Формула сочетаний с повторениями:
где:
- n — количество типов элементов,
- k — количество выбираемых элементов.
1. Покупка зелий
В магазине продают 3 типа зелий:
🔴 Красное (лечение),
🔵 Синее (мана),
🟢 Зелёное (яд).
Сколько способов купить 5 зелий?
Решение:
- Типов зелий (n) = 3.
- Покупаем (k) = 5 зелий.
Подставляем в формулу: C(3+5−1, 5)=C(7, 5)=21 способ.
Почему C(7, 5)?
Это эквивалентно выбору 5 позиций из 7 возможных «ячеек» для распределения зелий.
📊 Как это выглядит на практике?
Каждая комбинация — это вариант распределения 5 зелий по 3 типам. Например:
- 🔴🔴🔴🔴🔴 (5 красных).
- 🔴🔴🔵🔵🔵 (2 красных + 3 синих).
- 🔵🔵🔵🟢🟢 (3 синих + 2 зелёных).
… и так далее, всего 21 вариант.
❓ Почему не 3^5?
- 3^5=243 — это размещения с повторениями (где важен порядок, например, последовательность зелий в инвентаре).
- В нашем случае порядок не важен, поэтому используем сочетания.
2. Сбор ресурсов
Задача: В игре есть 4 вида ресурсов. Сколько способов собрать 10 единиц?
Решение:
- Ресурсов n=4, собираем k=10.
Ответ: C(4+10−1,10)=C(13,10)=286.
3. Распределение очков навыков
Задача: Нужно распределить 7 очков между 3 характеристиками. Сколько вариантов?
Решение:
- Характеристик n=3, очков k=7.
Ответ: C(3+7−1,7)=C(9,7)=36.
4. Комбинации монстров
Задача: В локации можно встретить 5 видов монстров. Сколько комбинаций из 4 убийств?
Решение:
- Монстров n=5, убийств k=4.
Ответ: C(5+4−1,4)=C(8,4)=70.
5. Покупка предметов
Задача: В магазине 6 товаров. Сколько способов купить 4 предмета (можно брать одинаковые)?
Решение:
- Товаров n=6, покупаем k=4.
Ответ: C(6+4−1,4)=C(9,4)=126.
6. Набор юнитов
Задача: В стратегии есть 3 типа юнитов. Сколько вариантов набора из 5 юнитов?
Решение:
- Юнитов n=3, в наборе k=5.
Ответ: C(3+5−1,5)=C(7,5)=21.
7. Комбинации зелий
Задача: В RPG есть 2 вида зелий. Сколько способов купить 10 зелий?
Решение:
- Зелий n=2, покупаем k=10.
Ответ: C(2+10−1,10)=C(11,10)=11.
8. Генерация лута
Задача: В лутбоксе 4 категории предметов. Сколько вариантов выпадения 3 предметов?
Решение:
- Категорий n=4, предметов k=3.
Ответ: C(4+3−1,3)=C(6,3)=20.
9. Распределение очков урона
Задача: Нужно распределить 8 единиц урона между 2 типами атак. Сколько вариантов?
Решение:
- Атак n=2, урона k=8.
Ответ: C(2+8−1,8)=C(9,8)=9.
10. Комбинации рун
Задача: В игре есть 5 типов рун. Сколько способов активировать 6 рун (можно повторять)?
Решение:
- Рун n=5, активируем k=6.
Ответ: C(5+6−1,6)=C(10,6)=210.
Итог
Формула C(n+k−1, k) идеальна для задач, где:
- Есть типы (зелья, оружие, монстры).
- Нужно выбрать сколько-то штук (можно одинаковые).
- Порядок не имеет значения.