«Конверт Пирсона» и способ Магницкого

От /

Основные понятия

  • Концентрация вещества — массовая доля растворённого вещества в смеси, выражается в процентах или долях единицы.
  • Закон сохранения массы — масса смеси равна сумме масс компонентов.

«Правило креста» или «конверт Пирсона»

Правило креста (также известное как «конверт Пирсона» или «диагональная схема смешения») — это графический метод решения задач на смешивание растворов, сплавов или смесей с разными концентрациями вещества. Он основан на понятии пропорции и позволяет быстро определить соотношение компонентов, необходимых для получения смеси заданной концентрации.

Правило креста — Полная презентация

Правило креста

Графический метод решения задач на смеси

Схема правила креста

C₁
C₂
C
|C-C₂|
|C₁-C|
Диагональ \: C₁ → |C₁ — C|
Диагональ /: |C — C₂| → C₂
Пересечение: C (конечная концентрация)

Как читать схему:

Отношение отрезков справа = отношению масс компонентов

(C — C₂) : (C₁ — C) = m₁ : m₂

Пример 1: Смешивание растворов

Задача:

Смешали 3 кг 60% раствора и 2 кг 20% раствора. Какова концентрация смеси?

Решение:

1. Отношение масс: 3 : 2

2. C₁ = 60%, C₂ = 20%

3. По правилу креста:

(C — 20) / (60 — C) = 3 / 2

4. Решаем уравнение:

2(C — 20) = 3(60 — C)

2C — 40 = 180 — 3C

5C = 220

C = 44%

Проверка:

Вещества из первого: 3 × 0.60 = 1.8 кг

Вещества из второго: 2 × 0.20 = 0.4 кг

Всего вещества: 2.2 кг

Концентрация: 2.2 / 5 = 0.44 = 44% ✓

Схема для этой задачи

60%
20%
44%
24
16

Расчёт разностей:

|44 — 20| = 24

|60 — 44| = 16

Соотношение: 24 : 16 = 3 : 2

Что соответствует массам компонентов

Интерпретация:

Красный отрезок (24) соответствует массе первого раствора (3)

Синий отрезок (16) соответствует массе второго раствора (2)

Практика: Решите задачи самостоятельно

1

Задача: Смешали 4 литра 5-процентного раствора кислоты с 6 литрами 10-процентного раствора этой же кислоты. Определите процентную концентрацию получившегося раствора.

Подсказка: Найдите общую массу кислоты и общий объём.

Решение:

1. Кислоты в первом растворе: 4 × 0.05 = 0.2 л

2. Кислоты во втором растворе: 6 × 0.10 = 0.6 л

3. Всего кислоты: 0.2 + 0.6 = 0.8 л

4. Общий объём: 4 + 6 = 10 л

5. Концентрация: 0.8 ÷ 10 = 0.08 = 8%

Ответ: 8%

2

Задача: Первый сплав содержит 25% меди, второй — 30% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 5 кг. Сплавив эти два сплава, получили сплав, содержащий 28% меди. Найдите массу получившегося сплава.

Подсказка: Используйте правило креста, затем составьте уравнение.

Решение:

1. Правило креста:

|28 — 25| = 3, |30 — 28| = 2

Соотношение: 3:2 (второй:первый)

2. Пусть первый сплав = 2x, второй = 3x

3. Разность масс: 3x — 2x = x = 5 кг

4. Первый сплав: 2×5 = 10 кг

5. Второй сплав: 3×5 = 15 кг

6. Общая масса: 10 + 15 = 25 кг

Ответ: 25 кг

3

Задача: Сплав меди и цинка весом 70 кг содержит 50% меди. Сколько нужно добавить цинка, чтобы в сплаве его концентрация достигла 60%?

Подсказка: Добавляемый цинк — это 0% меди.

Решение:

1. Изначально цинка: 70 × 0.50 = 35 кг

2. Меди: 70 × 0.50 = 35 кг

3. Добавляем x кг цинка (0% меди)

4. Новая масса цинка: 35 + x кг

5. Новая общая масса: 70 + x кг

6. Уравнение: (35 + x) / (70 + x) = 0.60

7. Решение: 35 + x = 42 + 0.6x → 0.4x = 7 → x = 17.5 кг

Ответ: 17.5 кг

4

Задача: Имеется два сплава с разным содержанием золота: в первом содержится 70%, а во втором — 45% золота. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий 50% золота?

