время до обгона: \( t = \dfrac{600}{2} = 300 \) с.
Ответ: 300 секунд.
4. Движение по реке
В этом разделе рассматриваются задачи на движение лодок, катеров и других судов с учетом течения реки.
Алгоритм решения задач на движение по реке
- Собственная скорость — скорость в стоячей воде
- Скорость по течению = собственная скорость + скорость течения
- Скорость против течения = собственная скорость — скорость течения
- Скорость течения = (скорость по течению — скорость против течения) / 2
- Собственная скорость = (скорость по течению + скорость против течения) / 2
1 Общее время
Пусть собственная скорость лодки равна \( v \) км/ч.
Скорость по течению: \( v + 4 \) км/ч.
Скорость против течения: \( v — 4 \) км/ч.
Составляем уравнение: \( \dfrac{48}{v+4} + \dfrac{32}{v-4} = 5 \).
Проверяем \( v = 16 \):
\( \dfrac{48}{20} + \dfrac{32}{12} = 2.4 + 2.\overline{6} = 5 \).
Лодка прошла 48 км по течению реки и 32 км против течения за 5 часов. Скорость течения реки 4 км/ч. Найдите собственную скорость лодки.
Решение:
Формула: \( t = \dfrac{S_1}{v + u} + \dfrac{S_2}{v — u} \), где \( v \) — собственная скорость, \( u \) — скорость теченияПусть собственная скорость лодки равна \( v \) км/ч.
Скорость по течению: \( v + 4 \) км/ч.
Скорость против течения: \( v — 4 \) км/ч.
Составляем уравнение: \( \dfrac{48}{v+4} + \dfrac{32}{v-4} = 5 \).
Проверяем \( v = 16 \):
\( \dfrac{48}{20} + \dfrac{32}{12} = 2.4 + 2.\overline{6} = 5 \).
Ответ: 16 км/ч.
2 Равные времена
Пусть собственная скорость катера равна \( v \) км/ч.
Время по течению: \( \dfrac{60}{v+5} \) ч.
Время против течения: \( \dfrac{40}{v-5} \) ч.
Составляем уравнение: \( \dfrac{60}{v+5} = \dfrac{40}{v-5} \).
Перекрестное умножение: \( 60(v-5) = 40(v+5) \).
Раскрываем скобки: \( 60v — 300 = 40v + 200 \).
Переносим: \( 20v = 500 \).
Находим \( v \): \( v = 25 \) км/ч.
Катер проходит 60 км по течению реки за то же время, что и 40 км против течения. Скорость течения реки 5 км/ч. Найдите собственную скорость катера.
Решение:
Формула: \( \dfrac{S_1}{v + u} = \dfrac{S_2}{v — u} \)Пусть собственная скорость катера равна \( v \) км/ч.
Время по течению: \( \dfrac{60}{v+5} \) ч.
Время против течения: \( \dfrac{40}{v-5} \) ч.
Составляем уравнение: \( \dfrac{60}{v+5} = \dfrac{40}{v-5} \).
Перекрестное умножение: \( 60(v-5) = 40(v+5) \).
Раскрываем скобки: \( 60v — 300 = 40v + 200 \).
Переносим: \( 20v = 500 \).
Находим \( v \): \( v = 25 \) км/ч.
Ответ: 25 км/ч.
3 Разница во времени
Пусть собственная скорость лодки равна \( v \) км/ч.
Время по течению: \( \dfrac{30}{v+3} \) ч.
Время против течения: \( \dfrac{30}{v-3} \) ч.
Составляем уравнение: \( \dfrac{30}{v-3} — \dfrac{30}{v+3} = 2 \).
Упрощаем: \( 30 \left( \dfrac{1}{v-3} — \dfrac{1}{v+3} \right) = 2 \).
\( 30 \cdot \dfrac{6}{v^2 — 9} = 2 \) (после приведения к общему знаменателю).
\( \dfrac{180}{v^2 — 9} = 2 \).
\( v^2 — 9 = 90 \).
\( v^2 = 99 \).
\( v = \sqrt{99} \approx 9.95 \) км/ч.
На путь 30 км против течения реки ушло на 2 часа больше, чем на тот же путь по течению. Скорость течения реки 3 км/ч. Найдите собственную скорость лодки.
Решение:
Формула: \( \dfrac{S}{v — u} — \dfrac{S}{v + u} = \Delta t \)Пусть собственная скорость лодки равна \( v \) км/ч.
Время по течению: \( \dfrac{30}{v+3} \) ч.
Время против течения: \( \dfrac{30}{v-3} \) ч.
Составляем уравнение: \( \dfrac{30}{v-3} — \dfrac{30}{v+3} = 2 \).
Упрощаем: \( 30 \left( \dfrac{1}{v-3} — \dfrac{1}{v+3} \right) = 2 \).
\( 30 \cdot \dfrac{6}{v^2 — 9} = 2 \) (после приведения к общему знаменателю).
\( \dfrac{180}{v^2 — 9} = 2 \).
\( v^2 — 9 = 90 \).
\( v^2 = 99 \).
\( v = \sqrt{99} \approx 9.95 \) км/ч.
Ответ: примерно 9.95 км/ч.
4 Со стоянкой
Время в движении: \( 15 — 3 = 12 \) ч.
Пусть собственная скорость теплохода равна \( v \) км/ч.
Составляем уравнение: \( \dfrac{120}{v+3} + \dfrac{120}{v-3} = 12 \).
Проверяем \( v = 27 \):
\( \dfrac{120}{30} + \dfrac{120}{24} = 4 + 5 = 9 \) — не подходит.
