История
Метод координат ввёл Рене Декарт (1596–1650) в работе «Геометрия» (1637). Он предложил описывать геометрические фигуры уравнениями, связывающими координаты точек.
Это объединило алгебру и геометрию, положив начало аналитической геометрии.
Основные формулы
Расстояние между точками:
\(AB = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}\)
\(AB = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}\)
Координаты середины отрезка:
\(M\left(\dfrac{x_1+x_2}{2},\ \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)\)
\(M\left(\dfrac{x_1+x_2}{2},\ \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)\)
Уравнение окружности:
\((x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = R^2\)
\((x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = R^2\)
Расстояние от точки до прямой:
\(d = \dfrac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\)
\(d = \dfrac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\)
Алгоритм решения задач
- Внимательно прочитайте условие задачи.
- Определите, какую формулу нужно применить.
- Выпишите координаты всех точек.
- Подставьте числа в формулу.
- Выполните вычисления по шагам.
- Запишите ответ.
Пример 1. Расстояние между точками
Условие: Найти расстояние между точками \(A(2, 3)\) и \(B(7, 15)\).
Подробное решение:
Шаг 1: Записываем формулу расстояния
\(AB = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}\)
Шаг 2: Определяем координаты
\(x_1 = 2,\ y_1 = 3\) (координаты точки \(A\))
\(x_2 = 7,\ y_2 = 15\) (координаты точки \(B\))
\(x_2 = 7,\ y_2 = 15\) (координаты точки \(B\))
Шаг 3: Находим разности координат
\(x_2 - x_1 = 7 - 2 = 5\)
\(y_2 - y_1 = 15 - 3 = 12\)
\(y_2 - y_1 = 15 - 3 = 12\)
Шаг 4: Возводим разности в квадрат
\((x_2 - x_1)^2 = 5^2 = 25\)
\((y_2 - y_1)^2 = 12^2 = 144\)
\((y_2 - y_1)^2 = 12^2 = 144\)
Шаг 5: Складываем квадраты
\((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 = 25 + 144 = 169\)
Шаг 6: Извлекаем квадратный корень
\(AB = \sqrt{169} = 13\)
Ответ: \(AB = 13\)
Пример 2. Координаты середины отрезка
Условие: Найти координаты середины отрезка с концами \(C(-4, 8)\) и \(D(10, -2)\).
Подробное решение:
Шаг 1: Записываем формулу середины
\(M\left(\dfrac{x_1+x_2}{2},\ \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)\)
Шаг 2: Определяем координаты концов
\(x_1 = -4,\ y_1 = 8\) (координаты точки \(C\))
\(x_2 = 10,\ y_2 = -2\) (координаты точки \(D\))
\(x_2 = 10,\ y_2 = -2\) (координаты точки \(D\))
Шаг 3: Находим x-координату середины
\(x_M = \dfrac{x_1 + x_2}{2} = \dfrac{-4 + 10}{2} = \dfrac{6}{2} = 3\)
Шаг 4: Находим y-координату середины
\(y_M = \dfrac{y_1 + y_2}{2} = \dfrac{8 + (-2)}{2} = \dfrac{6}{2} = 3\)
Шаг 5: Записываем координаты точки \(M\)
\(M(3, 3)\)
Ответ: \(M(3; 3)\)
Пример 3. Расстояние от точки до прямой
Условие: Найти расстояние от точки \(P(1, 2)\) до прямой \(3x + 4y - 25 = 0\).
Подробное решение:
Шаг 1: Записываем формулу расстояния
\(d = \dfrac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\)
Шаг 2: Определяем коэффициенты прямой и координаты точки
Прямая: \(3x + 4y - 25 = 0\)
\(A = 3,\ B = 4,\ C = -25\)
Точка \(P\): \(x_0 = 1,\ y_0 = 2\)
\(A = 3,\ B = 4,\ C = -25\)
Точка \(P\): \(x_0 = 1,\ y_0 = 2\)
Шаг 3: Вычисляем числитель (модуль)
\(Ax_0 + By_0 + C = 3 \cdot 1 + 4 \cdot 2 + (-25) = 3 + 8 - 25 = -14\)
\(|Ax_0 + By_0 + C| = |-14| = 14\)
\(|Ax_0 + By_0 + C| = |-14| = 14\)
Шаг 4: Вычисляем знаменатель
\(A^2 + B^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\)
\(\sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{25} = 5\)
\(\sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{25} = 5\)
Шаг 5: Находим расстояние
\(d = \dfrac{14}{5} = 2.8\)
Ответ: \(d = 2.8\)