Подсказка: Простое применение правила креста.

Решение:

1. Строим схему креста:

70%
45%
50%
5
20

2. Разности: |50 — 45| = 5, |70 — 50| = 20

3. Соотношение: 5 : 20 = 1 : 4

Ответ: 1:4 (первый:второй)

Слайд 1 из 3

Общий алгоритм

  1. Запиши концентрации исходных веществ. Например, С1= 20% (первый раствор), С₂ = 60% (второй раствор).
  2. Запиши желаемую концентрацию новой смеси. Например, С₃ = 30%.
  3. Построй «крест».
    • Слева друг под другом запиши С₁ и С₂.
    • В центре запиши С₃.
    • Проведи диагонали от С₃ к С₁ и С₂.
  4. Рассчитай разности. По диагоналям вычти из большей концентрации меньшую (результаты всегда положительные). Эти разности (a и b) покажут части (массовые доли) для каждого раствора.
  5. Запиши соотношение масс. Отношение m₁ / m₂ = a / b покажет, в каком соотношении нужно смешать исходные растворы.

Задача 1

Имеется два сплава железа и хрома. Из таких сплавов изготавливают сталь для изготовления инструментов. В первом сплаве содержится 6% хрома, во втором сплаве – 30% хрома. В каком отношении нужно взять эти сплавы, чтобы получить сплав, содержащей 18% хрома?

Исходные данные:

  • Первый сплав: 6% хрома.
  • Второй сплав: 30% хрома.
  • Требуемый сплав: 18% хрома.

Применяем правило креста:Записываем концентрации исходных сплавов и требуемого сплава. По диагонали мы вычитаем из большей концентрации меньшую.

Расшифровка схемы:

  • Чтобы найти части для 6%-го сплава, вычитаем требуемую концентрацию из концентрации второго сплава: 30 - 18 = 12.
  • Чтобы найти части для 30%-го сплава, вычитаем концентрацию первого сплава из требуемой: 18 - 6 = 12.

Выводим соотношение: Соотношение масс сплавов:
12 частей 6%-го сплава : 12 частей 30%-го сплава

Упрощаем соотношение, разделив оба числа на 12:
1 часть 6%-го сплава : 1 часть 30%-го сплава

Задача 2

Морская вода содержит 5% соли (по массе). Сколько пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы концентрация соли составила 1,5%?

Исходные данные:

  • Морская вода: 5% соли.
  • Пресная вода: 0% соли (так как в ней нет соли).
  • Требуемый раствор: 1.5% соли.

Применяем правило креста: Записываем концентрации исходных растворов и требуемой смеси в виде схемы. По диагонали мы вычитаем из большей концентрации меньшую.

5% ——— (1.5 - 0) = 1.5 части морской воды
\ /
1.5%
/ \
0% ——— (5 - 1.5) = 3.5 части пресной воды

Расшифровка схемы:

  • Из концентрации морской воды (5%) вычитаем концентрацию желаемого раствора (1.5%). Получаем 5 - 1.5 = 3.5. Это количество частей пресной воды (0%).
  • Из концентрации желаемого раствора (1.5%) вычитаем концентрацию пресной воды (0%). Получаем 1.5 - 0 = 1.5. Это количество частей морской воды (5%).

Выводим соотношение. Соотношение масс морской воды к пресной должно быть: 1.5 части морской воды : 3.5 части пресной воды

Можно упростить, умножив на 2, чтобы избавиться от десятичных дробей: 3 части морской воды : 7 частей пресной воды

Согласно соотношению, это соответствует 3 частям. Находим массу одной части: 30 кг / 3 части = 10 кг на одну часть.

Теперь находим массу пресной воды: 7 частей * 10 кг/часть = 70 кг.

Задача 3

Для приготовления торта «Воздушный» маме требуется 10 г 40% раствора лимонной кислоты. Какова масса 20% и 70% растворов лимонной кислоты, которые она смешала, чтобы получить раствор нужной концентрации?

Исходные данные:

  • Первый раствор: 20% кислоты.
  • Второй раствор: 70% кислоты.
  • Требуемая смесь: 40% кислоты, массой 10 г.

Применяем правило креста: Записываем концентрации исходных растворов и требуемой смеси. По диагонали вычитаем из большей концентрации меньшую.

