Объём: задачи на переливание

Руководство с алгоритмами, формулами и примерами

Объёмы: Задачи на переливание жидкости

Теория

Алгоритм

Примеры

Практика

Основной принцип и формулы объёмов

Главный закон переливания:
При переливании жидкости из одного сосуда в другой её объём не меняется:

\[ V_1 = V_2 \]

Формулы объёмов для разных сосудов

Цилиндр

\[ V = \pi R^2 h \]

R — радиус основания

Конус ↓

\[ V = \frac{1}{3} \pi R^2 h \]

Вершина вниз

Пирамида ↓

\[ V = \frac{1}{3} a^2 h \]

Квадратное основание

Призма

\[ V = a^2 h \]

Квадратное основание

Параллелепипед

\[ V = abc \]

a, b — стороны дна

Сфера (шар)

\[ V = \frac{4}{3} \pi R^3 \]

Полностью заполнена

Соотношения при переливании

Цилиндр → Цилиндр:

\[ \pi R_1^2 h_1 = \pi R_2^2 h_2 \] \[ h_2 = \frac{R_1^2}{R_2^2} \cdot h_1 \]

Конус → Конус:

\[ \frac{1}{3} \pi R_1^2 h_1 = \frac{1}{3} \pi R_2^2 h_2 \] \[ h_2 = \frac{R_1^2}{R_2^2} \cdot h_1 \]

Коэффициент 1/3 сокращается, поэтому формула такая же, как для цилиндра!

Пирамида → Пирамида:

\[ \frac{1}{3} a_1^2 h_1 = \frac{1}{3} a_2^2 h_2 \] \[ h_2 = \frac{a_1^2}{a_2^2} \cdot h_1 \]

Призма → Призма:

\[ a_1^2 h_1 = a_2^2 h_2 \] \[ h_2 = \frac{a_1^2}{a_2^2} \cdot h_1 \]

Параллелепипед → Параллелепипед:

\[ a_1 b_1 h_1 = a_2 b_2 h_2 \] \[ h_2 = \frac{a_1 b_1}{a_2 b_2} \cdot h_1 \]

⚠️ Важно: Если жидкость переливается из одного типа сосуда в другой (например, цилиндр → конус), коэффициенты 1/3 не сокращаются и их нужно учитывать в расчётах!

Полезное правило: При увеличении линейного размера основания в \(k\) раз, высота уровня жидкости уменьшается в \(k^2\) раз (для фигур с одинаковой формулой объёма).

Универсальный алгоритм решения

Шаг 1. Определите типы сосудов (цилиндр, конус, пирамида, призма, параллелепипед)

Шаг 2. Запишите формулы объёмов для каждого сосуда:
• Цилиндр: \( V = \pi R^2 h \)
• Конус: \( V = \dfrac{1}{3} \pi R^2 h \)
• Пирамида: \( V = \dfrac{1}{3} a^2 h \)
• Призма: \( V = a^2 h \)
• Параллелепипед: \( V = abc \)

Шаг 3. Приравняйте объёмы (закон сохранения):
\[ V_1 = V_2 \]

Шаг 4. Подставьте известные значения и упростите уравнение:
• Сократите общие множители (\(\pi\), коэффициенты 1/3, если они одинаковы)
• Выразите неизвестную величину

Шаг 5. Учтите отношение размеров оснований:
• Если радиус/сторона увеличилась в \(k\) раз → высота уменьшится в \(k^2\) раз
• Для параллелепипеда: площадь основания = \(a \cdot b\)

Шаг 6. Вычислите и проверьте результат:
• Высота должна быть положительной
• При увеличении основания высота должна уменьшиться (и наоборот)

Быстрые формулы для одинаковых типов сосудов:
\[ h_2 = \frac{S_1}{S_2} \cdot h_1 = \frac{1}{k^2} \cdot h_1 \]

где \(S\) — площадь основания, \(k\) — во сколько раз изменился линейный размер

Пошаговые примеры для разных фигур

Пример 1: Цилиндр → Цилиндр

В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 45 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 3 раза больше первого?

