самый распространённый метод решения уравнений
Суть метода — введение новой переменной \( y = f(x) \), которая упрощает выражение. Частный случай — тригонометрическая подстановка.
🔍 Основная трудность: угадать вид подстановки и тип уравнений, где её применить. Здесь собраны классические примеры, эффективно решаемые этим методом.
📌 Все уравнения решены методом функциональной подстановки. Для каждого шага приведены преобразования.
1 Иррациональное уравнение
\[ \sqrt{x^2 — x + 2} + \sqrt{x^2 — x + 7} = \sqrt{2x^2 — 2x + 21} \]
✅ Подстановка: \( y = x^2 — x + 2 \)
Тогда \( x^2 — x + 7 = y + 5 \), а \( 2x^2 — 2x + 21 = 2(x^2 — x) + 21 = 2(y-2) + 21 = 2y + 17 \).
Получаем: \( \sqrt{y} + \sqrt{y+5} = \sqrt{2y+17},\; y \ge 0 \). Возводим в квадрат:
\( y + 2\sqrt{y(y+5)} + y+5 = 2y+17 \) → \( 2\sqrt{y^2+5y} = 12 \) → \( \sqrt{y^2+5y} = 6 \).
Отсюда \( y^2+5y-36=0 \) → \( y_1 = -9 \) (не подходит \( y\ge0\)), \( y_2 = 4 \).
Получаем: \( \sqrt{y} + \sqrt{y+5} = \sqrt{2y+17},\; y \ge 0 \). Возводим в квадрат:
\( y + 2\sqrt{y(y+5)} + y+5 = 2y+17 \) → \( 2\sqrt{y^2+5y} = 12 \) → \( \sqrt{y^2+5y} = 6 \).
Отсюда \( y^2+5y-36=0 \) → \( y_1 = -9 \) (не подходит \( y\ge0\)), \( y_2 = 4 \).
Возвращаемся: \( x^2 — x + 2 = 4 \) → \( x^2 — x — 2 = 0 \) → \( x_1 = -1,\; x_2 = 2 \).
📌 Ответ: \( x_1 = -1,\; x_2 = 2 \)
2 Уравнение с вложенными радикалами
\[ \sqrt{x — 2 + \sqrt{2x — 5}} + \sqrt{x + 2 + 3\sqrt{2x — 5}} = 7\sqrt{2} \]
✅ Подстановка: \( y = \sqrt{2x-5} \ge 0 \) → \( x = \frac{y^2+5}{2} \)
Вычислим подкоренные выражения:
\( x — 2 + \sqrt{2x-5} = \frac{y^2+5}{2} — 2 + y = \frac{y^2+1 + 2y}{2} = \frac{(y+1)^2}{2} \)
\( x + 2 + 3\sqrt{2x-5} = \frac{y^2+5}{2} + 2 + 3y = \frac{y^2 + 9 + 6y}{2} = \frac{(y+3)^2}{2} \)
Тогда уравнение: \( \sqrt{\frac{(y+1)^2}{2}} + \sqrt{\frac{(y+3)^2}{2}} = 7\sqrt{2} \) → \( \frac{|y+1|}{\sqrt{2}} + \frac{|y+3|}{\sqrt{2}} = 7\sqrt{2} \) → \( |y+1| + |y+3| = 14 \).
При \( y\ge0 \): \( y+1 + y+3 = 14 \) → \( 2y = 10 \) → \( y=5 \).
\( x — 2 + \sqrt{2x-5} = \frac{y^2+5}{2} — 2 + y = \frac{y^2+1 + 2y}{2} = \frac{(y+1)^2}{2} \)
\( x + 2 + 3\sqrt{2x-5} = \frac{y^2+5}{2} + 2 + 3y = \frac{y^2 + 9 + 6y}{2} = \frac{(y+3)^2}{2} \)
Тогда уравнение: \( \sqrt{\frac{(y+1)^2}{2}} + \sqrt{\frac{(y+3)^2}{2}} = 7\sqrt{2} \) → \( \frac{|y+1|}{\sqrt{2}} + \frac{|y+3|}{\sqrt{2}} = 7\sqrt{2} \) → \( |y+1| + |y+3| = 14 \).
При \( y\ge0 \): \( y+1 + y+3 = 14 \) → \( 2y = 10 \) → \( y=5 \).
Обратно: \( \sqrt{2x-5} = 5 \) → \( 2x-5 = 25 \) → \( x = 15 \).
📌 Ответ: \( x = 15 \)
3 Уравнение с корнями четвёртой степени
\[ \sqrt[4]{x(x+5)^2} + 6\sqrt[4]{x^3} = 5\sqrt[4]{x^2(x+5)} \]
✅ Заметим \( x \ge 0 \); \( x = 0 \) является корнем
Проверка: при \( x = 0 \) получаем \( 0 + 0 = 0 \) — верно. \( x_1 = 0 \).
