Квадратные неравенства

От /

Что такое квадратичное и квадратное неравенство?

Квадратные неравенства — это неравенство, которое можно привести к одному из следующих видов:

  • ax² + bx + c > 0
  • ax² + bx + c ≥ 0
  • ax² + bx + c < 0
  • ax² + bx + c ≤ 0

где a, b, c — числа, причем a ≠ 0.

Квадратичное неравенство — это математическое выражение, в котором квадратичная функция (ax² + bx + c) сравнивается с константой или другим квадратичным выражением с использованием символа неравенства (>, <, ≥, ≤ или ≠).

Общий алгоритм решения

Шаг 1: Привести неравенство к стандартному виду. Перенести все слагаемые в одну сторону так, чтобы справа остался ноль.

Шаг 2: Найти дискриминант (D) и корни соответствующего квадратного уравнения ax² + bx + c = 0.

  • D = b² - 4ac
  • x₁,₂ = (-b ± √D) / (2a)

Шаг 3: Разложить квадратный трехчлен на множители (если это возможно и удобно).
ax² + bx + c = a(x - x₁)(x - x₂)

Шаг 4: Отметить корни на числовой прямой и определить знаки выражения на получившихся промежутках. Критически важный момент: знак коэффициента a:

  • Если a > 0, ветви параболы направлены вверх. Значит, на промежутках справа и слева от корней выражение будет положительным.
  • Если a < 0, ветви параболы направлены вниз. Значит, на промежутках справа и слева от корней выражение будет отрицательным.

Шаг 5: Выбрать ответ в зависимости от знака неравенства.

  • Для знаков > и ≥ выбираем промежутки со знаком +.
  • Для знаков < и ≤ выбираем промежутки со знаком -.
  • Если неравенство нестрогое (≥ или ≤), то корни включаются в ответ (квадратные скобки [ ], закрашенная точка на прямой).
  • Если неравенство строгое (> или <), то корни не включаются (круглые скобки ( ), выколотая точка на прямой).

Важные приемы и частные случаи

1. Неравенство вида (x - a)(x - b) > 0 (уже разложено на множители)

Решается методом интервалов. Корни a и b отмечаются на прямой, определяются знаки на промежутках.

Пример: (x - 5)(x + 3) < 0
Корни: x=5 и x=-3. Рисуем интервалы:
(-∞; -3) — знак (+)
(-3; 5) — знак (-)
(5; +∞) — знак (+)
Нам нужен -. Ответ: x ∈ (-3; 5)

2. Коэффициент a < 0

Лайфхак: чтобы избежать путаницы со знаками параболы, можно умножить обе части неравенства на -1, не забыв при этом развернуть знак неравенства.

Пример: -2x² + 5x - 2 ≤ 0

  1. Умножаем на -1: 2x² - 5x + 2 ≥ 0 (знак ≤ поменялся на ≥)
  2. Решаем новое неравенство: 2x² - 5x + 2 = 0
    • D = 25 - 16 = 9
    • x₁ = (5 - 3)/4 = 0.5, x₂ = (5 + 3)/4 = 2
  3. Парабола (a=2>0) ветвями вверх. Нам нужны ≥ 0, т.е. +.
  4. Ответ: x ∈ (-∞; 0.5] ∪ [2; +∞)

3. Неравенство, сводящееся к квадратному

Пример: (x² - 5x + 6) / (x - 4) ≥ 0
Здесь нужно решать дробно-рациональное неравенство методом интервалов, но числитель — квадратный трехчлен.

  1. Разложить числитель: x² - 5x + 6 = (x-2)(x-3)
  2. Найти корни числителя (2, 3) и знаменателя (4).
  3. Отметить все три точки на прямой (точка 4 будет выколота всегда, т.к. на ноль делить нельзя, а точки 2 и 3 будут закрашены, т.к. неравенство «≥ 0» и в них числитель равен нулю, что допускается).
  4. Расставить знаки и выбрать нужные промежутки (+). Ответ: x ∈ [2; 3] ∪ (4; +∞)

4. Метод «змейки»

Главное — правильно определить:

  1. Направление ветвей параболы (a > 0 или a < 0), которое определяет стартовый знак справа.
  2. Кратность корней (в квадратном уравнении корень всегда имеет кратность 1, кроме случая D=0, где кратность становится 2 (четная)).
  3. Строгость неравенства для решения, включать ли граничные точки (корни).

Пример 1: «Змейка» для случая с двумя корнями (D > 0)

Решить неравенство: x² - x - 6 > 0

Шаг 1: Находим корни.
x² - x - 6 = 0
D = b² - 4ac = 1 + 24 = 25
x₁ = (1 + 5) / 2 = 3
x₂ = (1 - 5) / 2 = -2

Шаг 2: Анализируем параболу.
Коэффициент a = 1 > 0 → ветви параболы направлены вверх.

Шаг 3: Применяем «змейку» (метод интервалов).

  1. Отмечаем корни на числовой прямой. Они разбивают ее на три интервала: (-∞, -2), (-2, 3), (3, +∞).
  2. Так как ветви направлены вверх, наша «змейка» будет начинаться сверху (со знака +) на самом правом интервале.
  3. Проводим линию через точки. При переходе через каждый корень (кратность 1, нечетная) знак меняется.

Вот как это выглядит:

      Знаки:   +       –       +
               ---○-------○---
      Числа:  -∞  2       3      +∞

Шаг 4: Выбираем ответ.
Нам нужно, чтобы выражение было > 0 (положительно). Смотрим на интервалы со знаком +.
Ответ: x ∈ (–∞; –2) ∪ (3; +∞)

Геометрическая интерпретация: Решение – это все x, при которых график параболы находится выше оси X.

