Площадь треугольника

Знания о площади треугольника насчитывают тысячелетия.

Площадь треугольника — полная хронология формул

Историческая хронология

~3000–2000 гг. до н.э.

Древний Египет и Вавилон

Эмпирические методы землемерия. Египтяне знали, что площадь прямоугольного треугольника равна половине площади прямоугольника с теми же катетами. В папирусе Ринда (ок. 1650 г. до н.э.) содержатся задачи на вычисление площадей земельных участков после разливов Нила.

S_{прямоуг} = \frac{a \cdot b}{2}

~600–300 гг. до н.э.

Древняя Греция: Фалес, Пифагор, Евклид

Переход от эмпирики к теории. Евклид в «Началах» (кн. I, пр. 41) доказал: «Если параллелограмм имеет с треугольником одно и то же основание и находится между теми же параллелями, то параллелограмм вдвое больше треугольника». Это дало универсальную формулу через основание и высоту.

S = \frac{a \cdot h}{2}

I в. н.э.

Герон Александрийский

В труде «Метрика» Герон открыл формулу, выражающую площадь через три стороны треугольника. Интересно, что он вывел её из формулы через стороны и угол, а не напрямую. Независимо аналогичная формула появилась в китайском трактате «Математика в девяти книгах».

S = \sqrt{p (p — a) (p — b) (p — c)}, p = \frac{a + b + c}{2}

VII в. н.э.

Индия: Брахмагупта

Индийский математик обобщил формулу Герона для вписанных четырёхугольников и развил тригонометрические методы вычисления площадей. Его работы легли в основу развития тригонометрических формул площади.

X–XIII вв.

Исламский мир: аль-Каши, Омар Хайям

Развитие тригонометрии привело к формуле площади через две стороны и синус угла между ними. Арабские математики систематизировали тригонометрические функции и их применение в геометрии.

S = \frac{1}{2} a b \sin γ

XIII–XV вв.

Европа: формулы через радиусы окружностей

С развитием учения об окружностях, вписанных и описанных около треугольника, появились формулы через радиусы:

S = p \cdot r

(через радиус вписанной окружности)

S = \frac{a b c}{4 R}

(через радиус описанной окружности)

XVII в.

Рене Декарт и аналитическая геометрия

Метод координат Декарта (1637) перевёл геометрию на язык алгебры. Была выведена формула площади по координатам вершин — «формула шнуровки» (Gauss’s shoelace formula), названная так из-за характерного перекрёстного умножения координат.

S = \frac{1}{2} | x_{1} y_{2} + x_{2} y_{3} + x_{3} y_{1} — x_{2} y_{1} — x_{3} y_{2} — x_{1} y_{3} |

XVIII–XIX вв.

Векторное исчисление и новые формулы

Развитие векторной алгебры привело к формуле через векторное произведение. Габриэль Лами (1795–1870) доказал формулу площади через медианы треугольника. Также были получены формулы через биссектрисы и другие элементы.

S = \frac{1}{2} | \vec{A B} \times \vec{A C} |

(через векторное произведение)

S = \frac{4}{3} \sqrt{σ (σ — m_{a}) (σ — m_{b}) (σ — m_{c})}, σ = \frac{m_{a} + m_{b} + m_{c}}{2}

(через медианы, формула Лами)

Примеры

Основная формула

S = \frac{a \cdot h}{2}

Универсальная формула для любого треугольника. Высота

h

должна быть проведена к выбранному основанию

a

Пример

a = 10

h = 6

→

S = \frac{10 \cdot 6}{2} = 30

Через две стороны и синус угла

S = \frac{1}{2} a b \sin γ

Угол

γ

должен быть между сторонами

a

b

. Особенно полезна в тригонометрических задачах.

Пример

a = 8

b = 5

γ = 30 °

→

S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} = 10

Формула Герона

S = \sqrt{p (p — a) (p — b) (p — c)}, p = \frac{a + b + c}{2}

Позволяет найти площадь, зная только длины всех трёх сторон. Полупериметр

p

— ключевой параметр.

Пример

a = 13

b = 14

c = 15

→

p = 21

→

S = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = 84

Через радиус вписанной окружности

S = p \cdot r

Где

p

— полупериметр,

r

— радиус вписанной окружности. Следствие из разбиения треугольника на три треугольника с общей вершиной в центре вписанной окружности.

Пример

p = 15

r = 2

→

S = 15 \cdot 2 = 30

Через радиус описанной окружности

S = \frac{a b c}{4 R}

Где

R

— радиус описанной окружности. Выводится из связи между стороной, противолежащим углом и диаметром описанной окружности (

a = 2 R \sin α

Пример

a = 6

b = 8

c = 10

R = 5

→

S = \frac{6 \cdot 8 \cdot 10}{4 \cdot 5} = 24

Для прямоугольного треугольника

S = \frac{a \cdot b}{2}

Катеты

a

b

взаимно перпендикулярны, поэтому один является основанием, другой — высотой.

Пример

a = 5

b = 12

→

S = \frac{5 \cdot 12}{2} = 30

Для равностороннего треугольника

S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^{2}

Следствие из основной формулы и теоремы Пифагора (высота

h = \frac{\sqrt{3}}{2} a

Пример

a = 6

→

S = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 36 = 9 \sqrt{3}

Через координаты вершин

S = \frac{1}{2} | x_{1} y_{2} + x_{2} y_{3} + x_{3} y_{1} — x_{2} y_{1} — x_{3} y_{2} — x_{1} y_{3} |

«Формула шнуровки» (shoelace formula). Удобна для программирования и вычислений по координатам.

Пример

A (0, 0)

B (4, 0)

C (0, 3)

→

S = \frac{1}{2} | 0 + 12 + 0 — 0 — 0 — 0 | = 6

Через медианы (формула Лами)

S = \frac{4}{3} \sqrt{σ (σ — m_{a}) (σ — m_{b}) (σ — m_{c})}, σ = \frac{m_{a} + m_{b} + m_{c}}{2}

Где

m_{a}, m_{b}, m_{c}

— длины медиан. Доказана Габриэлем Лами в XIX веке.

Пример

m_{a} = 9

m_{b} = 12

m_{c} = 15

→

σ = 18

→

S = \frac{4}{3} \sqrt{18 \cdot 9 \cdot 6 \cdot 3} = 72

Через среднюю линию

S_{мал} = \frac{S_{исх}}{4}, S_{четырёхуг} = \frac{3 \cdot S_{исх}}{4}

Треугольник, образованный средними линиями, подобен исходному с коэффициентом 1/2, поэтому его площадь в 4 раза меньше.

Пример

S_{ABC} = 100

→

S_{MBN} = 25

S_{AMNC} = 75

Сад и огород

Площадь треугольника

Историческая хронология

Примеры

Основная формула

Через две стороны и синус угла

Формула Герона

Через радиус вписанной окружности

Через радиус описанной окружности

Для прямоугольного треугольника

Для равностороннего треугольника

Через координаты вершин

Через медианы (формула Лами)

Через среднюю линию

Дополнительно