Метод подбора корней (по делителям с)

От /

Нестандартный способ решения квадратных уравнений, основанный на подборе корней через делители свободного члена и использовании связи между коэффициентами, особенно эффективен для уравнений с «удобными» целыми корнями.

Метод подбора корней по делителям свободного члена
Метод подбора корней — это практический приём для нахождения целых или рациональных корней квадратного уравнения с целыми коэффициентами. Он основан на том, что любой целый корень уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \) (\(a, b, c \in \mathbb{Z},\ a \ne 0\)) является делителем свободного члена \(c\) (при условии, что старший коэффициент \(a = \pm 1\)). Для общего случая используется теорема о рациональных корнях.

📚 Теоретическая основа

Рассмотрим квадратное уравнение с целыми коэффициентами:

\( ax^2 + bx + c = 0, \quad a, b, c \in \mathbb{Z},\ a \ne 0 \)

Теорема (о рациональных корнях):

Если уравнение имеет рациональный корень \( \dfrac{p}{q} \) (в несократимом виде), то:

  • \(p\) — делитель свободного члена \(c\),
  • \(q\) — делитель старшего коэффициента \(a\).

Следствие (для приведённого уравнения):

Если уравнение приведённое (\(a = 1\)), то любой рациональный корень — целое число, являющееся делителем \(c\).

\( x^2 + bx + c = 0 \quad \Rightarrow \quad x \in \mathbb{Z},\ x \mid c \)

✅ Алгоритм подбора корней

  1. Убедитесь, что коэффициенты уравнения — целые числа.
  2. Если уравнение приведённое (\(a = 1\) или можно разделить на \(a\) без остатка):
    • выпишите все целые делители свободного члена \(c\) (включая отрицательные);
    • подставьте их в уравнение, пока не найдёте корень;
    • второй корень найдите по теореме Виета или делением многочлена.
  3. Если уравнение неприведённое (\(a \ne \pm 1\)):
    • выпишите все дроби \( \dfrac{p}{q} \), где \(p \mid c\), \(q \mid a\);
    • проверяйте их подстановкой (обычно начинают с целых делителей \(c\)).
  4. Как только найден один корень \(x_1\), второй можно найти по формуле: \( x_2 = -\dfrac{b}{a} - x_1 \) или через разложение.

📝 Примеры

Пример 1: Приведённое уравнение

Решите уравнение: \( x^2 - 7x + 12 = 0 \).

Решение:

  1. Уравнение приведённое (\(a = 1\)), \(c = 12\).
  2. Делители 12: \( \pm1, \pm2, \pm3, \pm4, \pm6, \pm12 \).
  3. Подставляем:
    • \(x = 1\): \(1 - 7 + 12 = 6 \ne 0\)
    • \(x = 2\): \(4 - 14 + 12 = 2 \ne 0\)
    • \(x = 3\): \(9 - 21 + 12 = 0\) → корень найден! ✅
  4. По теореме Виета: \(x_1 + x_2 = 7\), \(x_1 = 3\) → \(x_2 = 4\).
  5. Проверка: \(3 \cdot 4 = 12 = c\) — верно.
  6. Ответ: \( x = 3 \) или \( x = 4 \).
Пример 2: Неприведённое уравнение

Решите уравнение: \( 2x^2 + 5x - 3 = 0 \).

Решение:

  1. \(a = 2\), \(c = -3\).
  2. Делители \(c\): \( \pm1, \pm3 \); делители \(a\): \( \pm1, \pm2 \).
  3. Возможные рациональные корни: \( \pm1, \pm3, \pm\dfrac{1}{2}, \pm\dfrac{3}{2} \).
  4. Проверяем целые:
    • \(x = 1\): \(2 + 5 - 3 = 4 \ne 0\)
    • \(x = -1\): \(2 - 5 - 3 = -6 \ne 0\)
    • \(x = 3\): слишком велико → пропускаем
    • \(x = -3\): \(18 - 15 - 3 = 0\) → корень! ✅
  5. Но проверим: \(2(-3)^2 + 5(-3) - 3 = 18 - 15 - 3 = 0\) — верно.
  6. Второй корень: сумма корней = \(-\dfrac{5}{2}\), \(x_2 = -\dfrac{5}{2} - (-3) = -\dfrac{5}{2} + 3 = \dfrac{1}{2}\).
  7. Или проверим \(x = \frac{1}{2}\): \(2 \cdot \frac{1}{4} + 5 \cdot \frac{1}{2} - 3 = \frac{1}{2} + \frac{5}{2} - 3 = 3 - 3 = 0\) — верно.
  8. Ответ: \( x = -3 \) или \( x = \dfrac{1}{2} \).
Пример 3: Задача с параметром

При каких целых \(a\) уравнение \( x^2 - ax + 6 = 0 \) имеет целые корни?

Решение:

  1. Уравнение приведённое, \(c = 6\).
  2. Пусть корни — целые числа \(m, n\). Тогда по Виете: \( m + n = a \), \( m \cdot n = 6 \).
  3. Все пары целых делителей 6:
    • \((1, 6)\), \((2, 3)\), \((-1, -6)\), \((-2, -3)\)
    • а также \((6, 1)\), \((3, 2)\) и т.д. — сумма та же.
  4. Суммы:
    • \(1 + 6 = 7\)
    • \(2 + 3 = 5\)
    • \(-1 + (-6) = -7\)
    • \(-2 + (-3) = -5\)
  5. Также возможны пары с обратным знаком, дающие отрицательное произведение, но здесь \(m n = 6 > 0\), поэтому только одинаковые знаки.
  6. Ответ: \( a \in \{-7, -5, 5, 7\} \).

💡 Преимущества и ограничения

Преимущества

  • Быстро даёт корни, если они целые или простые дроби.
  • Не требует вычисления дискриминанта.
  • Очень эффективен в задачах с параметром, где корни должны быть целыми.
  • Полезен на ЕГЭ/ОГЭ для быстрой проверки.

Ограничения

  • Не работает, если корни иррациональные (например, \(x^2 - 2 = 0\)).
  • При большом \(|c|\) список делителей может быть длинным.
  • Для неприведённых уравнений с большими \(a, c\) перебор дробей громоздок.

Совет

Всегда начинайте с приведённого уравнения. Если коэффициенты имеют общий делитель — сократите. Если корни не подбираются за 1–2 минуты — переходите к дискриминанту.

Прокрутить вверх