Пример 2: Случай с одним корнем (D = 0)

Решить неравенство: -4x² + 4x - 1 ≥ 0

Шаг 1: Находим корни.
-4x² + 4x - 1 = 0 | * (-1)
4x² - 4x + 1 = 0
D = 16 - 16 = 0
x₀ = 4 / (2 * 4) = 0.5

Шаг 2: Анализируем параболу.
Коэффициент a = -4 < 0 → ветви параболы направлены вниз.

Шаг 3: Применяем «змейку».

  1. Корень один (x = 0.5). Он разбивает ось всего на два интервала, но это точка касания.
  2. Так как ветви направлены вниз, наша «змейка» будет начинаться снизу (со знака –) на правом интервале.
  3. Мы подходим к корню. Множитель (x - 0.5) стоит в квадрате (четная степень, т.к. D=0). Значит, знак НЕ меняется.

Вот как это выглядит:

      Знаки:   –           –
               -----●-------
      Числа:  -∞   0.5    +∞

Шаг 4: Выбираем ответ.
Нам нужно, чтобы выражение было ≥ 0 (неотрицательно). Мы видим, что на всех интервалах знак –. Но в самой точке x=0.5 значение функции равно 0, что удовлетворяет условию ≥.
Ответ: x = 0.5 (или x ∈ {0.5})

Геометрическая интерпретация: Парабола вся находится ниже оси X, лишь касаясь ее в точке x=0.5.

Пример 3: Случай без корней (D < 0)

Решить неравенство: x² + 2x + 3 < 0

Шаг 1: Находим корни.
x² + 2x + 3 = 0
D = 4 - 12 = -8 < 0 → действительных корней нет.

Шаг 2: Анализируем параболу.
Коэффициент a = 1 > 0 → ветви параболы направлены вверх.

Шаг 3: Рисуем «змейку».
Корней нет. Это значит, что парабола нигде не пересекает ось X. Так как ветви направлены вверх, она вся находится выше оси X. Знак выражения всюду положительный (+).

Шаг 4: Выбираем ответ.
Нам нужно, чтобы выражение было < 0 (отрицательно). Но оно всегда +. Значит, решений нет.
Ответ: ∅ (пустое множество) или «нет решений».

Геометрическая интерпретация: График параболы всегда выше оси X, поэтому значений x, при которых он ниже, не существует.

Задания для самостоятельной работы

Решите неравенства методом интервалов:

  1. (x - 5)(x + 3) > 0
  2. (x + 7)(x - 1) ≤ 0
  3. (2x - 6)(x + 4) ≥ 0
  4. x(x - 2) < 0
  5. (3 - x)(x + 5) > 0

Решите неравенства:

  1. (x - 4) / (x + 2) ≤ 0
  2. (x² - 9) / (x - 1) > 0 
  3. (x + 1)² (x - 3) ≥ 0
  4. (x - 5) / (x² - 4) < 0
  5. (x² - 5x + 6) / (x + 4) ≤ 0 

Решите неравенства:

  1. (x² + 4)(x - 2) / (x + 3) > 0 
  2. (x - 1)³ (x + 2)² / (x - 4) ≤ 0
  3. (x² - x + 1) / ((x - 3)(x + 5)) ≥ 0 
  4. (x + 1)(x - 2)² / (x - 5)³ > 0
  5. (x² + 2x + 3) / (x - 1) < 0 
Ответы для самопроверки

  1. x ∈ (–∞; –3) ∪ (5; +∞)
  2. x ∈ [–7; 1]
  3. x ∈ (–∞; –4] ∪ [3; +∞) (*Не забудьте: 2x — 6 = 2(x — 3)*)
  4. x ∈ (0; 2)
  5. x ∈ (–5; 3) (*Не забудьте: 3 — x = –(x — 3). Старший коэффициент отрицательный!*)
  6. x ∈ (–2; 4] (*Точка -2 выколота, точка 4 включена*)
  7. x ∈ (–3; 1) ∪ (3; +∞) (*Числитель: (x-3)(x+3). Точка 1 выколота*)
  8. x ∈ {–1} ∪ [3; +∞) (*Корень x = -1 — четная кратность, знак не меняется, но он является решением*)
  9. x ∈ (–∞; –2) ∪ (2; 5) (*Знаменатель: (x-2)(x+2). Точки -2 и 2 выколоты*)
  10. x ∈ (–∞; –4) ∪ [2; 3]
  11. x ∈ (–3; 2) (*Множитель (x²+4) > 0 всегда, на знак не влияет, его можно отбросить*)
  12. x ∈ (–∞; –2] ∪ [1; 4) (*Точка x=-2 входит (четная степень), точка x=4 выколота*)
  13. x ∈ (–∞; –5) ∪ (3; +∞) (Числитель > 0 всегда, значит, знак дроби определяется знаменателем)
  14. x ∈ (–1; 2) ∪ (2; 5) (*Точка x=2 — четная степень в числителе, не меняет знак, но обращает числитель в ноль. Подставьте x=2 — получится 0, что не удовлетворяет строгому неравенству >0. Поэтому x=2 не входит в ответ.*)
  15. x ∈ (–∞; 1) (*Числитель > 0 всегда, значит, дробь отрицательна, когда знаменатель отрицателен (x < 1). Точка x=1 выколота.*)

Дополнительно

https://mathus.ru/math/z-metod-intervalov.pdf

 https://mathus.ru/math/metod-intervalov.pdf

Прокрутить вверх