Объём и масса

От /

Руководство с алгоритмами, формулами и примерами

Подобные/однородные тела
Теория
Алгоритм
Примеры
Практика

Основной принцип подобия

Для подобных трёхмерных тел:
\[ \frac{V_1}{V_2} = \left( \frac{L_1}{L_2} \right)^3 = k^3 \]
где \(k\) — коэффициент подобия (отношение любых соответствующих линейных размеров)
Для однородных тел (одинаковая плотность):
\[ \frac{m_1}{m_2} = \frac{V_1}{V_2} = k^3 \]
так как плотность \(\rho = \frac{m}{V}\) постоянна

Формулы объёмов для разных тел

Шар
\[ V = \frac{4}{3} \pi R^3 \]
Куб
\[ V = a^3 \]
Цилиндр
\[ V = \pi R^2 h \]
Конус
\[ V = \frac{1}{3} \pi R^2 h \]
Пирамида
\[ V = \frac{1}{3} a^2 h \]
Параллелепипед
\[ V = abc \]

Условия подобия для разных тел

Тело Условие подобия Пример подобных тел
Шары Всегда подобны Любые два шара
Кубы Всегда подобны Любые два куба
Цилиндры \(\frac{R_1}{R_2} = \frac{h_1}{h_2}\) R=2,h=4 и R=3,h=6
Конусы \(\frac{R_1}{R_2} = \frac{h_1}{h_2}\) R=3,h=9 и R=5,h=15
Пирамиды \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{h_1}{h_2}\) a=4,h=8 и a=6,h=12
Параллелепипеды \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}\) 2×4×6 и 3×6×9
Важно: Подобие определяется пропорциями геометрии тел. Если тела НЕ подобны, отношение объёмов нужно считать через формулы объёмов, а не через \(k^3\).

Универсальный алгоритм решения

Шаг 1. Определите типы тел (шар, куб, цилиндр, конус, пирамида, параллелепипед)
Шаг 2. Проверьте, являются ли тела подобными:
• Шары и кубы — всегда подобны
• Цилиндры: \(\frac{R_1}{R_2} = \frac{h_1}{h_2}\)
• Конусы: \(\frac{R_1}{R_2} = \frac{h_1}{h_2}\)
• Пирамиды (правильные четырёхугольные): \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{h_1}{h_2}\)
• Параллелепипеды: \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}\)
Шаг 3. Если тела подобны, найдите коэффициент подобия \(k\):
\[ k = \frac{L_1}{L_2} \] где \(L\) — любой соответствующий линейный размер (радиус, сторона, высота)
Шаг 4. Примените формулу для объёмов:
\[ \frac{V_1}{V_2} = k^3 \] или для масс однородных тел:
\[ \frac{m_1}{m_2} = k^3 \]
Шаг 5. Если тела НЕ подобны, используйте формулы объёмов:
• Цилиндр: \(V = \pi R^2 h\)
• Конус: \(V = \frac{1}{3} \pi R^2 h\)
• Пирамида: \(V = \frac{1}{3} a^2 h\) (квадратное основание)
• Параллелепипед: \(V = abc\)
Шаг 6. Вычислите и проверьте результат:
• При \(k >1\) объём/масса больше в \(k^3\) раз
• При \(k < 1\) объём/масса меньше в \(\frac{1}{k^3}\) раз
Полезные соотношения:
\(k = 2\) → \(k^3 = 8\) (в 8 раз)
\(k = 3\) → \(k^3 = 27\) (в 27 раз)
\(k = \frac{1}{2}\) → \(k^3 = \frac{1}{8}\) (в 8 раз меньше)
\(k = \frac{2}{3}\) → \(k^3 = \frac{8}{27}\)

Пошаговые примеры для разных тел

Пример 1: Шары (всегда подобны)

Однородный шар диаметром 2 см имеет массу 88 г. Чему равна масса шара из того же материала с диаметром 3 см?

