Интерактивный тренажёр для подготовки к ЕГЭ (профильный уровень) и олимпиадам, содержащий 6 задач высокого уровня сложности.
Предлагаем
- 📚 Теоретические карточки — особенности решения, алгоритм, 6 тригонометрических формул, 6 формул логарифмов
- 🧮 6 уравнений с логарифмами и тригонометрическими функциями
- 📖 Пошаговые решения — разбор каждого уравнения с номерами шагов
- ✅ Ответы — общее решение и отбор корней на заданном отрезке
- 🎯 Переключение между задачами через вкладки
Типы уравнений:
- Квадратное относительно логарифма (замена переменной)
- Логарифм тригонометрического выражения (по определению)
- Переменное основание и формула перехода
- Формулы приведения и двойной угол
- Дробь, равная нулю (ОДЗ в знаменателе)
- Произведение в числителе и сложные условия ОДЗ
📘 Особенности решения
🚀 Алгоритм решения
📐 Тригонометрические формулы
Основное тождество
\[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \]
Тангенс
\[ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \]
Синус двойного угла
\[ \sin 2x = 2 \sin x \cos x \]
Косинус двойного угла
\[ \cos 2x = \cos^2 x — \sin^2 x \]
Формула приведения
\[ \cos\left(\frac{\pi}{2} — x\right) = \sin x \]
Формула приведения
\[ \sin\left(\frac{\pi}{2} — x\right) = \cos x \]
📊 Формулы логарифмов
Логарифм произведения
\[ \log_a(bc) = \log_a b + \log_a c \]
Логарифм частного
\[ \log_a(b/c) = \log_a b — \log_a c \]
Логарифм степени
\[ \log_a b^n = n \log_a b \]
Переход к другому основанию
\[ \log_a b = \frac{1}{\log_b a} \]
Натуральный логарифм
\[ \log_a b = \frac{\ln b}{\ln a} \]
Основное свойство
\[ a^{\log_a b} = b \]
#1
#2
#3
#4
#5
#6
1
Логарифмическое уравнение с заменой
Квадратное уравнение относительно логарифма
\[ 2 \log_3^2 (2 \cos x) — 5 \log_3 (2 \cos x) + 2 = 0 \]
1
ОДЗ: \( 2 \cos x > 0 \) ⇒ \( \cos x > 0 \)
2
Замена: \( t = \log_3 (2 \cos x) \) ⇒ \( 2t^2 — 5t + 2 = 0 \)
3
Корни: \( t_1 = 2 \), \( t_2 = \frac{1}{2} \)
4
t = 2: \( 2 \cos x = 9 \) ⇒ нет решений (\( |\cos x| \leq 1 \))
5
t = 1/2: \( 2 \cos x = \sqrt{3} \) ⇒ \( \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
6
Решение: \( x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \)
7
Отбор корней на \( [\pi; \frac{5\pi}{2}] \):
Из ОДЗ: \( \cos x > 0 \) ⇒ выбираем только правую полуокружность
Общие корни: \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \) и \( x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n \)
На отрезке: \( x_1 = \frac{11\pi}{6}, x_2 = \frac{13\pi}{6} \)
Из ОДЗ: \( \cos x > 0 \) ⇒ выбираем только правую полуокружность
Общие корни: \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \) и \( x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n \)