✅ При \( x \neq 0 \) делим обе части на \( \sqrt[4]{x^3} \)
\( \frac{\sqrt[4]{x(x+5)^2}}{\sqrt[4]{x^3}} = \sqrt[4]{\frac{x(x+5)^2}{x^3}} = \sqrt[4]{\frac{(x+5)^2}{x^2}} = \sqrt{\frac{x+5}{x}} \)
\( \frac{6\sqrt[4]{x^3}}{\sqrt[4]{x^3}} = 6 \)
\( \frac{5\sqrt[4]{x^2(x+5)}}{\sqrt[4]{x^3}} = 5\sqrt[4]{\frac{x^2(x+5)}{x^3}} = 5\sqrt[4]{\frac{x+5}{x}} \)
Получаем: \( \sqrt{\frac{x+5}{x}} + 6 = 5\sqrt[4]{\frac{x+5}{x}} \)
\( \frac{6\sqrt[4]{x^3}}{\sqrt[4]{x^3}} = 6 \)
\( \frac{5\sqrt[4]{x^2(x+5)}}{\sqrt[4]{x^3}} = 5\sqrt[4]{\frac{x^2(x+5)}{x^3}} = 5\sqrt[4]{\frac{x+5}{x}} \)
Получаем: \( \sqrt{\frac{x+5}{x}} + 6 = 5\sqrt[4]{\frac{x+5}{x}} \)
✅ Подстановка \( y = \sqrt[4]{\frac{x+5}{x}} \) (\( y > 0 \))
Тогда \( \sqrt{\frac{x+5}{x}} = y^2 \). Уравнение принимает вид:
\( y^2 + 6 = 5y \) → \( y^2 — 5y + 6 = 0 \) → \( y_1 = 2,\; y_2 = 3 \).
\( y^2 + 6 = 5y \) → \( y^2 — 5y + 6 = 0 \) → \( y_1 = 2,\; y_2 = 3 \).
Возвращаемся к \( x \):
\( \sqrt[4]{\frac{x+5}{x}} = 2 \) → \( \frac{x+5}{x} = 16 \) → \( x+5 = 16x \) → \( 15x = 5 \) → \( x = \frac{1}{3} \)
\( \sqrt[4]{\frac{x+5}{x}} = 3 \) → \( \frac{x+5}{x} = 81 \) → \( x+5 = 81x \) → \( 80x = 5 \) → \( x = \frac{1}{16} \)
\( \sqrt[4]{\frac{x+5}{x}} = 2 \) → \( \frac{x+5}{x} = 16 \) → \( x+5 = 16x \) → \( 15x = 5 \) → \( x = \frac{1}{3} \)
\( \sqrt[4]{\frac{x+5}{x}} = 3 \) → \( \frac{x+5}{x} = 81 \) → \( x+5 = 81x \) → \( 80x = 5 \) → \( x = \frac{1}{16} \)
📌 Ответ: \( x_1 = 0,\; x_2 = \frac{1}{3},\; x_3 = \frac{1}{16} \)
4 Уравнение с радикалами и дробью
\[ \sqrt{12 — \frac{12}{x^2}} — x^2 + \sqrt{x^2 — \frac{12}{x^2}} = 0 \]
✅ Подстановка \( y = x^2 \ge 2\sqrt{3} \)
Тогда \( \sqrt{12 — \frac{12}{y}} = y — \sqrt{y — \frac{12}{y}} \). Обе части неотрицательны. Возводим в квадрат:
\( 12 — \frac{12}{y} = y^2 — 2y\sqrt{y — \frac{12}{y}} + y — \frac{12}{y} \).
Сокращаем \( -\frac{12}{y} \) слева и справа, получаем \( 12 = y^2 + y — 2y\sqrt{y — \frac{12}{y}} \) → переносим: \( y^2 + y -12 = 2y\sqrt{y — \frac{12}{y}} \). Делим на \( y \): \( y + 1 — \frac{12}{y} = 2\sqrt{y — \frac{12}{y}} \).
\( 12 — \frac{12}{y} = y^2 — 2y\sqrt{y — \frac{12}{y}} + y — \frac{12}{y} \).
Сокращаем \( -\frac{12}{y} \) слева и справа, получаем \( 12 = y^2 + y — 2y\sqrt{y — \frac{12}{y}} \) → переносим: \( y^2 + y -12 = 2y\sqrt{y — \frac{12}{y}} \). Делим на \( y \): \( y + 1 — \frac{12}{y} = 2\sqrt{y — \frac{12}{y}} \).
