Нахождение приближённых значений квадратного корня

От /

Рассмотрим несколько основных методов для извлечения квадратных корней. 

Метод разложения в сумму (линейное приближение)

Метод основан на формуле квадрата суммы:
(a + b)² = a² + 2ab + b²

Если мы ходим найти √S, мы представляем S в виде:
S ≈ a² + 2ab
где:

  • a — целая часть корня (наибольшее целое число, чей квадрат меньше S).
  • b — дробная часть, которую нам нужно найти.

Пренебрегая очень маленьким слагаемым b², мы получаем удобную формулу для оценки.

Алгоритм:

  1. Найдите ближайший меньший полный квадрат (a²). a будет целой частью ответа.
  2. Разницу между исходным числом и найденным квадратом (S — a²) представьте в виде суммы 2ab + b².
  3. Так как b — малая величина (дробная часть), b² очень мал, им можно пренебречь для грубой оценки.
  4. Получите приближение: √S ≈ a + (S — a²) / (2a)

Сравнительная таблица «похожих» методов

ФормулаОбозначенияЧто важно
Метод быстрой оценкиa + b/2aa — приближение корня, b — разность (X - a²)Требуется понимание, что b = X - a²
Метод разложения в сумму a + (S — a²) / (2a)S — исходное число, a — приближение корняСамая универсальная и понятная запись
Канадский метод √S + (X — S) / (2√S)S — близкий полный квадрат, X — исходное числоУдобно, когда помнишь квадраты чисел (49, 64 и т.д.)

Давайте применим все три формулы для вычисления √50

Пример 1: Вычисление √50

Ближайший к 50 полный квадрат — это 49.

  • √49 = 7
  • Значит, берем a = 7

Метод быстрой оценки: √X ≈ a + b/2a

  • Пояснение: В этой формуле b — это разница между X и a². То есть b = X - a².
  • Подставляем значения (X=50, a=7):
    • a² = 7² = 49
    • b = 50 - 49 = 1
    • 2a = 2 * 7 = 14
  • Вычисляем:
    √50 ≈ 7 + (1 / 14) ≈ 7 + 0.07142857 ≈ 7.07142857

Метод разложения в сумму: √S ≈ a + (S — a²) / (2a)

  • Пояснение: Это самая прямая и понятная запись. Мы просто подставляем числа в формулу.
  • Подставляем значения (S=50, a=7):
    • a² = 49
    • S - a² = 50 - 49 = 1
    • 2a = 14
  • Вычисляем:
    √50 ≈ 7 + (1 / 14) ≈ 7 + 0.07142857 ≈ 7.07142857

Канадский метод: √X ≈ √S + (X — S) / (2√S)

  • Пояснение: Здесь в качестве опорной точки мы используем не корень a, а полный квадрат S. Для 50 самым близким полным квадратом является 49 (S=49).
  • Подставляем значения (X=50, S=49):
    • √S = √49 = 7
    • X - S = 50 - 49 = 1
    • 2√S = 2 * 7 = 14
  • Вычисляем:
    √50 ≈ 7 + (1 / 14) ≈ 7 + 0.07142857 ≈ 7.07142857

Пример 2: Вычисление √145

Истинное значение: √145 ≈ 12.0415945788

Быстрая оценка: 

  • Берём a=10 (круглое число).
  • √145 ≈ 10 + (145 - 100)/20 = 10 + 45/20 = 10 + 2.25 = **12.25**
  • Погрешность: +0.208405

Канадский метод:

  • точный квадрат. 12²=144 (ближе всего к 145).
  • √145 ≈ 12 + (145-144)/24 = 12 + 1/24 ≈ 12 + 0.0416667 = **12.0416667**
  • Погрешность: +0.00007209

Сравнение с методом Герона

Давайте детально сравним метод разложения в сумму и метод Герона (Вавилонский метод) для извлечения квадратных корней. Это два принципиально разных подхода.

Вычисление √50

Метод разложения в сумму:

  • a = 7 (так как 7² = 49 ≤ 50)
  • √50 ≈ 7 + (50 - 49) / (2*7) = 7 + 1/14 ≈ 7 + 0.0714 = 7.0714
  • Результат: 7.0714 (погрешность ≈ 0.0003)
Подробнее

1. Находим целую часть (a):

  • Какое наибольшее целое число в квадрате дает результат, близкий к 50?
  • 7² = 49 (это меньше 50)
  • 8² = 64 (это уже больше 50)
  • Значит, a = 7.

2. Находим разницу между S и a²:

  • S - a² = 50 - 49 = 1
  • Эта разница и будет числителем в нашей формуле.

3. Применяем формулу разложения:

  • b ≈ (S - a²) / (2a)

4. Подставляем наши числа:

  • b ≈ (50 - 49) / (2 * 7)
  • b ≈ 1 / 14
  • b ≈ 0.07142857...

