Обобщённая теорема Виета

От /

Теорема Виета, изначально сформулированная для квадратного уравнения, может быть обобщена на многочлены произвольной степени. Это обобщение устанавливает связь между коэффициентами многочлена и суммами и произведениями его корней.

Теорема Виета для многочленов
Теорема Виета устанавливает связь между корнями многочлена и его коэффициентами. Она применима не только к квадратным уравнениям, но и к многочленам любой степени. Эти формулы позволяют анализировать корни без их явного нахождения — особенно ценно в задачах с параметром, олимпиадах и алгебре.

📜 Историческая справка

Франсуа Виет (1540–1603), французский математик, впервые сформулировал соотношения между корнями и коэффициентами для квадратных и кубических уравнений в 1591 году.

Хотя Виет использовал только положительные корни (отрицательные считались «неприемлемыми»), его идеи заложили основу для современной алгебры. В XVIII веке формулы были обобщены на многочлены произвольной степени и получили название формул Виета.

📚 Обобщённая теорема Виета

Пусть дан многочлен степени \(n\):

\( P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0, \quad a_n \ne 0 \)

и пусть \(x_1, x_2, \dots, x_n\) — его корни (в комплексных числах, с учётом кратности).

Тогда:

\[ \begin{aligned} x_1 + x_2 + \dots + x_n &= -\dfrac{a_{n-1}}{a_n}, \\ \sum_{1 \le i <j \le n} x_i x_j &= +\dfrac{a_{n-2}}{a_n}, \\ \sum_{1 \le i < j < k \le n} x_i x_j x_k &= -\dfrac{a_{n-3}}{a_n}, \\ &\vdots \\ x_1 x_2 \cdots x_n &= (-1)^n \dfrac{a_0}{a_n}. \end{aligned} \]

Правило знаков: начинается с «минус» для суммы, далее — чередование. Произведение всех корней имеет знак \( (-1)^n \).

🟦 Теорема Виета для кубического уравнения (3-я степень)

Формулы

Для уравнения \( ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \) (\(a \ne 0\)) с корнями \(x_1, x_2, x_3\):

\[ \begin{aligned} x_1 + x_2 + x_3 &= -\dfrac{b}{a}, \\ x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 &= \dfrac{c}{a}, \\ x_1x_2x_3 &= -\dfrac{d}{a}. \end{aligned} \]
Пример 1: Применение формул

Для уравнения \( 2x^3 - 6x^2 + 4x - 8 = 0 \) найдите сумму корней, сумму попарных произведений и произведение всех корней.

Решение:

  • Коэффициенты: \(a = 2,\ b = -6,\ c = 4,\ d = -8\).
  • Сумма: \( -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-6}{2} = 3 \).
  • Сумма попарных: \( \dfrac{c}{a} = \dfrac{4}{2} = 2 \).
  • Произведение: \( -\dfrac{d}{a} = -\dfrac{-8}{2} = 4 \).

Ответ: \( \sum x_i = 3,\ \sum x_i x_j = 2,\ x_1x_2x_3 = 4 \).

Пример 2: Восстановление уравнения

Составьте кубическое уравнение с целыми коэффициентами, имеющее корни \( 1, 2, -3 \).

Решение:

  • Сумма: \(1 + 2 + (-3) = 0\).
  • Сумма попарных: \(1·2 + 1·(-3) + 2·(-3) = 2 - 3 - 6 = -7\).
  • Произведение: \(1·2·(-3) = -6\).
  • Приведённое уравнение: \( x^3 - (\text{сумма})x^2 + (\text{попарные})x - (\text{произведение}) = x^3 + 0x^2 - 7x - (-6) = x^3 - 7x + 6 \).

Ответ: \( x^3 - 7x + 6 = 0 \).

🟪 Теорема Виета для уравнения 4-й степени

Формулы

Для уравнения \( ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0 \) (\(a \ne 0\)) с корнями \(x_1, x_2, x_3, x_4\):

\[ \begin{aligned} x_1 + x_2 + x_3 + x_4 &= -\dfrac{b}{a}, \\ \sum_{i < j} x_i x_j &= \dfrac{c}{a}, \\ \sum_{i < j < k} x_i x_j x_k &= -\dfrac{d}{a}, \\ x_1 x_2 x_3 x_4 &= \dfrac{e}{a}. \end{aligned} \]

Обратите внимание: для чётной степени \(n = 4\) произведение имеет знак «плюс».

