Предлагаем список формул сокращенного умножения с примерами, объяснениями и дополнительной информацией.

Это самые важные и часто используемые формулы.

Название формулы	Формула
Квадрат суммы	(a + b)² = a² + 2ab + b²
Квадрат разности	(a - b)² = a² - 2ab + b²
Разность квадратов	a² - b² = (a - b)(a + b)
Куб суммы	(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
Куб разности	(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
Сумма кубов	a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)
Разность кубов	a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

---

Для чего нужны эти формулы?

1. Быстрое раскрытие скобок. Вместо долгого перемножения (a+b)*(a+b) можно сразу применить формулу.
2. Разложение на множители (факторизация). Это ключевой навык для упрощения выражений и решения уравнений. Формулы разности квадратов и суммы/разности кубов — главные инструменты для этого.
3. Упрощение вычислений. Можно считать в уме: 99² = (100 - 1)² = 10000 - 200 + 1 = 9801.
4. Решение уравнений и неравенств.
5. Преобразование сложных алгебраических выражений.

---

Историческая справка

История формул сокращённого умножения — это путешествие длиной в тысячи лет, отражающее развитие самой алгебры.

Древний Вавилон (ок. 2000—1600 гг. до н.э.)

Самое раннее использование принципов, лежащих в основе формул, было геометрическим, а не алгебраическим.

• Геометрическая алгебра: Вавилоняне и древние греки (например, Евклид в своих «Началах») видели эти правила в площадях фигур.

Давайте представим, что мы древнегреческие математики, и у нас нет букв a и b, а есть только геометрические фигуры. Мы будем доказывать эти формулы с помощью площадей.

1. Квадрат суммы: (a + b)² = a² + 2ab + b²

Геометрическое объяснение:

1. Нарисуйте большой квадрат со стороной (a + b). Его площадь равна (a + b) * (a + b) = (a + b)².
2. Разделите одну сторону на отрезки длиной a и b.
3. Разделите противоположную сторону так же.
4. Проведите линии через точки деления. Вы разделили большой квадрат на четыре меньшие фигуры:
   • Квадрат со стороной a. Его площадь: a * a = a²
   • Квадрат со стороной b. Его площадь: b * b = b²
   • Два прямоугольника со сторонами a и b. Площадь каждого: a * b

Вывод: Площадь большого квадрата равна сумме площадей всех внутренних фигур:
(a + b)² = a² + b² + ab + ab = a² + 2ab + b²

---

2. Квадрат разности: (a — b)² = a² — 2ab + b²

Геометрическое объяснение:

1. Нарисуйте большой квадрат со стороной a. Его площадь равна a².
2. В одном из его углов нарисуйте меньший квадрат со стороной b. Его площадь равна b².
3. Теперь представьте, что мы хотим найти площадь квадрата со стороной (a - b). Это площадь оставшейся Г-образной фигуры (её называют гномон).
4. Чтобы найти эту площадь, мы можем вычесть из площади большого квадрата (a²) площадь маленького квадрата (b²). Но мы вычли лишнее! Мы вычли два одинаковых прямоугольника со сторонами a и b (их общая площадь 2ab), но на самом деле они пересеклись по квадрату b², который мы вычли дважды.
   • a² - b² — это площадь всей Г-образной фигуры плюс площадь одного лишнего прямоугольника ab.
5. Чтобы получить именно квадрат со стороной (a - b), нам нужно вернуть один такой прямоугольник, но не весь, а только его часть, чтобы компенсировать двойное вычитание. Проще посмотреть на вторую картинку.

Более наглядный способ:

1. Площадь искомого квадрата со стороной (a - b) — это площадь большого квадрата a² минус площади двух прямоугольников со сторонами a и b (их общая площадь 2ab).
2. Но когда мы вычитаем эти два прямоугольника, мы дважды вычли маленький квадрат со стороной b (тот самый угол, где эти прямоугольники пересекаются).
3. Чтобы исправить эту ошибку, мы必须 прибавляем обратно площадь одного маленького квадрата b².

Вывод: (a - b)² = a² - 2ab + b²

---

3. Разность квадратов: a² — b² = (a — b)(a + b)

Это самая элегантная геометрическая демонстрация.

1. Нарисуйте большой квадрат со стороной a. Его площадь: a².
2. В его углу нарисуйте маленький квадрат со стороной b. Его площадь: b².
3. Мы хотим найти площадь оставшейся фигуры (гномона): a² - b².
4. Разрежьте эту Г-образную фигуру вдоль линии. Поверните и переставьте получившиеся две части.
5. Из этих двух частей можно сложить новую фигуру — прямоугольник!
   • Длина этого прямоугольника: (a + b)
   • Ширина этого прямоугольника: (a - b)

Вывод: Площадь исходной фигуры (a² - b²) равна площади нового прямоугольника ((a + b)(a - b)). Следовательно:
a² - b² = (a - b)(a + b)

Таким образом, древние математики видели алгебру не как абстрактные символы, а как реальные операции с площадями и объёмами. Это наглядное представление — мощный инструмент для понимания, который не утратил своей ценности и сегодня.

---

Зарождение символической алгебры (Эллинистический период, Средневековье)

• Диофант Александрийский (III в. н.э.): Часто называют «отцом алгебры». В его труде «Арифметика» появляются зачатки символических обозначений, но он ещё не записывал общие формулы. Он решал конкретные задачи, по сути используя эти правила.
• Среднеазиатские математики:
  • Мухаммад аль-Хорезми (IX в.): В своём фундаментальном трактате «Китаб аль-джебр валь-мукабала» он подробно описал правила решения уравнений. Хотя он использовал слова, а не символы, его методы напрямую опирались на геометрические доказательства, аналогичные вавилонским.
  • Омар Хайям (XI—XII вв.): Также широко использовал геометрические методы для решения кубических уравнений, по сути, опираясь на идеи, заложенные в формулах.

Оформление в современном виде (XVI—XVII вв.)

Ключевой период, когда алгебра стала символической.

• Франсуа Виет (XVI в.): Считается «отцом современной символической алгебры». Именно он начал систематически использовать буквы для обозначения не только неизвестных (что было и раньше), но и коэффициентов. Это был гигантский шаг вперёд, позволивший записывать общие формулы, такие как a² - b² = (a - b)(a + b), в самом общем виде.
• Рене Декарт (XVII в.): Его работа «Геометрия» (1637) закрепила современную систему алгебраических обозначений (степени, корни и т.д.). Это окончательно отделило алгебру от геометрии и позволило записывать и манипулировать формулами в чисто символической, абстрактной форме.

Почему они называются «сокращённого» умножения?

Название отражает их практическую пользу. До их повсеместного использования умножение многочленов (например, (a+b)*(a+b)) было рутинной и длительной процедурой. Эти формулы сокращают количество шагов, необходимых для получения результата, выступая как готовый алгоритм.

Интересный факт

Формула для (a + b)² встречается в древнекитайском математическом трактате «Математика в девяти книгах» (ок. II в. до н.э. — I в. н.э.), где также даётся её геометрическая интерпретация.

Итог эволюции:

1. Геометрическое тождество: Наглядное представление через площади фигур (Вавилон, Греция).
2. Алгоритмическое правило: Описание правил решения уравнений словами (аль-Хорезми).
3. Символическая формула: Запись общего правила с помощью букв (Виет, Декарт).