Шаг 1. Тип тел: шары → всегда подобны
Шаг 2. Коэффициент подобия: \(k = \frac{d_2}{d_1} = \frac{3}{2} = 1.5\)
Шаг 3. Отношение масс (однородные тела): \(\frac{m_2}{m_1} = k^3\)
Шаг 4. \(m_2 = m_1 \cdot k^3 = 88 \cdot (1.5)^3\)
Шаг 5. \(m_2 = 88 \cdot 3.375 = 297\) г
Ответ: \(297\) г

Пример 2: Цилиндры (проверка подобия)

Однородный цилиндр с радиусом 8 см и высотой 10 см весит 1600 г. Сколько весит цилиндр из того же материала с радиусом 10 см и высотой 8 см?

Шаг 1. Тип тел: цилиндры
Шаг 2. Проверяем подобие: \(\frac{R_1}{R_2} = \frac{8}{10} = 0.8\), \(\frac{h_1}{h_2} = \frac{10}{8} = 1.25\)
Шаг 3. \(0.8 \neq 1.25\) → цилиндры НЕ подобны
Шаг 4. Считаем через объёмы: \(V = \pi R^2 h\)
Шаг 5. \(V_1 = \pi \cdot 8^2 \cdot 10 = 640\pi\) см³
Шаг 6. \(V_2 = \pi \cdot 10^2 \cdot 8 = 800\pi\) см³
Шаг 7. Отношение объёмов: \(\frac{V_2}{V_1} = \frac{800\pi}{640\pi} = 1.25\)
Шаг 8. Масса: \(m_2 = m_1 \cdot 1.25 = 1600 \cdot 1.25\) = 2000 г
Ответ: \(2000\) г

Пример 3: Конусы (подобные)

Два однородных конуса сделаны из одного материала с сохранением пропорций (подобные). Высота первого 9 см, масса 540 г. Высота второго 12 см. Найдите массу второго конуса.

Шаг 1. Тип тел: конусы
Шаг 2. Подобие задано условием задачи (сохранение пропорций)
Шаг 3. Коэффициент подобия: \(k = \frac{h_2}{h_1} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}\)
Шаг 4. Отношение масс (однородные тела): \(\frac{m_2}{m_1} = k^3 = \left(\frac{4}{3}\right)^3 = \frac{64}{27}\)
Шаг 5. \(m_2 = m_1 \cdot \frac{64}{27} = 540 \cdot \frac{64}{27}\)
Шаг 6. \(540 \div 27 = 20\), затем \(20 \cdot 64 = 1280\) г
Ответ: \(1280\) г

Пример 4: Кубы (всегда подобны)

Два однородных куба сделаны из одного материала. Ребро первого куба 4 см, масса 512 г. Найдите массу второго куба с ребром 6 см.

Шаг 1. Тип тел: кубы → всегда подобны
Шаг 2. Коэффициент подобия: \(k = \frac{a_2}{a_1} = \frac{6}{4} = 1.5\)
Шаг 3. Отношение масс: \(\frac{m_2}{m_1} = k^3 = (1.5)^3 = 3.375\)
Шаг 4. \(m_2 = m_1 \cdot 3.375 = 512 \cdot 3.375\)
Шаг 5. \(512 \cdot 3,375 = 1728\)
Ответ: \(1728\) г

Пример 5: Параллелепипеды (проверка подобия)

Даны два прямоугольных параллелепипеда. Размеры первого: 2×3×5 см, второго: 4×9×10 см. Во сколько раз объём второго больше объёма первого?

Шаг 1. Тип тел: параллелепипеды
Шаг 2. Проверяем подобие: сравниваем отношения соответствующих рёбер:
\(\frac{4}{2} = 2\) (первое ребро), \(\frac{9}{3} = 3\) (второе ребро), \(\frac{10}{5} = 2\) (третье ребро)
Отношения сторон не совпадают: \(2 \neq 3\) → параллелепипеды не подобны
Шаг 3. Так как тела не подобны, нельзя использовать коэффициент подобия. Найдём объёмы напрямую:
\(V_1 = 2 \times 3 \times 5 = 30\) см³
\(V_2 = 4 \times 9 \times 10 = 360\) см³
Шаг 4. Находим отношение объёмов:
\(\frac{V_2}{V_1} = \frac{360}{30} = 12\)
Ответ: объём второго параллелепипеда больше в 12 раз

Задачи для самостоятельного решения

Все задачи с целыми или простыми дробными ответами.

