Квадратичные функции

История, теория и практическое применение

Историческая справка

XVI–XVII века: аналитическая геометрия и графическое представление

Серьёзный прорыв в понимании квадратичных функций произошёл в XVI–XVII веках благодаря появлению аналитической геометрии — науки, соединившей алгебру и геометрию.

Основоположники:

Рене Декарт (1596–1650)

Французский философ, математик и учёный

Создатель аналитической геометрии, автор труда «Геометрия» (1637), в котором ввёл координатный метод.

Пьер де Ферма (1607–1665)

Французский математик

Независимо от Декарта разработал основы аналитической геометрии и методы нахождения экстремумов функций.

До Декарта:

Уравнения и геометрические фигуры рассматривались отдельно. Квадратные уравнения решались алгебраически или с помощью геометрических построений (например, площадей). Понятие «график функции» отсутствовало.

После создания аналитической геометрии:

Любое уравнение с двумя переменными x и y можно было интерпретировать как геометрическое место точек на плоскости. Уравнение вида y = ax² + bx + c стало восприниматься как кривая линия — а именно, парабола.

Почему именно парабола?

Ещё в античности (Аполлоний Пергский, III в. до н.э.) парабола была известна как коническое сечение — кривая, получаемая при пересечении конуса плоскостью. Но только в XVII веке стало ясно, что график квадратичной функции — это та же самая парабола, только записанная в алгебраической форме.

Например: y = x² задаёт параболу с вершиной в начале координат.

Это открытие позволило визуализировать функции, что стало основой для развития математического анализа, физики и инженерии.

Значение для науки

Появилась возможность изучать свойства функций через их графики: максимумы, минимумы, симметрия, поведение.

Квадратичные функции стали использоваться для моделирования реальных процессов:

• движение тела, брошенного под углом,
• форма зеркал и антенн,
• оптимизация площадей и прибылей.

Теория: что такое квадратичная функция?

Определение

Квадратичная функция — это функция вида:

y = f(x) = ax² + bx + c

где a, b, c — действительные числа, коэффициенты.

a ≠ 0 (если a = 0, функция становится линейной).

Виды записи

В зависимости от коэффициентов и формы записи, выделяют несколько видов:

1. Стандартный вид: y = ax² + bx + c

Удобен для определения коэффициентов и свободного члена. Свободный член c — точка пересечения с осью OY (0; c).

2. Вид с выделенным квадратом (канонический вид): y = a(x — m)² + n

Позволяет сразу определить координаты вершины параболы: (m; n).

m = -b/(2a), n = f(m) = (4ac — b²)/(4a)

3. Факторизованный вид (разложение на множители через корни): y = a(x — x₁)(x — x₂)

Существует только если у функции есть действительные корни (нули) x₁ и x₂. Удобен для нахождения точек пересечения с осью OX.

Свойства и характеристики

График: Парабола.

Ветви параболы:

• Если a > 0 — ветви направлены вверх.
• Если a < 0 — ветви направлены вниз.

Вершина параболы: Точка (m; n), где m = -b/(2a), n = f(m).

• Если a > 0 — в вершине достигается минимум функции.
• Если a < 0 — в вершине достигается максимум функции.

Ось симметрии: Вертикальная прямая, проходящая через вершину: x = m = -b/(2a).

Нули функции (корни): Точки пересечения с осью OX. Находятся путем решения квадратного уравнения ax² + bx + c = 0.

D = b² — 4ac (Дискриминант):

• D > 0 — два различных действительных корня.
• D = 0 — один корень (вершина лежит на оси OX).
• D < 0 — действительных корней нет (парабола не пересекает ось OX).

Точка пересечения с осью OY: Всегда (0; c).

Промежутки монотонности:

• При a > 0: убывает на (-∞; m], возрастает на [m; +∞).
• При a < 0: возрастает на (-∞; m], убывает на [m; +∞).

Область значений (множество значений y):

• При a > 0: E(y) = [n; +∞)
• При a < 0: E(y) = (-∞; n]

Алгоритм построения графика квадратичной функции:

Определить направление ветвей. Посмотреть на коэффициент a.

• a > 0 — рисуем параболу рогами вверх.
• a < 0 — рисуем параболу рогами вниз.

Найти вершину параболы.

• Вычислить m = -b/(2a).
• Вычислить n = f(m) (подставить m в исходную функцию).
• Отметить точку (m; n) на координатной плоскости.

Провести ось симметрии. Через вершину провести вертикальную прямую x = m. Эта ось поможет находить симметричные точки.

Найти точки пересечения с осями.

• С осью OY: x = 0, y = c. Отмечаем точку (0; c).
• С осью OX: Решить уравнение ax² + bx + c = 0.
  • Если есть корни x₁ и x₂, отметить точки (x₁; 0) и (x₂; 0).
  • Если корень один (D=0), вершина лежит на оси OX.
  • Если корней нет, точек пересечения с OX нет.

