Наибольшее и наименьшее значения функции

От /

Наибольшее и наименьшее значение функции: Полный гид

📜 Историческая справка

Античные истоки (II в. до н.э.)

Задачи на экстремумы решались геометрическими методами. Зенодор доказал, что из всех фигур с заданным периметром наибольшую площадь имеет круг. Методы были остроумными, но не общими.

XVII век — рождение анализа

Пьер Ферма (1607-1665) предложил прообраз метода поиска экстремумов, близкий к использованию производной (метод "adequality").

Исаак Ньютон (1643-1727) и Готфрид Лейбниц (1646-1716) создали дифференциальное исчисление, дав мощный универсальный инструмент для анализа изменений функции.

Развитие теории (XVIII-XIX вв.)

Й. Бернулли, Л. Эйлер и Ж.Л. Лагранж развили теорию, сформулировав строгие условия.

Карл Вейерштрасс (1815-1897) доказал ключевую теорему об экстремуме непрерывной функции на отрезке, которая легла в основу современного алгоритма.

📚 Основные понятия и теоремы

Определения

Пусть функция \(y = f(x)\) определена на множестве \(X\).

Понятие Определение Обозначение
Наибольшее значение Число \(M\) — наибольшее значение функции на \(X\), если существует точка \(x_0 \in X\), что \(f(x_0) = M\), и для всех \(x \in X\) выполняется \(f(x) \leq M\). \(M = \max f(x)\)
на \(X\)
Наименьшее значение Число \(m\) — наименьшее значение функции на \(X\), если существует точка \(x_0 \in X\), что \(f(x_0) = m\), и для всех \(x \in X\) выполняется \(f(x) \geq m\). \(m = \min f(x)\)
на \(X\)

Теорема Вейерштрасса (о существовании)

Если функция непрерывна на отрезке \([a; b]\), то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значения.

Эта теорема гарантирует, что на отрезке эти значения существуют.

Теорема Ферма (необходимое условие экстремума)

Если функция \(f(x)\) дифференцируема в точке \(x_0\) и имеет в этой точке локальный экстремум (максимум или минимум), то её производная в этой точке равна нулю: \(f'(x_0) = 0\).

Важные следствия:

  • Точки, где \(f'(x) = 0\), называются стационарными.
  • Не всякая стационарная точка является точкой экстремума (например, \(y = x^3\) в точке \(x=0\)).
  • Экстремумы также могут быть в точках, где производная не существует (например, \(y = |x|\) в точке \(x=0\)).

⚙️ Общий алгоритм

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции \(f(x)\) на отрезке \([a; b]\):

Найти производную функции: \(f'(x)\).
Найти стационарные точки: Решить уравнение \(f'(x) = 0\). Выбрать из корней те, которые принадлежат интервалу \((a; b)\).
Найти критические точки: К стационарным точкам добавить:
  • Концы отрезка \(a\) и \(b\)
  • Точки, в которых функция определена, а производная не существует (если они входят в отрезок \([a; b]\))
Все эти точки — кандидаты на экстремум.
Вычислить значения функции во всех критических точках.
Сравнить полученные числа: Наибольшее из них будет \(\max f(x)\) на \([a; b]\), наименьшее — \(\min f(x)\) на \([a; b]\).

Внимание! На других промежутках (интервал, луч, вся числовая прямая) наибольшее/наименьшее значение может не существовать. В таких случаях используется исследование функции с помощью производной и анализ поведения на границах (пределы при стремлении к границам области определения).

📝 Задания

Функция на отрезке

Задача:

Найти \(\min\) и \(\max\) функции \(f(x) = x^3 - 3x\) на отрезке \([0; 2]\).

Решение:
  1. \(f'(x) = 3x^2 - 3\)
  2. \(3x^2 - 3 = 0 \rightarrow x^2 = 1 \rightarrow x = \pm1\). В интервал \((0; 2)\) входит только \(x = 1\).
  3. Критические точки: стационарная \(x=1\) и концы отрезка \(x=0\), \(x=2\).
  4. Вычисляем:
    • \(f(0) = 0\)
    • \(f(1) = 1 - 3 = -2\)
    • \(f(2) = 8 - 6 = 2\)
  5. \(\max f(x) = f(2) = 2\), \(\min f(x) = f(1) = -2\).

Функция на интервале (или всей числовой прямой)

Задача:

Исследовать функцию \(x + \frac{4}{x}\) на минимум и максимум при \(x > 0\).

Решение:
  1. \(f'(x) = 1 - \frac{4}{x^2}\)
  2. \(1 - \frac{4}{x^2} = 0 \rightarrow x^2 = 4 \rightarrow x = 2\) (т.к. \(x > 0\))
  3. Исследуем знак производной:
    • При \(0 < x < 2\): \(f'(x) < 0\) → функция убывает
    • При \(x > 2\): \(f'(x) > 0\) → функция возрастает
    → В точке \(x=2\) — локальный минимум.
  4. Наибольшего значения при \(x > 0\) нет, так как:
    • при \(x\rightarrow0+\) \(f(x)\rightarrow+\infty\)
    • при \(x\rightarrow+\infty\) \(f(x)\rightarrow+\infty\)
  5. Ответ: \(\min f(x) = f(2) = 2 + \frac{4}{2} = 4\) (достигается при \(x=2\)), максимума нет.

Прикладные задачи (задачи на оптимизацию)

Задача:

Из прямоугольного листа жести со сторонами \(a\) и \(b\) (\(a > b\)) нужно изготовить открытую сверху коробку, вырезав по углам квадраты и загнув края. Какова должна быть сторона вырезаемого квадрата, чтобы коробка имела наибольший объем?

Решение:
  1. Вводим переменную: Пусть \(x\) — сторона вырезаемого квадрата (\(0 < x < \frac{b}{2}\)).
  2. Составляем функцию: После вырезания и сгибания:
    • Дно коробки: \((a - 2x)\) на \((b - 2x)\)
    • Высота коробки: \(x\)
    • Объем: \(V(x) = x(a - 2x)(b - 2x)\)
  3. Ищем максимум функции \(V(x)\) на интервале \((0; \frac{b}{2})\).
  4. Находим производную, приравниваем к нулю, находим стационарную точку \(x_0\) (она будет единственной на этом интервале) и доказываем, что в ней достигается максимум.
  5. Ответ: сторона квадрата \(x_0 = \frac{a + b - \sqrt{a^2 - ab + b^2}}{6}\) (конкретный вид зависит от упрощений).

Дополнительно

Источник: ссылка

Источник: ссылка

Прокрутить вверх