Классические задачи с подробными решениями и наглядными примерами
Интерактивный сборник задач с решениями для подготовки к экзаменам
🪙 Задачи с монетами
Броски одной и нескольких монет
1.1
Какова вероятность выпадения орла при одном броске симметричной монеты?
О
Р
Классическое определение вероятности: P(A) = m/n, где m - благоприятные исходы, n - все возможные исходы
Всего равновозможных исходов: 2 (орёл, решка)
Благоприятных исходов (орёл): 1
P(орёл) = 1/2 = 0,5 50%
1.2
Какова вероятность выпадения двух орлов при двух бросках монеты?
О
О
Р
Р
Пространство элементарных исходов для двух бросков:
Ω = {ОО, ОР, РО, РР}
Всего исходов: 2 × 2 = 4 (правило умножения)
Благоприятных исходов (ОО): 1
P(два орла) = 1/4 = 0,25 25%
1.3
Какова вероятность выпадения хотя бы одного орла при двух бросках?
Метод 1: Прямой подсчёт
Всего исходов: 4 (ОО, ОР, РО, РР)
Благоприятные исходы (хотя бы один орёл): ОО, ОР, РО
Благоприятных исходов: 3
P(≥1 орла) = 3/4 = 0,75 75%
Метод 2: Через противоположное событие
Противоположное событие: "ни одного орла" = {РР}
P(РР) = 1/4
P(≥1 орла) = 1 - P(РР) = 1 - 1/4 = 3/4
1.4
В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет оба раза.
Элементарные исходы при двух бросках:
Ω = {ОО, ОР, РО, РР} (4 исхода)
Благоприятный исход: ОО (1 исход)
P(ОО) = 1/4 = 0,25 25%
1.5
В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно один раз.
Всего исходов при трёх бросках: 2³ = 8
Благоприятные исходы (ровно один орёл):
ОРР, РОР, РРО (3 исхода)
P(ровно один орёл) = 3/8 = 0,375 37,5%
1.6
Перед началом футбольного матча судья бросает монету, чтобы определить, какая из команд будет первой владеть мячом. Команда «Витязь» по очереди играет с командами «Атлант» и «Титан». Найдите вероятность того, что команда «Витязь» не выиграет право первой владеть мячом ни в одном матче.
Вероятность, что «Витязь» НЕ выиграет жеребьёвку в одном матче: 1/2
Два матча независимы, используем правило умножения:
P(проиграл оба) = P(проиграл 1-й) × P(проиграл 2-й)
P = (1/2) × (1/2) = 1/4 = 0,25 25%
1.7
Перед началом волейбольного матча судья бросает монету, чтобы определить, какая из команд будет первой владеть мячом. Команда «Байкал» по очереди играет с командами «Амур», «Енисей», «Вилюй» и «Иртыш». Найдите вероятность того, что ровно в двух матчах право первой владеть мячом выиграет команда «Байкал».
Вероятность выиграть жеребьёвку в одном матче: p = 1/2
Вероятность проиграть: q = 1 - p = 1/2
Используем биномиальное распределение:
P(ровно 2 успеха из 4) = C(4,2) × p² × q²
C(4,2) = 6 (количество сочетаний)
P = 6 × (1/2)² × (1/2)² = 6 × 1/4 × 1/4 = 6/16 = 3/8 = 0,375 37,5%
🎲 Задачи с кубиками
Броски одного и нескольких игральных кубиков
2.1
Какова вероятность выпадения числа 6 на игральном кубике?
1
2
3
4
5
6
Кубик имеет 6 граней: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Всего равновозможных исходов: 6
Благоприятных исходов (выпадение 6): 1
P(6) = 1/6 ≈ 0,1667 16,67%
2.2
Какова вероятность выпадения чётного числа на кубике?
Чётные числа на кубике: 2, 4, 6
Всего исходов: 6
Благоприятных исходов: 3
P(чётное) = 3/6 = 1/2 = 0,5 50%
2.3
Какова вероятность, что сумма очков на двух кубиках равна 7?
Всего исходов при бросании двух кубиков: 6 × 6 = 36 (правило умножения)
Благоприятные исходы (сумма = 7):
(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)
Благоприятных исходов: 6
P(сумма=7) = 6/36 = 1/6 ≈ 0,1667 16,67%
2.4
Найдите вероятность того, что при броске игрального кубика выпадет нечётное число.
Нечётные числа на кубике: 1, 3, 5
Всего исходов: 6
Благоприятных исходов: 3
P(нечётное) = 3/6 = 1/2 = 0,5 50%
2.5
Найдите вероятность того, что при броске двух кубиков на обоих выпадет число не большее 3.