Найти дополнительные точки. Выбрать несколько значений x слева и справа от оси симметрии (например, x = m ± 1, m ± 2), вычислить соответствующие значения y и отметить их. Благодаря симметрии, для каждого x можно найти симметричную точку.

Построить график. Плавной кривой соединить все полученные точки. Чем больше точек, тем точнее график.

Дополнительно

https://elena-konoxova.ucoz.ru/kopilka/kvadratichnaja_funkcija-prezentacija_3.pdf

---

Дана функция: y = x² - 4x + 3

1. Ветви: a = 1 > 0 — ветви направлены вверх.
2. Вершина:
   • m = -(-4)/(2*1) = 4/2 = 2
   • n = f(2) = 2² - 4*2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1
   • Вершина: (2; -1)
3. Ось симметрии: x = 2
4. Точки пересечения:
   • С OY: (0; c) = (0; 3)
   • С OX: Решим x² - 4x + 3 = 0
     • D = 16 - 12 = 4
     • x₁ = (4 + 2)/2 = 3, x₂ = (4 - 2)/2 = 1
     • Точки: (1; 0) и (3; 0)
5. Дополнительные точки: Возьмем x=4 (симметрично x=0 относительно оси x=2).
   • f(4) = 4² - 4*4 + 3 = 16 - 16 + 3 = 3. Точка (4; 3).
6. Строим график: Отмечаем точки (0,3), (1,0), (2,-1), (3,0), (4,3) и соединяем плавной кривой.

---

Функция: y = -2x² + 8x - 5

1. a = -2 < 0 → Ветви вниз («грустная»)
2. Вершина:
   • x₀ = -8/(2*(-2)) = -8/(-4) = 2
   • y₀ = -2*4 + 8*2 - 5 = -8 + 16 - 5 = 3
   • Вершина: (2; 3)
3. c = -5 → Пересекает ось Y в точке (0; -5)
4. Корни: Так как a < 0 и y₀ = 3 > 0 → 2 корня (парабола пересекает ось X)
5. Область значений: E(y) = (-∞; 3]
6. Монотонность:
   • Возрастает на: (-∞; 2]
   • Убывает на: [2; +∞)

---

Чек-лист для анализа

Свойство	Как определить	Пример: y = x² - 4x + 3
Направление ветвей	Знак a	a=1>0 → вверх
Вершина	x₀ = -b/(2a), затем y₀ = f(x₀)	x₀=2, y₀=-1 → (2;-1)
Пересечение с OY	(0; c)	(0; 3)
Количество корней	Знак D или анализ y₀ и a	D=4>0 → 2 корня
Область значений	[y₀; +∞) если a>0,  (-∞; y₀] если a<0	E(y) = [-1; +∞)
Возрастание/убывание	До x₀ и после x₀	Убывает на (-∞;2], возрастает на [2;+∞)

 Особые случаи

1. b = 0 → Вершина на оси Y: (0; c)
2. c = 0 → График проходит через начало координат
3. b = 0 и c = 0 → y = ax² (вершина в начале координат)

---

Типовые задания и методы решения

Анализ свойств функции по графику

Элемент графика	Что ищем	Формула/Прием	Для y = x² - 6x + 5
Направление ветвей	Знак a	a > 0 — вверх,  a < 0 — вниз	a=1>0 → Вверх
Вершина	Точка (x₀, y₀)	x₀ = -b/(2a), y₀ = f(x₀)	x₀=3, y₀=-4 → (3, -4)
Пересечение с OY	Точка (0, c)	Смотрим на свободный член c	c=5 → (0, 5)
Симметричная точка	От точки (0, c)	x = 2x₀ - 0 (удвоенная x₀)	2*3=6 → (6, 5)
Нули (корни)	Точки (x₁,0), (x₂,0)	Решаем ax²+bx+c=0	x₁=1, x₂=5 → (1,0), (5,0)

---

Определить знаки коэффициентов по графику

Алгоритм:

1. a — смотрим на направление ветвей.
2. c — смотрим на точку пересечения с осью Y (0, c).
3. b — определяем по оси симметрии x₀ = -b/(2a).
   • Если вершина левее оси Y (x₀ < 0), то -b/(2a) < 0.
     • При a > 0 это значит -b < 0 → b > 0
     • При a < 0 это значит -b > 0 → b < 0
   • Если вершина правее оси Y (x₀ > 0), рассуждения обратные.
4. D = b² - 4ac — смотрим на количество точек пересечения с осью X.

Пример: На графике парабола с ветвями вниз, пересекает ось Y в отрицательной точке, вершина левее нуля.