20% ——— (70 - 40) = 30 частей 20% раствора
\ /
40%=10г
/ \
70% ——— (40 - 20) = 20 частей 70% раствора

Расшифровка схемы:

  • Чтобы найти части для 20% раствора, вычитаем 40 из 70: 70 - 40 = 30.
  • Чтобы найти части для 70% раствора, вычитаем 20 из 40: 40 - 20 = 20.

Выводим соотношение: 30 частей 20% раствора : 20 частей 70% раствора

Можно упростить, разделив на 10: 3 части 20% раствора : 2 части 70% раствора.

Всего частей: 3 + 2 = 5.

Находим массу одной части. Мы знаем, что общая масса нужного раствора — 10 г, и она составляет 5 частей. Масса одной части: 10 г / 5 частей = 2 грамма.

Находим массы исходных растворов:

  • Масса 20% раствора: 3 части * 2 г/часть = 6 г.
  • Масса 70% раствора: 2 части * 2 г/часть = 4 г.

🔹 Давайте убедимся, что в полученной смеси действительно будет 40% кислоты.

  • Масса кислоты из 20% раствора: 20% от 6 г = 0.2 * 6 = 1.2 г
  • Масса кислоты из 70% раствора: 70% от 4 г = 0.7 * 4 = 2.8 г
  • Общая масса кислоты: 1.2 г + 2.8 г = 4.0 г
  • Концентрация в новом растворе: (4.0 г / 10 г) * 100% = 40%

«Метод рыбки» (способ Магницкого)

Данный способ решения задач был описан русским математиком Леонтием Филипповичем Магницким (1669–1739). При решении задач строится схема, которая напоминает рыбу. Принцип действия похож на конверт Пирсона,.

Алгоритм «метода рыбки»

  1. Написать нужную концентрацию.
  2. Написать исходные концентрации (снизу— большую, сверху— меньшую).
  3. Вычесть из головы число на хвосте по диагонали.
  4. Результаты вычитания показают, сколько частей нужно взять раствора с противоположного конца хвоста.
https://fhd.multiurok.ru/c/e/0/ce0d9e0a6b96e7ca69df4131ae112f65084f3adb/urok-matiematiki-v-11-klassie-po-podghotovkie-iege-po-tiemie-rieshieniie-tiekstovykh-zadach-na-smiesi-i-splavy_24.png

Задача 1

Имеется два сплава с разным содержанием золота. В первом сплаве содержится 35%, а во втором 60% золота. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий 40% золота?

https://www.surwiki.admsurgut.ru/wiki/images/f/f5/Задачи_на_смеси_Петрова_Н.А.pdf

Исходные данные:

  • Первый сплав: 35% золота
  • Второй сплав: 60% золота
  • Требуемый сплав: 40% золота

Рисуем схему. Слева и справа записываем исходные концентрации, в центре — требуемую.

Проводим диагонали и вычитаем по ним из большего числа меньшее. Результаты записываем на противоположных концах.

  • 40 - 35 = 5 (пишем справа, напротив 60%)
  • 60 - 40 = 20 (пишем слева, напротив 35%)

Анализируем результат:

  • 20 указывает на количество частей для сплава с 60%.
  • 5 указывает на количество частей для сплава с 35%.

Окончательное соотношение: m(35%) : m(60%) = 5 : 20 = 1 : 4

Это значит, что первого сплава (35%) нужно взять 1 часть, а второго сплава (60%) — 4 части.

Задача 2

Морская вода содержит 5% соли по массе. Сколько пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы концентрация соли составляла 1,5%?

 Дано:

  • Морская вода: 30 кг, 5% соли
  • Пресная вода: 0% соли (так как в ней нет соли)
  • Требуемый раствор: 1.5% соли
  • Найти: Массу пресной воды (X), которую нужно добавить.
https://synergy.ru/assets/upload/news/articles_ege/ege/matematika/практика/Решение%20задач%20на%20концентрации%20матекатика%20егэ.pdf

Расшифровка:

  • Из головы (1.5%) вычитаем правый конец хвоста (0%): 1.5 - 0 = 1.5. Пишем этот результат у правого «плавника». Это части морской воды (5%).
  • Из левого конца хвоста (5%) вычитаем голову (1.5%): 5 - 1.5 = 3.5. Пишем этот результат у левого «плавника». Это части пресной воды (0%).

