Хорда

Определение

Хорда — это отрезок, соединяющий две любые точки окружности.

Особые случаи хорды:

Диаметр — хорда, проходящая через центр окружности. Это наибольшая возможная хорда, равная двум радиусам: $D = 2 R$ .
Точка — вырожденная хорда нулевой длины (когда концы совпадают).

Хорда и её элементы

Основные свойства хорд

Диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам.
Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен этой хорде.
Равные хорды равноудалены от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра, равны между собой.
Большая из двух хорд ближе к центру окружности.
Дуги между параллельными хордами равны.

Формулы для хорды

Длина хорды через радиус и центральный угол

AB = 2 R \sin \frac{α}{2}

Где

R

— радиус,

α

— центральный угол, опирающийся на хорду

AB

.

Расстояние от центра до хорды

d = \sqrt{R^{2} — {(\frac{AB}{2})}^{2}}

Расстояние

d

измеряется по перпендикуляру от центра до хорды.

Длина хорды через радиус и расстояние до центра

AB = 2 \sqrt{R^{2} — d^{2}}

Формула следует из теоремы Пифагора.

Теоремы о хордах

Теорема о пересекающихся хордах

Если две хорды пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой.

AE \cdot EB = CE \cdot ED

Свойство равных хорд

Равные хорды стягивают равные дуги, и наоборот.

AB = CD \Leftrightarrow дуга AB = дуга CD

Задачи с решениями

1

Радиус окружности равен 10. Найдите длину хорды, если расстояние от центра до хорды равно 6.

Решение

Формула: $AB = 2 \sqrt{R^{2} — d^{2}}$

Подстановка: $AB = 2 \sqrt{100 — 36} = 2 \sqrt{64} = 2 \cdot 8 = 16$

Ответ: 16

2

Хорды

AB

и

CD

пересекаются в точке

E

.

AE = 3

,

BE = 12

,

CE = 4

. Найдите

DE

.

Решение

Теорема: $AE \cdot BE = CE \cdot DE$

Вычисление: $3 \cdot 12 = 4 \cdot DE$ → $DE = \frac{36}{4} = 9$

Ответ: 9

3

Радиус 13, хорда 10. Найдите расстояние от центра до хорды.

Решение

Формула: $d = \sqrt{R^{2} — {(\frac{AB}{2})}^{2}}$

Подстановка: $d = \sqrt{169 — 25} = \sqrt{144} = 12$

Ответ: 12

Историческая справка

Понятие хорды возникло в Древней Греции. Евдокс Книдский (IV в. до н.э.) и Гиппарх (II в. до н.э.) использовали хорды для построения первых тригонометрических таблиц.

В труде Птолемея «Альмагест» (II в. н.э.) содержалась знаменитая «таблица хорд». Птолемей принимал радиус равным 60, тогда длина хорды для дуги в 2α градусов:

chord (2 α) = 120 \cdot \sin (α)

Это исторический прообраз современной функции синуса.

Сравнительная таблица

Хорда

Диаметр

Касательная

Секущая

Элемент	Определение	Формулы	Особенности
Хорда	Отрезок, соединяющий две точки окружности	$AB = 2 \cdot R \cdot \sin \frac{α}{2}$ $AE \cdot EB = CE \cdot ED$	• Длина от 0 до 2R • Равные хорды равноудалены от центра
Диаметр	Хорда через центр окружности	$D = 2 \cdot R$ $D = \frac{C}{π}$	• Наибольшая хорда (2R) • Делит окружность на 2 дуги по 180°
Касательная	Прямая с одной общей точкой	$OT ⊥ PT$ ${PT}^{2} = PA \cdot PB$	• Одна точка касания • ⊥ радиусу в точке касания
Секущая	Прямая с двумя точками пересечения	$PA \cdot PB = PC \cdot PD$ ${PT}^{2} = PA \cdot PB$	• Две точки пересечения • Отрезок между ними — хорда

Важные соотношения:

D = 2 \cdot R

|

OT ⊥ PT

|

PA \cdot PB = PC \cdot PD

|

{PT}^{2} = PA \cdot PB

ТЕМЫ

ЕГЭ ПРОФИ

Определение

Основные свойства хорд

Формулы для хорды

Длина хорды через радиус и центральный угол

Расстояние от центра до хорды

Длина хорды через радиус и расстояние до центра

Теоремы о хордах

Задачи с решениями

Историческая справка

Хорда, диаметр, касательная, секущая

Сравнительная таблица