На отрезке: \( x_1 = \frac{11\pi}{6}, x_2 = \frac{13\pi}{6} \)
✅ Ответ:
а) \( x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \)
б) \( x_1 = \frac{11\pi}{6}, x_2 = \frac{13\pi}{6} \)
б) \( x_1 = \frac{11\pi}{6}, x_2 = \frac{13\pi}{6} \)
2
Логарифм тригонометрического выражения
Уравнение с преобразованием по определению логарифма
\[ \log_2(\cos x + \sin 2x + 8) = 3 \]
1
По определению: \( \cos x + \sin 2x + 8 = 2^3 = 8 \)
2
Упрощение: \( \cos x + \sin 2x = 0 \)
3
Формула: \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \)
4
Разложение: \( \cos x (1 + 2 \sin x) = 0 \)
5
Случай 1: \( \cos x = 0 \) ⇒ \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \)
6
Случай 2: \( \sin x = -\frac{1}{2} \) ⇒ \( x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k \)
7
На отрезке \( [\frac{3\pi}{2}; 3\pi] \):
• Из первой серии: \( x = \frac{5\pi}{2} \)
• Из второй серии: \( x = \frac{11\pi}{6} \)
Итого: \( x_1 = \frac{11\pi}{6}, x_2 = \frac{5\pi}{2} \)
• Из первой серии: \( x = \frac{5\pi}{2} \)
• Из второй серии: \( x = \frac{11\pi}{6} \)
Итого: \( x_1 = \frac{11\pi}{6}, x_2 = \frac{5\pi}{2} \)
✅ Ответ:
а) \( x_1 = \frac{\pi}{2} + \pi n \), \( x_2 = -\frac{\pi}{6} + 2\pi m \), \( x_3 = \frac{7\pi}{6} + 2\pi m \)
б) \( x_1 = \frac{11\pi}{6}, x_2 = \frac{5\pi}{2} \)
б) \( x_1 = \frac{11\pi}{6}, x_2 = \frac{5\pi}{2} \)
3
Сложное логарифмическое уравнение
Уравнение с переменным основанием и формулой перехода
\[ \log_{3-4\cos^2 x} (9 — 16\cos^4 x) = 2 + \frac{1}{\log_2(3-4\cos^2 x)} \]
1
ОДЗ:
• \( 3-4\cos^2 x > 0 \), \( 3-4\cos^2 x \neq 1 \)
• \( 9-16\cos^4 x > 0 \)
• \( \log_2(3-4\cos^2 x) \neq 0 \)
• \( 3-4\cos^2 x > 0 \), \( 3-4\cos^2 x \neq 1 \)
• \( 9-16\cos^4 x > 0 \)
• \( \log_2(3-4\cos^2 x) \neq 0 \)
2
Разложим аргумент логарифма:
\( 9 — 16\cos^4 x = 3^2 — (4\cos^2 x)^2 = (3 — 4\cos^2 x)(3 + 4\cos^2 x) \)
\( 9 — 16\cos^4 x = 3^2 — (4\cos^2 x)^2 = (3 — 4\cos^2 x)(3 + 4\cos^2 x) \)
3
Преобразуем правую часть:
\( 2 = \log_{3-4\cos^2 x} (3-4\cos^2 x)^2 \)
\( \frac{1}{\log_2(3-4\cos^2 x)} = \log_{3-4\cos^2 x} 2 \)
Итого: \( \log_{3-4\cos^2 x} [2(3-4\cos^2 x)^2] \)
\( 2 = \log_{3-4\cos^2 x} (3-4\cos^2 x)^2 \)
\( \frac{1}{\log_2(3-4\cos^2 x)} = \log_{3-4\cos^2 x} 2 \)
Итого: \( \log_{3-4\cos^2 x} [2(3-4\cos^2 x)^2] \)
4
Исходное уравнение:
\( \log_{3-4\cos^2 x} [(3-4\cos^2 x)(3+4\cos^2 x)] = \log_{3-4\cos^2 x} [2(3-4\cos^2 x)^2] \)
\( \log_{3-4\cos^2 x} [(3-4\cos^2 x)(3+4\cos^2 x)] = \log_{3-4\cos^2 x} [2(3-4\cos^2 x)^2] \)
5
Потенцируем:
\( (3-4\cos^2 x)(3+4\cos^2 x) = 2(3-4\cos^2 x)^2 \)
\( (3-4\cos^2 x)[(3+4\cos^2 x) — 2(3-4\cos^2 x)] = 0 \)
