Гия́с-ад-Ди́н Абу-ль-Фатх Ома́р ибн Ибрахи́м Хайя́м Нишапури́ (1048–1131) известен как выдающийся поэт Востока и автор четверостиший «рубаи» с философскими рассуждениями на вечные темы. При этом он был и выдающимся учёным, внёсшим значительный вклад в развитие математики и астрономии.
О параллельных он закончил труд.
Пройдут года.
Столетия пройдут.
И скажут люди:
— Первым был Хайям,
кто истину приблизил смело к нам.
Ведь теоремы доказал поэт,
что станут через много-много лет
основой геометрии иной,
мир новый, не Эвклидов, неземной
понятней и доступней станет нам.
Ефим Ефимовский. СЛЕД КОЛЕСНИЦЫ
Что такое пятый постулат Евклида?
В «Началах» Евклида (III век до н.э.) есть пять постулатов — утверждений, которые принимаются без доказательства. Первые четыре просты (например, «через две точки можно провести прямую»), но пятый звучит сложно:
«Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, в сумме меньшие двух прямых, то эти две прямые, продолженные неограниченно, пересекутся с той стороны, где углы меньше двух прямых».
Проще говоря:
- Если две прямые «наклонены» друг к другу (сумма углов α + β < 180°), они рано или поздно пересекутся.
- Если нет (α + β = 180°) — они параллельны.
За почти две тысячи лет было предпринято множество попыток доказать пятый постулат Евклида, однако все они оказались безуспешными. Все эти усилия показали, что пятый постулат не может быть выведен из остальных аксиом Евклида. Это привело к осознанию возможности существования альтернативных геометрий — неевклидовых, где пятый постулат заменён другими утверждениями.
В XIX веке математики Лобачевский и Бойяи:
- Допустили, что пятый постулат неверен → создали гиперболическую геометрию.
- Позже Риман разработал сферическую геометрию.
- Так появились неевклидовы геометрии, где:
- Нет параллельных (сфера) или их бесконечно много («седло»).
- Сумма углов треугольника ≠ 180°.
Физический смысл: Общая теория относительности Эйнштейна использует эти идеи для описания искривлённого пространства-времени!
Примеры из жизни:
- На плоскости (евклидова геометрия) сумма углов треугольника = 180°.
- На глобусе (сферическая геометрия) сумма > 180° (например, у треугольника «экватор—два меридиана»).
- На седле (гиперболическая) сумма < 180°.
Таким образом, исторические попытки доказать пятый постулат, несмотря на свою безуспешность, сыграли ключевую роль в развитии математики, приведя к открытию новых направлений и углублению понимания геометрии
Хайям в XI веке предложил своё «доказательство» — но фактически заменил постулат на эквивалентное утверждение.
Что сделал Хайям?
В трактате «Комментарии к трудностям во «Началах» Евклида» он:
В XI веке Омар Хайям:
- Заменил постулат на свою аксиому: «Две сходящиеся прямые не могут стать расходящимися».
- Попытался доказать от противного. Предположил, что пятый постулат неверен → пришёл к противоречию.
- Создал четырёхугольник с тремя прямыми углами (теперь его называют «четырёхугольник Хайяма-Ламберта»), чтобы исследовать свойства параллельных.
Это четырёхугольник с:
- Двумя прямыми углами при основании (∠A = ∠B = 90°)
- Равными боковыми сторонами (AC = BD)
- Двумя верхними углами (∠C и ∠D), чьи свойства и пытались исследовать
В чём суть исследования?
Хайям и Ламберт (XVIII в.) независимо изучали:
- Если ∠C = ∠D = 90° → работает евклидова геометрия
- Если ∠C = ∠D < 90° → возможна гиперболическая геометрия (Лобачевского)
- Если ∠C = ∠D > 90° → возможна сферическая геометрия (Римана)
Хайям почти догадался, что пространство может быть иным!