• Решение:
  • a < 0 (ветви вниз)
  • c < 0 (пересечение OY ниже нуля)
  • x₀ < 0. Так как a < 0, то из x₀ = -b/(2a) < 0 следует -b > 0 → b < 0
  • D > 0 (два корня, так как парабола пересекает ось X)
• Ответ: a < 0, b < 0, c < 0

---

Найти наибольшее/наименьшее значение функции

Алгоритм:

1. Определить a.
   • Если a > 0 — ищем минимум (наименьшее значение) в вершине.
   • Если a < 0 — ищем максимум (наибольшее значение) в вершине.
2. Найти y₀ = f(x₀).

Пример 1: Найти наименьшее значение функции y = x² - 6x + 10 на отрезке [0, 5].

Решение:

1. a > 0 → минимум в вершине.
2. Находим вершину: x₀ = -(-6)/2 = 3. y₀ = 3² - 6*3 + 10 = 1.
3. Проверяем, принадлежит ли x₀=3 отрезку [0,5]. Да.
4. Сравниваем значения функции на концах отрезка (если вершина внутри отрезка, это не обязательно, но полезно для проверки):
   • f(0) = 10
   • f(5) = 25 - 30 + 10 = 5
5. Наименьшее значение — 1 в точке x=3.

Ответ: 1.

Пример 2: Найдите наименьшее значение функции y = x² - 6x + 8.

Решение:

1. Определяем коэффициент a.
   • a = 1 > 0 → ветви вверх → значит, есть минимум в вершине.
2. Находим абсциссу вершины: x₀ = -b/(2a) = -(-6)/(2*1) = 3.
3. Находим ординату вершины (искомое значение): y₀ = 3² - 6*3 + 8 = 9 - 18 + 8 = -1.

Ответ: -1.

---

Определить промежутки возрастания/убывания

Алгоритм:

1. Найти x₀ (вершину).
2. Вспомнить:
   • При a > 0: убывает на (-∞; x₀], возрастает на [x₀; +∞).
   • При a < 0: возрастает на (-∞; x₀], убывает на [x₀; +∞).

Пример: Найти промежуток убывания функции y = -2x² + 8x - 5.

Решение:

1. a = -2 < 0 → функция возрастает до вершины и убывает после.
2. Находим вершину: x₀ = -8/(2*(-2)) = -8/(-4) = 2.
3. Функция убывает на промежутке [2; +∞).

Ответ: [2; +∞).

---

Найти область определения/значений

Пример: Найдите область значений функции y = -2x² + 4x - 7.

Решение:
Область значений квадратичной функции — это все возможные значения y.

1. Определяем коэффициент a: a = -2 < 0 → ветви вниз → функция имеет максимум в вершине.
2. Находим вершину:
   • x₀ = -4/(2*(-2)) = -4/(-4) = 1
   • y₀ = -2*(1)² + 4*1 - 7 = -2 + 4 - 7 = -5
3. Так как ветви направлены вниз, функция принимает все значения от -∞ до y₀.

Ответ: E(y) = (-∞; -5].

---

Решить неравенство графически

Неравенство вида ax² + bx + c > 0 или < 0.
Алгоритм:

1. Схематично изобразить параболу (достаточно знать направление ветвей и корни).
2. Определить, где функция принимает положительные (y > 0) или отрицательные (y < 0) значения.

Пример: Решить неравенство x² - 5x + 6 < 0.

Решение:

1. Найдем корни: x₁=2, x₂=3 (по теореме Виета).
2. Определяем направление ветвей: a = 1 > 0 → ветви вверх.
3. Схематично рисуем эскиз: парабола пересекает ось X в точках 2 и 3.
4. Неравенство < 0 означает: нас интересуют промежутки, где парабола ниже оси X.
5. Это происходит между корнями.

Ответ: x ∈ (2; 3).

---

Задача с параметром

Пример: При каких значениях параметра p уравнение x² + px + 9 = 0 имеет два различных корня?

Решение:
Квадратное уравнение имеет два различных корня тогда и только тогда, когда его дискриминант строго больше нуля.

1. Выписываем коэффициенты: a = 1, b = p, c = 9.
2. Записываем условие для дискриминанта: D = p² - 4*1*9 > 0.
3. Решаем неравенство: p² - 36 > 0 → (p - 6)(p + 6) > 0.
4. Решением этого неравенства является объединение промежутков, где оба множителя положительны или оба отрицательны.

Ответ: p ∈ (-∞; -6) ∪ (6; +∞).

---

Составить уравнение по точкам

Пример: Парабола проходит через точки A(1; 4), B(2; 3), C(0; 1). Запишите её уравнение.