\( (3-4\cos^2 x)(3+4\cos^2 x) = 2(3-4\cos^2 x)^2 \)
\( (3-4\cos^2 x)[(3+4\cos^2 x) — 2(3-4\cos^2 x)] = 0 \)
6
Упрощаем:
\( (3-4\cos^2 x)[3+4\cos^2 x — 6 + 8\cos^2 x] = 0 \)
\( (3-4\cos^2 x)(12\cos^2 x — 3) = 0 \)
\( 3(3-4\cos^2 x)(4\cos^2 x — 1) = 0 \)
\( (3-4\cos^2 x)[3+4\cos^2 x — 6 + 8\cos^2 x] = 0 \)
\( (3-4\cos^2 x)(12\cos^2 x — 3) = 0 \)
\( 3(3-4\cos^2 x)(4\cos^2 x — 1) = 0 \)
7
Решаем:
• \( 3-4\cos^2 x = 0 \) — не подходит по ОДЗ
• \( 4\cos^2 x — 1 = 0 \) ⇒ \( \cos^2 x = \frac{1}{4} \) ⇒ \( \cos x = \pm \frac{1}{2} \)
• \( 3-4\cos^2 x = 0 \) — не подходит по ОДЗ
• \( 4\cos^2 x — 1 = 0 \) ⇒ \( \cos^2 x = \frac{1}{4} \) ⇒ \( \cos x = \pm \frac{1}{2} \)
8
Решение:
\( x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \)
\( x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \)
9
Проверка ОДЗ: при \( \cos^2 x = \frac{1}{4} \) — все условия выполняются ✓
10
На отрезке \( [-\frac{\pi}{3}; \frac{2\pi}{3}] \):
• \( x = -\frac{\pi}{3} \)
• \( x = \frac{\pi}{3} \)
• \( x = \frac{2\pi}{3} \)
Итого: \( x_1 = -\frac{\pi}{3}, x_2 = \frac{\pi}{3}, x_3 = \frac{2\pi}{3} \)
• \( x = -\frac{\pi}{3} \)
• \( x = \frac{\pi}{3} \)
• \( x = \frac{2\pi}{3} \)
Итого: \( x_1 = -\frac{\pi}{3}, x_2 = \frac{\pi}{3}, x_3 = \frac{2\pi}{3} \)
✅ Ответ:
а) \( x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \)
б) \( x_1 = -\frac{\pi}{3}, x_2 = \frac{\pi}{3}, x_3 = \frac{2\pi}{3} \)
б) \( x_1 = -\frac{\pi}{3}, x_2 = \frac{\pi}{3}, x_3 = \frac{2\pi}{3} \)
4
Уравнение с формулами приведения
Использование формул приведения и синуса двойного угла
\[ \log_3 \left( \sqrt{2} \cos\left(\frac{\pi}{2} — x\right) + \sin 2x + 81 \right) = 4 \]
1
Формула приведения: \( \cos(\frac{\pi}{2} — x) = \sin x \)
2
По определению: \( \sqrt{2} \sin x + \sin 2x + 81 = 3^4 = 81 \)
3
Упрощение: \( \sqrt{2} \sin x + \sin 2x = 0 \)
4
Формула: \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \)
5
Разложение: \( \sin x (\sqrt{2} + 2 \cos x) = 0 \)
6
Случай 1: \( \sin x = 0 \) ⇒ \( x = \pi n \)
7
Случай 2: \( \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \) ⇒ \( x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \)
8
На отрезке \( [\pi; \frac{5\pi}{2}] \):
• Из первой серии: \( x = \pi, 2\pi, \frac{5\pi}{2} \)
• Из второй серии: \( x = \frac{5\pi}{4} \)
Итого: \( x_1 = \pi, x_2 = \frac{5\pi}{4}, x_3 = 2\pi, x_4 = \frac{5\pi}{2} \)
• Из первой серии: \( x = \pi, 2\pi, \frac{5\pi}{2} \)
• Из второй серии: \( x = \frac{5\pi}{4} \)
Итого: \( x_1 = \pi, x_2 = \frac{5\pi}{4}, x_3 = 2\pi, x_4 = \frac{5\pi}{2} \)
✅ Ответ:
а) \( x_1 = \pi n \), \( x_2 = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \), \( x_3 = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k \)