Вводим \( z = \sqrt{y — \frac{12}{y}} \), тогда \( y — \frac{12}{y} = z^2 \), и левая часть \( y + 1 — \frac{12}{y} = z^2 + 1 \). Уравнение: \( z^2 + 1 = 2z \) → \( (z-1)^2=0 \) → \( z=1 \).
Тогда \( \sqrt{y — \frac{12}{y}} = 1 \) → \( y — \frac{12}{y} = 1 \) → \( y^2 — y -12=0 \) → \( y=4 \) или \( y=-3 \) (не подходит). \( x^2 = 4 \) → \( x = \pm 2 \).
Тогда \( \sqrt{y — \frac{12}{y}} = 1 \) → \( y — \frac{12}{y} = 1 \) → \( y^2 — y -12=0 \) → \( y=4 \) или \( y=-3 \) (не подходит). \( x^2 = 4 \) → \( x = \pm 2 \).
📌 Ответ: \( x_1 = -2,\; x_2 = 2 \)
5 Дробно-рациональное уравнение
\[ \left(\frac{x}{x-2}\right)^2 + \left(\frac{x}{x+2}\right)^2 = 2 \]
✅ Используем \( a^2+b^2 = (a+b)^2 — 2ab \)
\( a = \frac{x}{x-2},\; b = \frac{x}{x+2} \). Тогда \( a+b = \frac{2x^2}{x^2-4} \), \( ab = \frac{x^2}{x^2-4} \).
Уравнение: \( \left(\frac{2x^2}{x^2-4}\right)^2 — 2\cdot\frac{x^2}{x^2-4} = 2 \). Обозначим \( y = \frac{2x^2}{x^2-4} \). Тогда \( \frac{x^2}{x^2-4} = \frac{y}{2} \). Подставим: \( y^2 — 2\cdot\frac{y}{2} = 2 \) → \( y^2 — y — 2 = 0 \) → \( y = -1 \) или \( y = 2 \).
Уравнение: \( \left(\frac{2x^2}{x^2-4}\right)^2 — 2\cdot\frac{x^2}{x^2-4} = 2 \). Обозначим \( y = \frac{2x^2}{x^2-4} \). Тогда \( \frac{x^2}{x^2-4} = \frac{y}{2} \). Подставим: \( y^2 — 2\cdot\frac{y}{2} = 2 \) → \( y^2 — y — 2 = 0 \) → \( y = -1 \) или \( y = 2 \).
\( \frac{2x^2}{x^2-4} = -1 \) → \( 2x^2 = -x^2+4 \) → \( 3x^2 = 4 \) → \( x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} = \pm \frac{2\sqrt{3}}{3} \).
\( \frac{2x^2}{x^2-4} = 2 \) → \( 2x^2 = 2x^2 — 8 \) → \( 0 = -8 \) корней нет.
\( \frac{2x^2}{x^2-4} = 2 \) → \( 2x^2 = 2x^2 — 8 \) → \( 0 = -8 \) корней нет.
📌 Ответ: \( x_{1,2} = \pm \frac{2\sqrt{3}}{3} \)
6 Возвратное уравнение четвёртой степени
\[ x^4 — 8x^3 + 17x^2 — 8x + 1 = 0 \]
✅ Симметричное уравнение (коэффициенты: 1, -8, 17, -8, 1). Делим на \( x^2 \) (\( x \neq 0 \))
\( x^2 — 8x + 17 — \frac{8}{x} + \frac{1}{x^2} = 0 \) → группируем: \( \left(x^2+\frac{1}{x^2}\right) — 8\left(x+\frac{1}{x}\right) + 17 = 0 \).
Пусть \( t = x + \frac{1}{x} \), тогда \( x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 — 2 \). Подставляем: \( t^2 — 2 — 8t + 17 = 0 \) → \( t^2 -8t +15 = 0 \) → \( t = 3 \) или \( t = 5 \).
Пусть \( t = x + \frac{1}{x} \), тогда \( x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 — 2 \). Подставляем: \( t^2 — 2 — 8t + 17 = 0 \) → \( t^2 -8t +15 = 0 \) → \( t = 3 \) или \( t = 5 \).
\( x + \frac{1}{x} = 3 \) → \( x^2 — 3x + 1 = 0 \) → \( x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2} \).
\( x + \frac{1}{x} = 5 \) → \( x^2 — 5x + 1 = 0 \) → \( x = \frac{5 \pm \sqrt{21}}{2} \).
\( x + \frac{1}{x} = 5 \) → \( x^2 — 5x + 1 = 0 \) → \( x = \frac{5 \pm \sqrt{21}}{2} \).
📌 Ответ: \( \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2},\; \frac{5 \pm \sqrt{21}}{2} \)