Метод обратных корней упрощает решение задач, где требуется найти преобразованные корни.
Чтобы получить квадратное уравнение, корни которого обратны корням исходного уравнения
\( ax^2 + bx + c = 0 \)
(при \( a \ne 0 \), \( c \ne 0 \), и корни ненулевые),
достаточно поменять местами коэффициенты \(a\) и \(c\).
Получим уравнение:
\( cx^2 + bx + a = 0 \).
Пример 1
Исходное уравнение: \( 2x^2 - 5x + 2 = 0 \).
- Коэффициенты: \(a = 2\), \(b = -5\), \(c = 2\).
- Поменяем \(a\) и \(c\): получаем \( 2x^2 - 5x + 2 = 0 \) — то же уравнение (оно симметричное).
- Найдём корни исходного уравнения: \( D = 25 - 16 = 9 \), \( x = \dfrac{5 \pm 3}{4} \Rightarrow x_1 = 2,\; x_2 = \dfrac{1}{2} \).
- Обратные корни: \( \dfrac{1}{2} \) и \( 2 \) — те же числа. Это подтверждает: корни взаимно обратны.
Пример 2
Исходное уравнение: \( 3x^2 + 7x + 2 = 0 \).
- Коэффициенты: \(a = 3\), \(b = 7\), \(c = 2\).
- Уравнение с обратными корнями: \( 2x^2 + 7x + 3 = 0 \) (поменяли \(a\) и \(c\)).
- Найдём корни исходного уравнения: \( D = 49 - 24 = 25 \), \( x = \dfrac{-7 \pm 5}{6} \Rightarrow x_1 = -\dfrac{1}{3},\; x_2 = -2 \).
- Обратные числа: \( -3 \) и \( -\dfrac{1}{2} \).
- Найдём корни нового уравнения \(2x^2 + 7x + 3 = 0\): \( D = 49 - 24 = 25 \), \( x = \dfrac{-7 \pm 5}{4} \Rightarrow x_1 = -\dfrac{1}{2},\; x_2 = -3 \).
- Совпадает! Корни нового уравнения — обратные к корням исходного.
💡 Примечание: Метод работает, только если \( a \ne 0 \) и \( c \ne 0 \), иначе обратные корни не определены.