где \(h_1\) — начальный уровень, \(h_2\) — конечный уровень жидкости
Визуализация процесса:
До погружения
→
После погружения
Уровень жидкости поднимается на величину \(\Delta h = h_2 - h_1\)
Формулы площадей оснований сосудов
Круг
\[ S = \pi R^2 \]
Квадрат
\[ S = a^2 \]
Прямоугольник
\[ S = a \cdot b \]
Формулы объёмов погружаемых тел
Куб
\[ V = a^3 \]
Шар
\[ V = \frac{4}{3} \pi R^3 \]
Цилиндр
\[ V = \pi R^2 h \]
Конус
\[ V = \frac{1}{3} \pi R^2 h \]
Единицы измерения объёма:
1 м³
= 1000 литров
1 литр
= 1000 см³
1 дм³
= 1 литр
1 мл
= 1 см³
Важные условия применения формулы:
• Тело должно быть полностью погружено
• Сосуд должен иметь постоянное сечение по высоте
• Жидкость не должна выливаться из сосуда
• Все размеры в одной системе единиц
Пошаговый алгоритм решения
Шаг 1. Определите тип сосуда
• Цилиндр → \(S = \pi R^2\)
• Призма с квадратным основанием → \(S = a^2\)
• Призма с прямоугольным основанием → \(S = a \cdot b\)
Шаг 2. Рассчитайте площадь основания
Подставьте известные размеры в соответствующую формулу
Шаг 3. Найдите изменение уровня жидкости
\[ \Delta h = h_2 - h_1 \]
где \(h_1\) — начальный уровень, \(h_2\) — конечный
Шаг 4. Вычислите объём вытесненной жидкости
\[ \Delta V = S \cdot \Delta h \]
Шаг 5. Объём тела равен объёму вытесненной жидкости
\[ V_{\text{тела}} = \Delta V \]
Шаг 6. Если нужно найти размеры тела
Используйте формулу объёма для соответствующей фигуры:
• Куб: \(a = \sqrt[3]{V}\)
• Шар: \(R = \sqrt[3]{\dfrac{3V}{4\pi}}\)
• Цилиндр: \(h = \dfrac{V}{\pi R^2}\) (если известен радиус)
• Конус: \(h = \dfrac{3V}{\pi R^2}\) (если известен радиус)
Шаг 7. Проверка результата
• Объём должен быть положительным числом
• Размеры тела должны быть меньше размеров сосуда
• Ответ должен соответствовать условию задачи
Проверка перед решением:
✓ Тело полностью погружено?
✓ Сосуд имеет постоянное сечение?
✓ Жидкость не выливается?
✓ Все данные в одной системе единиц?
Пошаговые примеры для разных ситуаций
Пример 1: Кубик в квадратной призме
В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы со стороной основания 40 см, налита вода. В бак полностью погрузили металлический кубик. Найдите сторону кубика, если уровень воды поднялся на 5 см.
Шаг 4. Объём вытесненной жидкости: \(\Delta V = S \cdot \Delta h = 100\pi \cdot 5 = 500\pi\) см³
Шаг 5. Объём детали равен объёму вытесненной жидкости
Ответ: \(500\pi\) см³ ≈ 1570.8 см³
Пример 3: Несколько шариков
В цилиндрический стакан радиусом 6 см налита вода. В стакан опустили 27 одинаковых металлических шариков. Уровень воды поднялся на 8 см. Найдите радиус одного шарика.
Шаг 1. Площадь основания стакана: \(S = \pi \cdot 6^2 = 36\pi\) см²
Шаг 2. Объём вытесненной воды: \(\Delta V = 36\pi \cdot 8 = 288\pi\) см³
Шаг 3. Общий объём 27 шариков: \(V_{\text{общ}} = 288\pi\) см³
Шаг 4. Объём одного шарика: \(V_{\text{шар}} = \dfrac{288\pi}{27} = \dfrac{32\pi}{3}\) см³
Шаг 5. Формула объёма шара: \(V = \dfrac{4}{3}\pi R^3\)
Шаг 3. Изменение уровня: \(\Delta h = 34 - 30 = 4\) см
Шаг 4. Объём вытесненной воды: \(\Delta V = 4000 \cdot 4 = 16\,000\) см³
Шаг 5. Объём камня равен объёму вытесненной воды
Ответ: 16 000 см³ = 16 литров
Пример 5: Кубик в квадратном баке
В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы со стороной основания 20 см, налита вода. В бак полностью погрузили металлический куб с ребром 10 см. На сколько сантиметров поднялся уровень воды?