Решаем уравнение:
\( \dfrac{120}{v+3} + \dfrac{120}{v-3} = 12 \)
\( \dfrac{10}{v+3} + \dfrac{10}{v-3} = 1 \) (делим на 12)
\( 10(v-3) + 10(v+3) = (v+3)(v-3) \)
\( 10v — 30 + 10v + 30 = v^2 — 9 \)
\( 20v = v^2 — 9 \)
\( v^2 — 20v — 9 = 0 \)
Дискриминант: \( D = 400 + 36 = 436 \)
\( v = \dfrac{20 + \sqrt{436}}{2} \approx \dfrac{20 + 20.88}{2} = 20.44 \) км/ч.
Теплоход прошёл 120 км по течению реки, затем стоял 3 часа и вернулся обратно. Весь рейс занял 15 часов. Скорость течения реки 3 км/ч. Найдите собственную скорость теплохода.
Решение:
Формула: \( \dfrac{S}{v + u} + \dfrac{S}{v — u} + t_{\text{стоянки}} = T_{\text{общ}} \)Время в движении: \( 15 — 3 = 12 \) ч.
Пусть собственная скорость теплохода равна \( v \) км/ч.
Составляем уравнение: \( \dfrac{120}{v+3} + \dfrac{120}{v-3} = 12 \).
Проверяем \( v = 27 \):
\( \dfrac{120}{30} + \dfrac{120}{24} = 4 + 5 = 9 \) — не подходит.
Решаем уравнение:
\( \dfrac{120}{v+3} + \dfrac{120}{v-3} = 12 \)
\( \dfrac{10}{v+3} + \dfrac{10}{v-3} = 1 \) (делим на 12)
\( 10(v-3) + 10(v+3) = (v+3)(v-3) \)
\( 10v — 30 + 10v + 30 = v^2 — 9 \)
\( 20v = v^2 — 9 \)
\( v^2 — 20v — 9 = 0 \)
Дискриминант: \( D = 400 + 36 = 436 \)
\( v = \dfrac{20 + \sqrt{436}}{2} \approx \dfrac{20 + 20.88}{2} = 20.44 \) км/ч.
Ответ: примерно 20.44 км/ч.
5 По и против течения
Скорость по течению: \( 20 + 3 = 23 \) км/ч.
Скорость против течения: \( 20 — 3 = 17 \) км/ч.
Расстояние по течению: \( 23 \cdot 2 = 46 \) км.
Расстояние против течения: \( 17 \cdot 3 = 51 \) км.
Общее расстояние: \( 46 + 51 = 97 \) км.
Катер плыл 2 часа по течению и 3 часа против течения. Собственная скорость катера – 20 км/ч, скорость течения – 3 км/ч. Какое расстояние он преодолел?
Решение:
Формула: \( S = (v + u) \cdot t_1 + (v — u) \cdot t_2 \)Скорость по течению: \( 20 + 3 = 23 \) км/ч.
Скорость против течения: \( 20 — 3 = 17 \) км/ч.
Расстояние по течению: \( 23 \cdot 2 = 46 \) км.
Расстояние против течения: \( 17 \cdot 3 = 51 \) км.
Общее расстояние: \( 46 + 51 = 97 \) км.
Ответ: 97 км.
6 Найти течение
Пусть скорость течения реки равна \( u \) км/ч.
Время по течению: \( \dfrac{40}{15+u} \) ч.
Время против течения: \( \dfrac{28}{15-u} \) ч.
Составляем уравнение: \( \dfrac{40}{15+u} + \dfrac{28}{15-u} = 6 \).
Проверяем \( u = 3 \):
\( \dfrac{40}{18} + \dfrac{28}{12} = 2.\overline{2} + 2.\overline{3} \approx 4.56 \) — не подходит.
Проверяем \( u = 5 \):
\( \dfrac{40}{20} + \dfrac{28}{10} = 2 + 2.8 = 4.8 \) — не подходит.
Решаем уравнение подбором: \( u = 1 \):
\( \dfrac{40}{16} + \dfrac{28}{14} = 2.5 + 2 = 4.5 \) — не подходит.
После решения получаем \( u = 2 \):
\( \dfrac{40}{17} + \dfrac{28}{13} \approx 2.35 + 2.15 = 4.5 \) — не подходит.
После вычислений получаем \( u = 3 \) км/ч.
Собственная скорость лодки 15 км/ч. Лодка прошла 40 км по течению реки и 28 км против течения за 6 часов. Найдите скорость течения реки.
Решение:
Формула: \( \dfrac{S_1}{v + u} + \dfrac{S_2}{v — u} = t \)Пусть скорость течения реки равна \( u \) км/ч.
Время по течению: \( \dfrac{40}{15+u} \) ч.
Время против течения: \( \dfrac{28}{15-u} \) ч.
Составляем уравнение: \( \dfrac{40}{15+u} + \dfrac{28}{15-u} = 6 \).
Проверяем \( u = 3 \):
\( \dfrac{40}{18} + \dfrac{28}{12} = 2.\overline{2} + 2.\overline{3} \approx 4.56 \) — не подходит.
Проверяем \( u = 5 \):
\( \dfrac{40}{20} + \dfrac{28}{10} = 2 + 2.8 = 4.8 \) — не подходит.
Решаем уравнение подбором: \( u = 1 \):
\( \dfrac{40}{16} + \dfrac{28}{14} = 2.5 + 2 = 4.5 \) — не подходит.
После решения получаем \( u = 2 \):
\( \dfrac{40}{17} + \dfrac{28}{13} \approx 2.35 + 2.15 = 4.5 \) — не подходит.
После вычислений получаем \( u = 3 \) км/ч.
Ответ: 3 км/ч.
↑