На одном кубике числа ≤3: 1, 2, 3 (3 исхода)
Вероятность на одном кубике: 3/6 = 1/2
Броски независимы, используем правило умножения:
P(оба ≤3) = (1/2) × (1/2) = 1/4 = 0,25 25%
2.6
В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 6 очков. Результат округлите до сотых.
Всего исходов: 6 × 6 = 36
Благоприятные исходы (сумма=6):
(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)
Благоприятных исходов: 5
P(сумма=6) = 5/36 ≈ 0,1389 ≈ 0,14
2.7
В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых.
Всего исходов для трёх кубиков: 6 × 6 × 6 = 216
Благоприятные исходы (сумма=7):
Тройки чисел с суммой 7: (1,1,5), (1,2,4), (1,3,3), (1,4,2), (1,5,1), (2,1,4), (2,2,3), (2,3,2), (2,4,1), (3,1,3), (3,2,2), (3,3,1), (4,1,2), (4,2,1), (5,1,1)
Благоприятных исходов: 15
P(сумма=7) = 15/216 = 5/72 ≈ 0,0694 ≈ 0,07
2.8
Аня и Яна играют в кости. Они бросают кость по одному разу. Выигрывает тот, кто выбросил больше очков. Ничья, если очков поровну. Аня выкинула 3 очка. Затем кубик бросает Яна. Найдите вероятность того, что Яна выиграет.
У Яны 6 возможных исходов: 1, 2, 3, 4, 5, 6
Яна выигрывает, если выбросит: 4, 5, 6
Благоприятных исходов: 3
P(Яна выигрывает) = 3/6 = 1/2 = 0,5 50%
2.9
Лена и Саша играют в кости. Они бросают кость по одному разу. Выигрывает тот, кто выбросил больше очков. Ничья, если очков поровну. Лена выкинула 4 очка. Затем кубик бросает Саша. Найдите вероятность того, что Саша проиграет.
У Саши 6 возможных исходов: 1, 2, 3, 4, 5, 6
Саша проигрывает, если выбросит: 1, 2, 3
(4 очка - ничья, 5 или 6 - выигрыш)
Благоприятных исходов: 3
P(Саша проигрывает) = 3/6 = 1/2 = 0,5 50%
2.10
Игральную кость бросают до тех пор, пока сумма всех выпавших очков не превысит число 2. Какова вероятность того, что для этого потребуется ровно два броска? Ответ округлите до сотых.
Условие: 1-й бросок ≤2, а сумма после 2-го броска >2
Возможные значения 1-го броска ≤2: 1 или 2
Если 1-й бросок = 1: 2-й бросок должен быть ≥2 (5 вариантов)
P(1, ≥2) = (1/6)×(5/6) = 5/36
Если 1-й бросок = 2: 2-й бросок должен быть ≥1 (всегда >2)
P(2, любой) = (1/6)×1 = 1/6 = 6/36
Общая вероятность: 5/36 + 6/36 = 11/36
P = 11/36 ≈ 0,3056 ≈ 0,31
2.11
Игральный кубик бросают дважды. Известно, что в сумме выпало 8 очков. Найдите вероятность того, что в первый раз выпало 6 очков.
Условная вероятность: P(A|B) = P(A∩B)/P(B)
Событие B (сумма=8): (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)
Всего исходов с суммой=8: 5
Событие A∩B (первый раз=6 И сумма=8): (6,2)
Исходов: 1
P(первый=6 | сумма=8) = 1/5 = 0,2 20%
2.12
Игральный кубик бросают дважды. Известно, что в сумме выпало 6 очков. Найдите вероятность того, что во второй раз выпало 4 очка.
Событие B (сумма=6): (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)
Всего исходов с суммой=6: 5
Событие A∩B (второй раз=4 И сумма=6): (2,4)
Исходов: 1
P(второй=4 | сумма=6) = 1/5 = 0,2 20%
2.13
Первый игральный кубик обычный, а на гранях второго кубика числа 1 и 2 встречаются по три раза. В остальном кубики одинаковые. Один случайно выбранный кубик бросают два раза. Известно, что в каком-то порядке выпали 1 и 2 очков. Какова вероятность того, что бросали первый кубик?