Шаг 1. Определяем тип сосуда: правильная четырёхугольная призма (квадратное основание)
Шаг 2. Площадь основания бака: \(S = 20^2 = 400\) см²
Шаг 5. Изменение уровня воды: \(\Delta h = \dfrac{V_{\text{куба}}}{S_{\text{сосуда}}} = \dfrac{1000}{400} = 2.5\) см
Ответ: уровень воды поднялся на 2.5 см
Задачи для самостоятельного решения
Все задачи с целыми или простыми дробными ответами.
Задача 1: Кубик в призме
В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы со стороной основания 25 см, налита вода. В бак полностью погрузили металлический кубик. Найдите сторону кубика, если уровень воды поднялся на 12,8 см.
Шаг 1. Площадь основания: \(S = 25^2 = 625\) см²
Шаг 2. Объём вытесненной воды: \(\Delta V = 625 \cdot 12.8 = 8000\) см³
Шаг 3. Сторона кубика: \(a = \sqrt[3]{8000} = 20\) см
Ответ: 20 см
Задача 2: Объём детали
В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы со стороной основания 50 см налита жидкость. После погружения детали уровень поднялся на 5 см. Найдите объём детали.
Шаг 1. Площадь основания: \(S = 50^2 = 2500\) см²
Шаг 2. Объём вытесненной жидкости: \(\Delta V = 2500 \cdot 5 = 12\,500\) см³
Ответ: 12 500 см³
Задача 3: Цилиндрический бак
В цилиндрический бак площадью основания 80 см² налита жидкость. После погружения детали уровень поднялся на 10 см. Найдите объём детали.
Шаг 1. \(S = 80\) см² (дано)
Шаг 2. Объём вытесненной жидкости: \(\Delta V = 80 \cdot 10 = 800\) см³
Ответ: 800 см³ = 0,8 литра
Задача 4: Шарики в стакане
В цилиндрический стакан радиусом 4 см налита вода. В стакан опустили 6 одинаковых металлических шариков радиусом 2 см. На сколько поднялся уровень воды?
Шаг 1. Объём одного шарика: \(V_{\text{шар}} = \frac{4}{3}\pi \cdot 2^3 = \frac{32}{3}\pi\) см³
Шаг 2. Общий объём 6 шариков: \(V_{\text{общ}} = 6 \cdot \frac{32}{3}\pi = 64\pi\) см³
Шаг 3. Площадь основания стакана: \(S = \pi \cdot 4^2 = 16\pi\) см²
Шаг 4. Подъём уровня: \(\Delta h = \frac{64\pi}{16\pi} = 4\) см
Ответ: 4 см
Задача 5: Мерный цилиндр
В мерный цилиндр налито 200 мл воды. После погружения детали уровень показал 275 мл. Каков объём детали?
Шаг 1. В мерных цилиндрах объём читается непосредственно по шкале
Шаг 2. Объём детали = конечный объём - начальный объём
Шаг 3. \(V = 275 - 200 = 75\) мл = 75 см³
Ответ: 75 см³
Задача 6: Много шариков
В цилиндрический сосуд радиусом 5 см налита вода. В сосуд опустили 75 одинаковых металлических шариков диаметром 2 см. На сколько поднялся уровень воды?
Шаг 1. Радиус шарика: \(R = 1\) см (диаметр 2 см)
Шаг 2. Объём одного шарика: \(V_1 = \frac{4}{3}\pi \cdot 1^3 = \frac{4}{3}\pi\) см³
Шаг 3. Общий объём 75 шариков: \(V_{\text{общ}} = 75 \cdot \frac{4}{3}\pi = 100\pi\) см³
Шаг 4. Площадь основания сосуда: \(S = \pi \cdot 5^2 = 25\pi\) см²
Шаг 5. Подъём уровня: \(\Delta h = \frac{V_{\text{общ}}}{S} = \frac{100\pi}{25\pi} = 4\) см
