📌 1. Что такое кривая второго порядка?
Это любая линия на плоскости, уравнение которой содержит x², y² или xy. Самое общее уравнение выглядит так:
Где A, B, C, D, E, F — это просто числа (коэффициенты). Если A, B, C одновременно не равны нулю — это второй порядок.
Пример: x² + y² = 9 (окружность), x²/4 − y²/4 = 1 (гипербола), y = x² (парабола).
🧮 2. Два главных числа: δ (дельта) и Δ (дельта большая)
Чтобы не рисовать каждый раз график, математики придумали два особых числа, которые сразу говорят, что за кривая перед нами. Они называются инвариантами — не меняются при повороте или сдвиге.
🔹 Первый инвариант: δ = A·C − B²
Он отвечает за форму кривой:
- δ > 0 — эллиптический тип (овалы, круги, точки).
- δ < 0 — гиперболический тип (две ветки, пары прямых).
- δ = 0 — параболический тип (чаши, параллельные прямые).
🔹 Второй инвариант: Δ (большой определитель)
Считается сложнее, но смысл простой: Δ показывает, вырождена ли кривая (превратилась ли в точку или в прямые).
- Δ ≠ 0 — «живая» кривая (эллипс, гипербола, парабола).
- Δ = 0 — вырожденная: точка, две прямые, одна прямая.
Запоминалка: δ — как дискриминант в квадратном уравнении, только для линии.
🔵 3. Эллиптический тип (δ > 0)
Эллипс — это сплюснутая окружность. Каноническое уравнение:
Если a = b, то это окружность: x² + y² = R².
Если Δ = 0, то эллипс сжимается в точку. Например, x² + 2y² = 0 — только начало координат.
• x²/9 + y²/4 = 1 → эллипс (a=3, b=2)
• x² + y² = 16 → окружность (R=4)
• 2x² + 3y² = 0 → точка (0,0)
🔴 4. Гиперболический тип (δ < 0)
Гипербола — две расходящиеся ветки. Каноническое уравнение:
Если Δ = 0, то гипербола распадается на две пересекающиеся прямые:
• x²/4 − y²/9 = 1 → гипербола
• x² − y² = 4 → тоже гипербола
• x² − 4y² = 0 → прямые y = x/2 и y = −x/2
🟢 5. Параболический тип (δ = 0)
Парабола — график знакомой функции y = x² или x = y². Канонические уравнения:
Если Δ = 0, то возможны два случая:
- Две параллельные прямые (например, x² = 4 → x = 2 и x = -2).
- Одна прямая (если прямые совпали, например x² = 0).
- Мнимые прямые (пусто, например x² = -4).
• y = x² → классическая парабола
• x = y² → парабола «на боку»
• x² − 4 = 0 → прямые x = 2 и x = −2
• x² = 0 → ось Y (двойная прямая)
⏺️ 6. Вырожденные кривые (точка и прямые)
Когда Δ = 0, кривая теряет «толщину» и становится набором линий:
| Тип | Уравнение | Условия |
|---|---|---|
| ⏺️ Точка | x² + 2y² = 0 | δ > 0, Δ = 0 |
| ✖️ Пересекающиеся прямые | x² − y² = 0 | δ < 0, Δ = 0 |
| ∥ Параллельные прямые | x² = 4 | δ = 0, Δ = 0, K > 0 |
| ＝ Одна прямая | x² = 0 | δ = 0, Δ = 0, K = 0 |
| 👻 Мнимые (пусто) | x² + y² = -1 | δ > 0, S·Δ > 0 |
🔍 7. Пошаговое определение (шпаргалка)
- Выписываем A, B, C, D, E, F.
- Считаем δ = A·C − B².
- Считаем Δ (большой определитель) — можно через онлайн-калькулятор, но суть: если Δ = 0 → вырождение.
- По таблице выше определяем кривую.
Пример: x² + 2y² − 4 = 0 → A=1, B=0, C=2, D=0, E=0, F=-4.
δ = 1·2 − 0 = 2 > 0 (эллиптич. тип), Δ = 1·(2·(-4) − 0) − 0 + 0 = -8 ≠ 0 → значит, это эллипс (не вырожден).