б) \( x_1 = \pi, x_2 = \frac{5\pi}{4}, x_3 = 2\pi, x_4 = \frac{5\pi}{2} \)
б) \( x_1 = \pi, x_2 = \frac{5\pi}{4}, x_3 = 2\pi, x_4 = \frac{5\pi}{2} \)
5
Уравнение с дробью и логарифмами
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю
\[ \frac{\log_2^2(\sin x) + \log_2(\sin x)}{2 \cos x + \sqrt{3}} = 0 \]
1
ОДЗ: \( \sin x >0 \), \( \cos x \neq -\frac{\sqrt{3}}{2} \)
2
Числитель: \( \log_2(\sin x) \cdot (\log_2(\sin x) + 1) = 0 \)
3
Случай 1: \( \log_2(\sin x) = 0 \) ⇒ \( \sin x = 1 \) ⇒ \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \)
4
Случай 2: \( \log_2(\sin x) = -1 \) ⇒ \( \sin x = \frac{1}{2} \) ⇒ \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \) или \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \)
5
Проверка ОДЗ: \( x = \frac{5\pi}{6} \) не подходит (\( \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \))
6
Общее решение: \( x_1 = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \), \( x_2 = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \)
7
На отрезке \( [0; \frac{3\pi}{2}] \):
• \( x = \frac{\pi}{6} \)
• \( x = \frac{\pi}{2} \)
Итого: \( x_1 = \frac{\pi}{6}, x_2 = \frac{\pi}{2} \)
• \( x = \frac{\pi}{6} \)
• \( x = \frac{\pi}{2} \)
Итого: \( x_1 = \frac{\pi}{6}, x_2 = \frac{\pi}{2} \)
✅ Ответ:
а) \( x_1 = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \), \( x_2 = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \), где \( n, k \in \mathbb{Z} \)
б) \( x_1 = \frac{\pi}{6}, x_2 = \frac{\pi}{2} \)
б) \( x_1 = \frac{\pi}{6}, x_2 = \frac{\pi}{2} \)
6
Уравнение с логарифмами и тангенсом
Произведение в числителе и дополнительные условия ОДЗ
\[ \frac{(\tan x + \sqrt{3}) \log_{13}(2 \sin^2 x)}{\log_{31}(\sqrt{2} \cos x)} = 0 \]
1
ОДЗ: \( \sin x \neq 0 \), \( \cos x > 0 \), \( \cos x \neq \frac{\sqrt{2}}{2} \)
2
Числитель: \( (\tan x + \sqrt{3}) \cdot \log_{13}(2 \sin^2 x) = 0 \)
3
Случай 1: \( \tan x = -\sqrt{3} \) ⇒ \( x = -\frac{\pi}{3} + \pi n \)
4
С ОДЗ: \( \cos x > 0 \) ⇒ \( n = 2k \) ⇒ \( x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k \)
5
Случай 2: \( \log_{13}(2 \sin^2 x) = 0 \) ⇒ \( \sin^2 x = \frac{1}{2} \) ⇒ нет решений (нарушает ОДЗ)
6
Общее решение: \( x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k \)
7
На отрезке \( [\frac{3\pi}{2}; \frac{5\pi}{2}] \):
\( x = \frac{5\pi}{3} \) (при k=1)
Проверяем ОДЗ: все условия выполняются ✓
\( x = \frac{5\pi}{3} \) (при k=1)
Проверяем ОДЗ: все условия выполняются ✓
✅ Ответ:
а) \( x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \)
б) \( x = \frac{5\pi}{3} \)
б) \( x = \frac{5\pi}{3} \)