5. Складываем a и b, чтобы получить окончательный ответ:

√50 ≈ a + b =7 + 0.0714 =7.0714

Метод Герона (с начальным предположением x₀ = 7):

  • Итерация 1: x₁ = (7 + 50/7) / 2 = (7 + 7.142857) / 2 = 7.0714285
  • Итерация 2: x₂ = (7.0714285 + 50/7.0714285) / 2 ≈ (7.0714285 + 7.0710678) / 2 = 7.07124815
  • Итерация 3: x₃ = (7.07124815 + 50/7.07124815) / 2 ≈ (7.07124815 + 7.07106766) / 2 = 7.071157905
  • Результат после 3 итераций: ~7.07107 (погрешность < 0.0000001)

Мы получили очень точный результат всего за одно действие! Погрешность очень мала.

Вычисление √145

Метод разложения в сумму:

  1. Находим целую часть (a):
    • 12² = 144 (это меньше 145)
    • 13² = 169 (это больше 145)
    • Значит, a = 12.
  2. Находим разницу: S - a² = 145 - 144 = 1
  3. Подставляем в формулу:
    • b ≈ (S - a²) / (2a) = 1 / (2 * 12) = 1 / 24 ≈ 0.0416667
  4. Складываем a и b:
    • √145 ≈ a + b = 12 + 0.0416667 = 12.0416667

Результат метода разложения: √145 ≈ 12.0417

Проверка точности:

  • 12.0417² = (12 + 0.0417)² = 144 + 2*12*0.0417 + (0.0417)² ≈ 144 + 1.0008 + 0.0017 ≈ 145.0025
  • Погрешность: 145.0025 - 145 = +0.0025

Метод Герона

Выберем начальное приближение x₀. Возьмём x₀ = 12 (так как 12²=144).

Итерация 1 (n=0):

  • x₁ = (x₀ + S / x₀) / 2 = (12 + 145 / 12) / 2
  • 145 / 12 ≈ 12.0833333
  • x₁ = (12 + 12.0833333) / 2 = 24.0833333 / 2 = **12.04166665**

Итерация 2 (n=1):

  • x₂ = (x₁ + S / x₁) / 2 = (12.04166665 + 145 / 12.04166665) / 2
  • 145 / 12.04166665 ≈ 12.0415946
  • x₂ = (12.04166665 + 12.0415946) / 2 = 24.08326125 / 2 = **12.041630625**

Итерация 3 (n=2):

  • x₃ = (x₂ + S / x₂) / 2 = (12.041630625 + 145 / 12.041630625) / 2
  • 145 / 12.041630625 ≈ 12.04163056
  • x₃ = (12.041630625 + 12.04163056) / 2 = 24.083261185 / 2 = **12.0416305925**

Результат метода Герона: √145 ≈ 12.04163059

Проверка точности:

  • 12.04163059² ≈ 145.0000000... (погрешность ничтожно мала, менее 10⁻⁸)

Сравнительная таблица

КритерийМетод разложения в суммуМетод Герона (Вавилонский метод)
Суть методаАлгебраическое приближение. Основан на формуле (a + b)² ≈ a² + 2ab (пренебрегая b²). Это линейная аппроксимация.Итерационный алгоритм. Основан на последовательном усреднении предположения и результата деления. Это частный случай метода Ньютона.
Математическая основаФормула квадрата суммы: (a+b)² = a² + 2ab + b²Геометрическая идея нахождения стороны квадрата по его площади.
Формула√S ≈ a + (S — a²) / (2a)
где a — целая часть корня.		xₙ₊₁ = (xₙ + S / xₙ) / 2
где xₙ — текущее приближение.
Тип алгоритмаОдношаговый. Даёт ответ после одного вычисления.Итерационный. Требует многократного повторения формулы для уточнения результата.
ТочностьХорошая, но ограниченная. Точность фиксирована после одного расчета. Для повышения точности метод не приспособлен.Очень высокая (квадратичная сходимость). Каждая следующая итерация удваивает количество верных знаков после запятой. Можно получить любую требуемую точность.
Скорость (получение результата)Мгновенная. Идеален для быстрой прикидки в уме.Требует времени. Необходимо выполнить несколько циклов вычислений.
Вычислительная сложностьНизкая. Требует одного деления и одного сложения.Средняя. Каждая итерация требует деления и сложения.
Главное преимуществоПростота и скорость для получения приемлемого приближения.Высочайшая точность и возможность её неограниченного повышения.
Главный недостатокОграниченная точность. Невозможно улучшить результат без использования других методов.Требует нескольких вычислений для достижения высокой точности.
Лучшая сфера примененияУстный счёт, быстрая оценка, прикидка, когда высокая точность не нужна.Точные вычисления на калькуляторе, в программах, при ручном счёте на бумаге.

Источник: https://edu-potential.ru/images/catalog/Math/kvadr_koren.pdf

Источник: https://s.school-herald.ru/pdf/2019/2-1/935.pdf

Прокрутить вверх