Формула Байеса: P(1-й кубик|выпало {1,2}) = P(выпало {1,2}|1-й кубик)×P(1-й кубик) / P(выпало {1,2})
Вероятность выбрать кубик: P(1-й)=P(2-й)=1/2
Для 1-го кубика (обычного): P({1,2}) = 2×(1/6)×(1/6) = 2/36 = 1/18
Для 2-го кубика (три грани 1, три грани 2): P({1,2}) = 2×(3/6)×(3/6) = 2×(1/2)×(1/2) = 1/2
Полная вероятность выпадения {1,2}: (1/2)×(1/18) + (1/2)×(1/2) = 1/36 + 1/4 = 1/36 + 9/36 = 10/36 = 5/18
По формуле Байеса: P = [(1/18)×(1/2)] / (5/18) = (1/36) / (5/18) = (1/36)×(18/5) = 18/180 = 1/10
P(1-й кубик|{1,2}) = 0,1 10%
2.14
Первый игральный кубик обычный, а на гранях второго кубика нет нечётных чисел, а чётные числа 2, 4 и 6 встречаются по два раза. В остальном кубики одинаковые. Один случайно выбранный кубик бросают два раза. Известно, что в каком-то порядке выпали 4 и 6 очков. Какова вероятность того, что бросали второй кубик?
Формула Байеса: P(2-й кубик|выпало {4,6}) = P(выпало {4,6}|2-й кубик)×P(2-й кубик) / P(выпало {4,6})
Вероятность выбрать кубик: P(1-й)=P(2-й)=1/2
Для 1-го кубика (обычного): P({4,6}) = 2×(1/6)×(1/6) = 2/36 = 1/18
Для 2-го кубика (2 грани 2, 2 грани 4, 2 грани 6):
P(4) = 2/6 = 1/3, P(6) = 2/6 = 1/3
P({4,6}) = 2×(1/3)×(1/3) = 2/9
Полная вероятность выпадения {4,6}: (1/2)×(1/18) + (1/2)×(2/9) = 1/36 + 2/18 = 1/36 + 4/36 = 5/36
По формуле Байеса: P = [(2/9)×(1/2)] / (5/36) = (1/9) / (5/36) = (1/9)×(36/5) = 36/45 = 4/5
P(2-й кубик|{4,6}) = 0,8 80%
🃏 Задачи с картами
Вероятности в стандартной колоде из 52 карт
3.1
Какова вероятность вытащить туза из хорошо перемешанной колоды?
A
A
Стандартная колода содержит: 52 карты
Тузов в колоде: 4 (пиковый, червовый, бубновый, трефовый)
Всего исходов: 52
Благоприятных исходов: 4
P(туз) = 4/52 = 1/13 ≈ 0,0769 7,69%
3.2
Какова вероятность вытащить червовую карту?
В колоде 4 масти: червы, пики, бубны, трефы
В каждой масти: 13 карт (от 2 до туза)
Всего карт: 52
Червовых карт: 13
P(червы) = 13/52 = 1/4 = 0,25 25%
3.3
Какова вероятность вытащить картинку (валет, дама, король)?
Картинки (лицевые карты) в одной масти: валет, дама, король
Картинок в одной масти: 3
Всего мастей: 4
Всего картинок в колоде: 3 × 4 = 12
Всего карт в колоде: 52
P(картинка) = 12/52 = 3/13 ≈ 0,2308 23,08%
🏺 Задачи с урнами
Выбор шаров из урны
4.1
В урне 5 красных и 3 синих шара. Какова вероятность вытащить красный шар?
Всего шаров: 5 + 3 = 8
Красных шаров: 5
Все шары одинаковы по размеру и весу, выбор равновозможен
P(красный) = 5/8 = 0,625 62,5%
4.2
В урне 2 белых и 4 чёрных шара. Какова вероятность вытащить белый шар?
Всего шаров: 2 + 4 = 6
Белых шаров: 2
Вероятность вытащить один шар из урны:
P(белый) = 2/6 = 1/3 ≈ 0,333 33,33%
4.3
В ящике три красных и два синих фломастера. Фломастеры вытаскивают по очереди в случайном порядке. Какова вероятность того, что первый раз синий фломастер появится третьим по счёту?
Всего фломастеров: 3 красных (К) + 2 синих (С) = 5
Условие: первый синий появится третьим → первые два красные, третий синий
Порядок: К, К, С, потом любые
Вероятность 1-го красного: 3/5 (3 красных из 5)
Вероятность 2-го красного (после удаления одного красного): 2/4 = 1/2
Вероятность 3-го синего (осталось 2 синих из 3 фломастеров): 2/3
Общая вероятность: (3/5) × (1/2) × (2/3) = 6/30 = 1/5
P = 1/5 = 0,2 20%
4.4
В ящике два красных и три синих фломастера. Фломастеры вытаскивают по очереди в случайном порядке. Какова вероятность того, что первый раз синий фломастер появится третьим по счёту?