Соотношение: m(морской) : m(пресной) = 1.5 : 3.5 = 3 : 7 (после упрощения).

30 кг морской воды = 3 части → 1 часть = 10 кг → масса пресной воды (7 частей) = 70 кг.

Способ Л.Ф.Магницкого для трех веществ

Задача 3

Имеются два сплава золота и серебра. В одном сплаве количество этих металлов находится в отношении 2:3, а в другом – в отношении 3:7. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получить 8кг нового сплава, в котором золото и серебро были бы в отношении 5:11?

https://synergy.ru/assets/upload/news/articles_ege/ege/matematika/практика/Решение%20задач%20на%20концентрации%20матекатика%20егэ.pdf

Задача 4

Способ Л.Ф.Магницкого для трех веществ
Некто имеет чай трех сортов – цейлонский по 5 гривен за фунт, индийский по 8 гривен за
фунт и китайский по 12 гривен за фунт. В каких долях нужно смешать эти сорта, чтобы
получить чай стоимостью 6 гривен за фунт?

1. Анализ «убытков» и «прибылей» (компенсация):

  • Цейлонский чай (5 грн) дешевле требуемого. При его использовании возникает «экономия» в размере 6 - 5 = 1 гривна с каждого фунта.
  • Индийский чай (8 грн) дороже требуемого. При его использовании возникает «убыток» в размере 8 - 6 = 2 гривны с каждого фунта.
  • Китайский чай (12 грн) намного дороже. «Убыток» от него: 12 - 6 = 6 гривен с фунта.

2. Постановка условия:
Общая «экономия» от дешёкого чая должна покрыть общие «убытки» от дорогих чаёв. Нужно найти, сколько фунтов каждого сорта взять, чтобы выполнялось равенство:

[Экономия] = [Убыток 1] + [Убыток 2]

1 * (Цейлонский) = 2 * (Индийский) + 6 * (Китайский)

3. Решение подбором
Нужно найти такие целые числа (доли), чтобы равенство стало верным.

Чтобы использовать все три сорта, попробуем взять дорогие сорта по одной части (Индийский = 1, Китайский = 1). Подставляем в уравнение:
1 * Ц = 2*1 + 6*1
Ц = 8
Получили соотношение: Цейлонский : Индийский : Китайский = 8 : 1 : 1

Проверка:
(8*5 + 1*8 + 1*12) / (8+1+1) = (40 + 8 + 12) / 10 = 60 / 10 = 6 гривен за фунт.

Давайте решим её с помощью «метода рыбки» 

🐟 Шаг 1: Анализ задачи

У нас есть три сорта чая с разной ценой. Нам нужно получить смесь по 6 гривен за фунт. «Метод рыбки» классически используется для двух компонентов. Для трёх мы применим его два раза.

🐟 Шаг 2: Первое применение «метода рыбки» (Усреднение двух дорогих сортов)

Сначала выясним, какую среднюю цену можно получить, смешав два самых дорогих сорта — индийский (8 грн) и китайский (12 грн).

Предположим, мы смешаем их в равных долях (это самое простое соотношение). Тогда части будут равны. Чтобы они были равны, разности должны быть одинаковыми:
12 - X = X - 8
2X = 20
X = 10

Вывод: Смешав индийский и китайский чай в равных долях, мы получим «элитную смесь» стоимостью 10 грн/фунт.

Теперь наша задача упростилась. Вместо трёх сортов у нас есть два:

  1. Цейлонский чай: 5 грн/фунт
  2. Элитная смесь: 10 грн/фунт
    ... и нужно получить смесь по 6 грн/фунт.

🐟 Шаг 3: Второе применение «метода рыбки» (Смешивание с дешёвым сортом)

Теперь применяем метод рыбки к цейлонскому чаю (5 грн) и элитной смеси (10 грн), чтобы получить нужные 6 грн.

Считаем плавники:

  • Левый плавник: 10 - 6 = 4 → Это части для дешёвого чая (5 грн).
  • Правый плавник: 6 - 5 = 1 → Это части для элитной смеси (10 грн).

Соотношение: m(5 грн) : m(элитной смеси) = 4 : 1

Это значит, что на 4 части цейлонского чая нужно взять 1 часть элитной смеси.

🐟 Шаг 4: «Разворачиваем» элитную смесь

Мы помним, что наша «элитная смесь» сама состоит из индийского и китайского чая, смешанных в равных долях (1:1).

