Тренажер предназначен для наглядного изучения и практики метода рационализации при решении сложных логарифмических, показательных и иррациональных неравенств. Тренажер сочетает теоретическую часть с интерактивными демонстрациями и практическими заданиями.
Метод замены множителя (метод рационализации) — метод решения алгебраических неравенств, который позволяет упростить решение задач, содержащих сложные выражения (показательные, логарифмические, иррациональные и другие).
Тренажер: Метод рационализации
Демонстрация
\(\log_2(x-1)\)
\(\log_2x-1\)
\(2^x-4\)
\(3^x-1\)
\(\sqrt{x+1}-\sqrt{3}\)
\(x^2-1\)
Сбросить
Выберите замену. Графики покажут совпадение знаков на ОДЗ.
Практикум
Задания:
№1
№2
№3
№4
№5
Задание 1
\(\log_3(x^2-3x+2)\cdot\log_{\frac{1}{2}}(x+1) > 0\)
Особенности: Два логарифма, квадратичный аргумент.
Подсказка
Решение
Подсказка:
1. \(x^2-3x+2=(x-1)(x-2)\)
2. \(\log_3(...) \to 2(x^2-3x+1)\)
3. \(\log_{\frac{1}{2}}(x+1) \to -0.5x\)
4. ОДЗ: \(x\in(-1,1)\cup(2,\infty)\)
Решение:
1 ОДЗ: \(x\in(-1,1)\cup(2,\infty)\)
2 Замена: \(-x(x^2-3x+1) > 0\)
3 Ответ: \(x\in(0.38,1)\cup(2.62,\infty)\)
Задание 2
\(\frac{(5^x-25)(0.2^x-0.04)}{x-3}\leq 0\)
Особенности: Две показательные функции.
Подсказка
Решение
Подсказка:
1. \(5^x-25 \to 4(x-2)\)
2. \(0.2^x-0.04 \to -4(x-2)\)
3. Получаем: \(\frac{-16(x-2)^2}{x-3}\leq 0\)
Решение:
1 ОДЗ: \(x\neq 3\)
2 Замена: \(\frac{-16(x-2)^2}{x-3}\leq 0\)
3 Ответ: \(x=2\) или \(x > 3\)
Задание 3
\(\log_2(x+1)\cdot(4^x-16)\cdot\sqrt{x-2}\leq 0\)
Особенности: Логарифм, показательная, корень.
Подсказка
Решение
Подсказка:
1. \(\log_2(x+1) \to x\)
2. \(4^x-16 \to 3(x-2)\)
3. \(\sqrt{x-2}\geq 0\) при \(x\geq 2\)
Решение:
1 ОДЗ: \(x\geq 2\)
2 Замена: \(3x(x-2)\sqrt{x-2}\leq 0\)
3 Ответ: \(x=2\)
Задание 4
\(\frac{(\sqrt{x+3}-2)\cdot\log_3 x}{x^2-4}\geq 0\)
Особенности: Корень, логарифм, квадратичный знаменатель.
Подсказка
Решение
Подсказка:
1. \(\sqrt{x+3}-2 \to x-1\)
2. \(\log_3 x \to 2(x-1)\)
3. \(x^2-4=(x-2)(x+2)\)
Решение:
1 ОДЗ: \(x\in(0,2)\cup(2,\infty)\)
2 Замена: \(\frac{2(x-1)^2}{(x-2)(x+2)}\geq 0\)
3 Ответ: \(x=1\) или \(x > 2\)
Задание 5
\(\frac{\log_{\frac{1}{2}}(2x-1)\cdot(9^{x-1}-3)\cdot\sqrt{x+1}}{x-4} > 0\)
Особенности: Логарифм с основанием 0.5, сдвиг показателя.
Подсказка
Решение
Подсказка:
1. \(\log_{\frac{1}{2}}(2x-1) \to -(x-1)\)
2. \(9^{x-1}-3 \to 2(2x-3)\)
3. \(\sqrt{x+1} > 0\) при \(x > -1\)
Решение:
1 ОДЗ: \(x\in(0.5,4)\cup(4,\infty)\)
2 Замена: \(\frac{(x-1)(2x-3)}{x-4} < 0\)
3 Ответ: \(x\in(1,1.5)\cup(4,\infty)\)
Дополнительно