Всего фломастеров: 2 красных (К) + 3 синих (С) = 5
Условие: первый синий появится третьим → первые два красные, третий синий
Порядок: К, К, С, потом любые
Вероятность 1-го красного: 2/5 (2 красных из 5)
Вероятность 2-го красного (после удаления одного красного): 1/4
Вероятность 3-го синего (осталось 3 синих из 3 фломастеров): 3/3 = 1
Общая вероятность: (2/5) × (1/4) × 1 = 2/20 = 1/10
P = 1/10 = 0,1 10%
🎫 Задачи на лотереи и экзамены
Вероятности выигрыша в лотереях и сдачи экзаменов
5.1
В лотерее 100 билетов, из них 5 выигрышных. Какова вероятность выигрыша при покупке одного билета?
Всего билетов: 100
Выигрышных билетов: 5
Вероятность выигрыша для одного билета:
P(выигрыш) = 5/100 = 1/20 = 0,05 5%
5.2
Из 50 лотерейных билетов 10 выигрышных. Куплено 2 билета. Какова вероятность, что оба выигрышные?
Используем комбинаторику: число сочетаний из n по k: C(n,k) = n!/(k!(n-k)!)
Способы выбрать 2 билета из 50: C(50,2) = 50!/(2!×48!) = (50×49)/(2×1) = 1225
Способы выбрать 2 выигрышных из 10: C(10,2) = 10!/(2!×8!) = (10×9)/(2×1) = 45
Вероятность: отношение благоприятных исходов ко всем возможным
P(2 выигрышных) = C(10,2)/C(50,2) = 45/1225 = 9/245 ≈ 0,0367 3,67%
5.3
В сборнике билетов по химии всего 50 билетов, в 20 из них встречается вопрос по углеводородам. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по углеводородам.
Всего билетов: 50
Билетов с вопросом по углеводородам: 20
P(вопрос по углеводородам) = 20/50 = 2/5 = 0,4 40%
5.4
На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Тригонометрия», равна 0,1. Вероятность того, что это вопрос на тему «Внешние углы», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
События несовместны (нет пересечения), поэтому используем сложение вероятностей:
P(А ∪ B) = P(А) + P(B), где А - "тригонометрия", B - "внешние углы"
P(А) = 0,1, P(B) = 0,15
P(тригонометрия ИЛИ внешние углы) = 0,1 + 0,15 = 0,25 25%
5.5
На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,1. Вероятность того, что это вопрос на тему «Тригонометрия», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
События несовместны (нет пересечения), поэтому используем сложение вероятностей:
P(А ∪ B) = P(А) + P(B), где А - "вписанная окружность", B - "тригонометрия"
P(А) = 0,1, P(B) = 0,15
P(вписанная окружность ИЛИ тригонометрия) = 0,1 + 0,15 = 0,25 25%
5.6
Вероятность того, что на тесте по биологии учащийся У. верно решит больше 9 задач, равна 0,61. Вероятность того, что У. верно решит больше 8 задач, равна 0,73. Найдите вероятность того, что У. верно решит ровно 9 задач.
Пусть A = "верно решит больше 9 задач", B = "верно решит больше 8 задач"
P(A) = 0,61, P(B) = 0,73
Событие B можно представить как: "верно решит 9 задач" ИЛИ "верно решит больше 9 задач"
Эти события несовместны, поэтому: P(B) = P(ровно 9) + P(больше 9)
0,73 = P(ровно 9) + 0,61
P(ровно 9) = 0,73 - 0,61 = 0,12 12%
5.7
В сборнике билетов по физике всего 25 билетов, в 13 из них встречается вопрос по оптике. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по оптике.
Всего билетов: 25
Билетов с вопросом по оптике: 13
Билетов без вопроса по оптике: 25 - 13 = 12
P(без оптики) = 12/25 = 0,48 48%
5.8
Вероятность того, что на тесте по физике учащийся У. верно решит больше 11 задач, равна 0,66. Вероятность того, что У. верно решит больше 10 задач, равна 0,71. Найдите вероятность того, что У. верно решит ровно 11 задач.
Пусть A = "верно решит больше 11 задач", B = "верно решит больше 10 задач"
P(A) = 0,66, P(B) = 0,71
Событие B можно представить как: "верно решит 11 задач" ИЛИ "верно решит больше 11 задач"
Эти события несовместны, поэтому: P(B) = P(ровно 11) + P(больше 11)
0,71 = P(ровно 11) + 0,66
P(ровно 11) = 0,71 - 0,66 = 0,05 5%
↑