Решение:

1. Общий вид: y = ax² + bx + c.
2. Подставляем координаты каждой точки в уравнение, получая систему:
   • 4 = a*1² + b*1 + c → a + b + c = 4
   • 3 = a*2² + b*2 + c → 4a + 2b + c = 3
   • 1 = a*0² + b*0 + c → c = 1
3. Решаем систему. Из третьего уравнения сразу c = 1. Подставляем в первые два:
   • a + b + 1 = 4 → a + b = 3
   • 4a + 2b + 1 = 3 → 4a + 2b = 2 → 2a + b = 1
4. Вычитаем из второго уравнения первое: (2a + b) - (a + b) = 1 - 3 → a = -2.
5. Подставляем a = -2 в a + b = 3 → -2 + b = 3 → b = 5.

Ответ: y = -2x² + 5x + 1.

---

Задача на оптимизацию

Пример:  Число 20 представьте в виде суммы двух слагаемых так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.

Решение:

1. Вводим переменные: Пусть первое слагаемое x, тогда второе 20 - x.
2. Составляем целевую функцию (сумму квадратов): S(x) = x² + (20 - x)² = 2x² - 40x + 400.
3. Это квадратичная функция. Находим её минимум через вершину:
   • x₀ = -(-40)/(2*2) = 40/4 = 10.
4. Второе слагаемое: 20 - 10 = 10.

Ответ: 10 и 10.

---

Задания для самостоятельной работы

Задание 1.
Найдите координаты вершины параболы:
а) y = x² - 6x + 5
б) y = -2x² + 4x + 1

Задание 2.
Найдите нули функции (если они существуют):
а) y = x² - 9
б) y = x² + 4x + 4
в) y = x² + x + 1

Задание 3.
Определите, пересекает ли парабола ось абсцисс:
а) y = 2x² - 5x + 3
б) y = x² + 3x + 5

Задание 4.
Постройте график функции:
y = x² - 4x + 3
Укажите:
а) промежутки возрастания и убывания;
б) область значений.

Задание 5.
Решите неравенство:
x² - 5x + 6 < 0

Задание 6.
При каких значениях m уравнение имеет два различных корня?
x² - mx + 9 = 0

Задание 7.
Найдите наибольшее значение функции на отрезке:
y = -x² + 4x + 3 на отрезке [0; 3].

Задание 8.
Парабола проходит через точки A(1; 2), B(0; 1), C(2; 7). Запишите её уравнение.

Задание 9.
Найдите область определения и область значений функции:
y = √(x² - 4x + 3)

Задание 10.
Решите систему уравнений:
{ x² + y² = 25, y = x² - 5

Задание 11.
При каких значениях параметра a уравнение имеет единственное решение?
ax² - 4x + 1 = 0

Задание 12.
При каких значениях k вершина параболы y = kx² - 2(k+1)x + 3 лежит на прямой y = 5?

Задание 13.
Найдите все значения параметра p, при которых неравенство выполняется для всех x:
x² + px + 1 > 0

Задание 14.
Найдите количество целочисленных решений неравенства:
x² - 5|x| + 6 ≤ 0

Задание 15.
Исследуйте функцию на чётность:
y = x² - 2|x| + 1

Ответы для самопроверки

Задание	Ответ
1а	(3; -4)
1б	(1; 3)
2а	x = ±3
2б	x = -2 (один корень)
2в	Нет корней (D < 0)
3а	Да (2 точки)
3б	Нет (D < 0)
4а	Убывает на (-∞; 2], возрастает на [2; +∞)
4б	E(y) = [-1; +∞)
5	x ∈ (2; 3)
6	m ∈ (-∞; -6) ∪ (6; +∞)
7	7 (в точке x=2)
8	y = 2x² - x + 1
9	D(y): x ∈ (-∞; 1] ∪ [3; +∞), E(y): y ≥ 0
10	Решения: (0; -5), (3; 4), (-3; 4)
11	a = 0 или a = 4
12	k = -2 ± 2√2
13	p ∈ (-2; 2)
14	6 решений: x = -3, -2, 2, 3 (и x=0 не подходит)
15	Функция чётная (f(-x) = f(x))

---

Источник: https://vpr-ege.ru/images/oge/22-2-oge-math100.pdf

---

Источник: http://web.uni-plovdiv.bg/marta/Parameters/kvadraten-trichlen-s-parametyr.pdf

Источник: https://yufmli.gosuslugi.ru/netcat_files/30/69/V.P._Chuvakov._Kvadratichnaya_funktsiya.pdf

Источник: ссылка

Источник: https://iro23.ru/wp-content/uploads/2025/01/презентация-задание-11-ОГЭ-Квадратичная-функция-Артемова-О.Л.pdf

Источник: https://files.1urok.ru/c/file1-da11203688ad18f70a8f9a098e9a19b5e95288fc.pdf?1698695475