Следовательно, общее соотношение всех трёх компонентов будет следующим:

  • Цейлонский чай (5 грн): 4 части
  • Индийский чай (8 грн): 0.5 части (половина от 1 части элитной смеси)
  • Китайский чай (12 грн): 0.5 части (вторая половина от 1 части элитной смеси)

Чтобы избавиться от дробей, умножим все части на 2:

  • Цейлонский чай (5 грн): 8 частей
  • Индийский чай (8 грн): 1 часть
  • Китайский чай (12 грн): 1 часть

Итоговое соотношение: 8 : 1 : 1

Задачи

Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля в 5% и 40%. Сколько нужно взять каждого из этих сортов, чтобы получить 140т стали с содержанием никеля 30%?

Ответ

нужно взять 40 т стали с 5% никеля и 100 т стали с 40% никеля.

Сколько чистого спирта нужно добавить к 735г 16%-ого раствора йода в спирте, чтобы получился 10%-ный раствор?

Решение

Исходный раствор: 735 г с концентрацией ω₁ = 16%

Чистый спирт: концентрация ω₂ = 0% (так как в нём нет йода)

Требуемый раствор: концентрация ω₃ = 10%

16% ——— (10 - 0) = 10 частей исходного раствора
\
10%
/
0% ——— (16 - 10) = 6 частей чистого спирта

Соотношение: m(раствора) : m(спирта) = 10 : 6 = 5 : 3. Это значит, что на 5 частей исходного раствора нужно добавить 3 части чистого спирта.

Находим массы:
Нам известно, что масса исходного раствора равна 735 г и это составляет 5 частей.

  1. Находим массу одной части: 735 г / 5 = 147 г
  2. Находим массу чистого спирта (3 части): 3 * 147 г = 441 г

Ответ по правилу креста: нужно добавить 441 г чистого спирта.

Имеется два сплава, в одном из которых содержится 20%, а в другом 30% олова. Сколько нужно взять первого и второго сплава, чтобы после их сплавления вместе получилось 10кг нового сплава, содержащего 27% олова?

Ответ

нужно взять 3 кг сплава с 20% олова и 7 кг сплава с 30% олова.

Имеется два сплава, в одном из которых содержится 30%, а в другом 50% золота. Сколько кг второго сплава нужно добавить к 10 кг первого, чтобы после сплавления получить сплав, содержащий 42% золота?

Решение

30% ——— (50 - 42) = 8 частей первого сплава \ 42% / 50% ——— (42 - 30) = 12 частей второго сплава

Соотношение масс: m(30%) : m(50%) = 8 : 12. Упрощаем соотношение, разделив оба числа на 4: m(30%) : m(50%) = 2 : 3. Это означает, что для получения сплава с 42% золота нужно смешать 2 части 30%-ного сплава с 3 части 50%-ного сплава.

Находим массу второго сплава. Нам известно, что масса первого сплава равна 10 кг и это составляет 2 части.

  • Находим массу одной части: 10 кг / 2 = 5 кг
  • Находим массу второго сплава (3 части): 3 * 5 кг = 15 кг

Нужно добавить 15 кг второго сплава (50% золота).

Сплав золота и серебра содержит 20% золота. Какую массу сплава и массу чистого золота нужно взять для получения 80 кг нового сплава, содержащего 50% золота?

Ответ

Масса исходного сплава: 5 * 10 кг = 50 кг

Масса чистого золота: 3 * 10 кг = 30 кг

Кусок железа с медью массой 30 кг содержит 45% железа. Какую массу меди нужно добавить к этому куску, чтобы полученный сплав содержал 30% железа?

Ответ

Нужно добавить 15 кг меди.

Комментарий: Нас интересует содержание железа. Мы будем "смешивать" исходный сплав (45% железа) с чистой медью (0% железа), чтобы получить сплав с 30% железа.

Сколько граммов нужно взять 20%-ого и 32,1%-ого растворов соляной кислоты, чтобы приготовить 242г 26,7%-ого раствора?

Ответ

Нужно взять 108 г 20%-ного раствора и 134 г 32,1%-ного раствора.

Дополнительно

Источник: https://www.e-osnova.ru/PDF/osnova_6_4_361.pdf

Источник: https://koirojournal.ru/wp-content/uploads/2022/07/kvo_214-04-potkina.pdf

Прокрутить вверх