Задача 1: Шары

Однородный шар диаметром 4 см имеет массу 640 г. Чему равна масса шара из того же материала с диаметром 6 см?

Шаг 1. Шары всегда подобны
Шаг 2. \(k = \frac{6}{4} = 1.5\)
Шаг 3. \(\frac{m_2}{m_1} = k^3 = (1.5)^3 = 3.375\)
Шаг 4. \(m_2 = 640 \cdot 3.375 = 2160\) г
Ответ: \(2160\) г

Задача 2: Цилиндры (подобные)

Два подобных цилиндра сделаны из одного материала. Радиус первого 5 см, масса 750 г. Радиус второго 10 см. Найдите массу второго цилиндра.

Шаг 1. Цилиндры подобны (дано)
Шаг 2. \(k = \frac{10}{5} = 2\)
Шаг 3. \(\frac{m_2}{m_1} = k^3 = 2^3 = 8\)
Шаг 4. \(m_2 = 750 \cdot 8 = 6000\) г = 6 кг
Ответ: \(6000\) г (6 кг)

Задача 3: Конусы (не подобные)

Даны два конуса. Радиус основания и высота первого конуса равны соответственно 6 и 1, а второго – 2 и 3. Во сколько раз объём первого конуса больше объёма второго?

Шаг 1. Проверяем подобие: \(\frac{R_1}{R_2} = \frac{6}{2} = 3\), \(\frac{h_1}{h_2} = \frac{1}{3} \approx 0.333\)
Шаг 2. \(3 \neq 0.333\) → конусы НЕ подобны
Шаг 3. Считаем через формулу объёма: \(V = \frac{1}{3} \pi R^2 h\)
Шаг 4. \(V_1 = \frac{1}{3} \pi \cdot 6^2 \cdot 1 = 12\pi\)
Шаг 5. \(V_2 = \frac{1}{3} \pi \cdot 2^2 \cdot 3 = 4\pi\)
Шаг 6. \(\frac{V_1}{V_2} = \frac{12\pi}{4\pi} = 3\)
Ответ: в \(3\) раза

Задача 4: Пирамиды

Две однородные правильные четырёхугольные пирамиды сделаны из одного материала с сохранением пропорций. Сторона основания первой пирамиды 8 см, масса 1024 г. Сторона основания второй пирамиды 12 см. Найдите массу второй пирамиды.

Шаг 1. Пирамиды подобны (сохранение пропорций)
Шаг 2. \(k = \frac{12}{8} = 1.5\)
Шаг 3. \(\frac{m_2}{m_1} = k^3 = (1.5)^3 = 3.375\)
Шаг 4. \(m_2 = 1024 \cdot 3.375 = 3456\) г
Ответ: \(3456\) г

Задача 5: Модель здания

Модель здания имеет высоту 30 см и массу 2.4 кг. Реальная высота здания 15 м. Какова масса материалов, потраченных на строительство, если модель и здание геометрически подобны и сделаны из одного материала?

Шаг 1. Переводим единицы: 15 м = 1500 см
Шаг 2. Тела подобны (дано)
Шаг 3. \(k = \frac{1500}{30} = 50\)
Шаг 4. \(\frac{m_{\text{зд}}}{m_{\text{мод}}} = k^3 = 50^3 = 125\,000\)
Шаг 5. \(m_{\text{зд}} = 2.4 \cdot 125\,000 = 300\,000\) кг = 300 т
Ответ: \(300\,000\) кг (300 тонн)

Прокрутить вверх