Пример 3: Проверка корней

Уравнение \( x^4 - 5x^3 + 5x^2 + 5x - 6 = 0 \) имеет корни \( 1, 2, 3, -1 \). Проверьте формулы Виета.

Решение:

  • Коэффициенты: \(a = 1,\ b = -5,\ c = 5,\ d = 5,\ e = -6\).
  • По корням:
    • Сумма: \(1 + 2 + 3 + (-1) = 5\)
    • Попарные: \(1·2 + 1·3 + 1·(-1) + 2·3 + 2·(-1) + 3·(-1) = 2 + 3 - 1 + 6 - 2 - 3 = 5\)
    • Тройные: \(1·2·3 + 1·2·(-1) + 1·3·(-1) + 2·3·(-1) = 6 - 2 - 3 - 6 = -5\)
    • Произведение: \(1·2·3·(-1) = -6\)
  • По формулам Виета:
    • Сумма: \( -b/a = 5 \) ✅
    • Попарные: \( c/a = 5 \) ✅
    • Тройные: \( -d/a = -5 \) ✅
    • Произведение: \( e/a = -6 \) ✅

Все соотношения выполнены.

Пример 4: Задача с параметром

При каком \(a\) сумма корней уравнения \( x^4 + ax^3 - 3x^2 + 2 = 0 \) равна 7?

Решение:

  • Сумма корней = \( -\dfrac{a}{1} = -a \).
  • По условию: \( -a = 7 \Rightarrow a = -7 \).

Ответ: \( a = -7 \).

✏️ Задания для самостоятельной работы

Задача 1

Для уравнения \( 3x^3 - 9x^2 + 6x - 12 = 0 \) найдите сумму корней и произведение всех корней.

Задача 2

Составьте уравнение 4-й степени с целыми коэффициентами, имеющее корни \( 0, 1, -1, 2 \).

Задача 3

При каком \(a\) произведение корней уравнения \( x^3 + 2x^2 + ax + 6 = 0 \) равно 3?

Задача 4

Многочлен \( x^4 + px^3 + qx^2 + rx + s \) имеет корни \( 1, 1, -2, 3 \). Найдите \( p, q, r, s \).

✅ Ответы

Задача 1

Сумма = \( -\dfrac{-9}{3} = 3 \), произведение = \( -\dfrac{-12}{3} = 4 \).

Задача 2

Многочлен: \( x(x - 1)(x + 1)(x - 2) = x(x^2 - 1)(x - 2) = x(x^3 - 2x^2 - x + 2) = x^4 - 2x^3 - x^2 + 2x \). Ответ: \( x^4 - 2x^3 - x^2 + 2x = 0 \).

Задача 3

Произведение корней = \( -\dfrac{6}{1} = -6 \). Оно постоянно и не зависит от \(a\). Уравнение \( -6 = 3 \) невозможно. Ответ: ни при каком \(a\).

Задача 4

Корни: \(1, 1, -2, 3\).

  • Сумма: \(1 + 1 - 2 + 3 = 3 = -p \Rightarrow p = -3\)
  • Попарные: \(1·1 + 1·(-2) + 1·3 + 1·(-2) + 1·3 + (-2)·3 = 1 -2 +3 -2 +3 -6 = -3 = q\)
  • Тройные: \(1·1·(-2) + 1·1·3 + 1·(-2)·3 + 1·(-2)·3 = -2 + 3 -6 -6 = -11 = -r \Rightarrow r = 11\)
  • Произведение: \(1·1·(-2)·3 = -6 = s\)

Ответ: \( p = -3,\ q = -3,\ r = 11,\ s = -6 \).

❗ Важно помнить

  • Формулы Виета работают **всегда**, если старший коэффициент \(a_n \ne 0\).
  • Корни учитываются **с учётом кратности**.
  • Если многочлен приведённый (\(a_n = 1\)), формулы упрощаются.
  • Для чётной степени \(n\): \( x_1 x_2 \cdots x_n = +\dfrac{a_0}{a_n} \); для нечётной: \( x_1 x_2 \cdots x_n = -\dfrac{a_0}{a_n} \).

Прокрутить вверх