Метод группировки (расщепления)

От /
Метод группировки — компактное руководство
Суть Алгоритм Случаи Примеры Практикум

🔍 Суть метода группировки

✂️ SPLITTING THE MIDDLE TERM

Метод группировки — разложение квадратного трёхчлена без дискриминанта.

ax² + bx + c = ax² + mx + nx + c, где m + n = b и m·n = a·c

После расщепления — группировка и вынесение общего множителя.

⚡ Пошаговый алгоритм

ШАГ 1

Вычислить произведение a·c

ШАГ 2

Найти m,n: m+n=b, m·n=a·c

ШАГ 3

Переписать: ax²+mx+nx+c

ШАГ 4

Сгруппировать: (ax²+mx)+(nx+c)

ШАГ 5

Вынести общее из каждой скобки

ШАГ 6

Вынести общую скобку

⚠️ Числа m и n могут быть отрицательными! Учитывайте знаки.

📌 Различные случаи

✅ Случай 1: все коэффициенты положительные

Пример: 2x² + 7x + 3

Объяснение: Ищем m,n с суммой 7 и произведением 6. Подходят 6 и 1. Расщепляем и группируем.

🔽 Показать решение
2x² + 6x + x + 3 = 2x(x+3) + 1(x+3) = (x+3)(2x+1)

✅ Случай 2: a>0, b<0, c>0

Пример: 3x² – 10x + 8

Объяснение: Произведение 24, сумма -10. Оба числа отрицательные: -6 и -4.

🔽 Показать решение
3x² – 6x – 4x + 8 = 3x(x–2) – 4(x–2) = (x–2)(3x–4)

✅ Случай 3: a>0, c<0

Пример: 2x² – 5x – 3

Объяснение: Произведение -6, сумма -5. Числа с разными знаками: -6 и 1.

🔽 Показать решение
2x² – 6x + x – 3 = 2x(x–3) + 1(x–3) = (x–3)(2x+1)

✅ Случай 4: a < 0

Пример: –3x² + 7x – 2

Объяснение: Выносим минус: –(3x² – 7x + 2). Для 3x²–7x+2: произведение 6, сумма -7 → -6 и -1.

🔽 Показать решение
3x² – 6x – x + 2 = 3x(x–2) – 1(x–2) = (x–2)(3x–1). Ответ: –(x–2)(3x–1) = (2–x)(3x–1)

✅ Случай 5: a = 1 (приведённый)

Пример: x² – 8x + 15

Объяснение: Произведение 15, сумма -8 → числа -5 и -3.

🔽 Показать решение
x² – 5x – 3x + 15 = x(x–5) – 3(x–5) = (x–5)(x–3)

📚 5 примеров

🔹 Пример 1: 6x² – 13x + 6

Подсказка: a·c=36, m+n=–13

🔽 Показать решение
m=–9, n=–4 → 6x²–9x–4x+6 = 3x(2x–3)–2(2x–3) = (2x–3)(3x–2)

🔸 Пример 2: 4x² + 4x – 15

Подсказка: a·c=–60, m+n=4

🔽 Показать решение
m=10, n=–6 → 4x²+10x–6x–15 = 2x(2x+5)–3(2x+5) = (2x+5)(2x–3)

🔹 Пример 3: 9x² – 30x + 25

Подсказка: a·c=225, m+n=–30

🔽 Показать решение
m=–15, n=–15 → 9x²–15x–15x+25 = 3x(3x–5)–5(3x–5) = (3x–5)²

🔸 Пример 4: 2x² – 9x – 5

Подсказка: a·c=–10, m+n=–9

🔽 Показать решение
m=–10, n=1 → 2x²–10x+x–5 = 2x(x–5)+1(x–5) = (x–5)(2x+1)

🔹 Пример 5: 12x² – 28x + 15

Подсказка: a·c=180, m+n=–28

🔽 Показать решение
m=–10, n=–18 → 12x²–10x–18x+15 = 2x(6x–5)–3(6x–5) = (6x–5)(2x–3)

📱 Практикум

6x² – 13x + 6
Выбери правильное разложение:

📋 Схема

a·c → ищем m,n (m+n=b, m·n=a·c) → ax²+mx+nx+c → (ax²+mx)+(nx+c) → вынести общее → вынести скобку

Прокрутить вверх