Шаг 1. Тип сосудов: цилиндр → цилиндр

Шаг 2. \( V_1 = \pi R_1^2 h_1 \), \( V_2 = \pi R_2^2 h_2 \)

Шаг 3. \( V_1 = V_2 \) → \( \pi R_1^2 \cdot 45 = \pi R_2^2 \cdot h_2 \)

Шаг 4. Диаметр в 3 раза больше ⇒ радиус тоже в 3 раза: \( R_2 = 3R_1 \)

Шаг 5. \( R_1^2 \cdot 45 = (3R_1)^2 \cdot h_2 \) → \( 45R_1^2 = 9R_1^2 \cdot h_2 \)

Шаг 6. Сокращаем \( R_1^2 \): \( 45 = 9h_2 \) → \( h_2 = 5 \) см

Ответ: \( 5 \) см

Пример 2: Конус → Конус

В сосуде, имеющем форму конуса (вершиной вниз), уровень жидкости достигает 27 см. Жидкость перелили в другой конус той же формы, радиус основания которого в 2 раза больше. На какой высоте будет находиться уровень жидкости?

Шаг 1. Тип сосудов: конус → конус

Шаг 2. \( V_1 = \dfrac{1}{3} \pi R_1^2 h_1 \), \( V_2 = \dfrac{1}{3} \pi R_2^2 h_2 \)

Шаг 3. \( V_1 = V_2 \) → \( \dfrac{1}{3} \pi R_1^2 \cdot 27 = \dfrac{1}{3} \pi R_2^2 \cdot h_2 \)

Шаг 4. Радиус в 2 раза больше: \( R_2 = 2R_1 \)

Шаг 5. Коэффициенты \( \dfrac{1}{3} \) и \( \pi \) сокращаются:
\( R_1^2 \cdot 27 = (2R_1)^2 \cdot h_2 \) → \( 27R_1^2 = 4R_1^2 \cdot h_2 \)

Шаг 6. \( 27 = 4h_2 \) → \( h_2 = 6.75 \) см

Ответ: \( 6.75 \) см

Пример 3: Конус → Полный конус

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 4/7 высоты. Объём жидкости равен 80 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху?

Шаг 1. Тип сосудов: конус → полный конус

Шаг 2. Отношение высот: \( \frac{h_1}{H} = \frac{4}{7} \)

Шаг 3. Объём заполненной части: \( V_1 = 80 \) мл

Шаг 4. Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия: \( \frac{V_1}{V} = (\frac{4}{7})^3 \)

Шаг 5. Выразим полный объём сосуда: \( V = V_1 : (\frac{4}{7})^3 = 80 : \frac{64}{343} \)

Шаг 6. Вычисляем полный объём: \( V = 80 \times \frac{343}{64} = 428,75 \) мл

Шаг 7. Находим объём для доливания: \( V_{долить} = V — V_1 = 428,75 — 80 = 348,75 \) мл

Ответ: 348,75 мл

Пример 4: Призма → Призма

Вода в сосуде, имеющем форму правильной четырёхугольной призмы, находится на уровне 128 см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другую призму той же формы, у которой сторона основания в 4 раза больше?

Шаг 1. Тип сосудов: призма → призма

Шаг 2. \( V_1 = a_1^2 h_1 \), \( V_2 = a_2^2 h_2 \)

Шаг 3. \( V_1 = V_2 \) → \( a_1^2 \cdot 128 = a_2^2 \cdot h_2 \)

Шаг 4. Сторона в 4 раза больше: \( a_2 = 4a_1 \)

Шаг 5. \( a_1^2 \cdot 128 = (4a_1)^2 \cdot h_2 \) → \( 128a_1^2 = 16a_1^2 \cdot h_2 \)

Шаг 6. \( 128 = 16h_2 \) → \( h_2 = 8 \) см

Ответ: \( 8 \) см

Пример 5: Параллелепипед → Параллелепипед

В аквариуме размером 60×40 см (дно) вода имеет высоту 30 см. Воду перелили в другой аквариум размером 80×50 см. Найдите новую высоту воды.

Шаг 1. Тип сосудов: параллелепипед → параллелепипед

Шаг 2. \( V_1 = a_1 b_1 h_1 \), \( V_2 = a_2 b_2 h_2 \)

Шаг 3. \( V_1 = V_2 \) → \( 60 \cdot 40 \cdot 30 = 80 \cdot 50 \cdot h_2 \)

Шаг 4. Вычисляем объём: \( 60 \cdot 40 = 2400 \), \( 2400 \cdot 30 = 72\,000 \) см³

Шаг 5. Площадь нового дна: \( 80 \cdot 50 = 4000 \) см²

Шаг 6. \( h_2 = \dfrac{72\,000}{4\,000} = 18 \) см

Ответ: \( 18 \) см

Пример 6: Цилиндр → Конус (разные типы)

В цилиндрическом сосуде радиусом 2 см налита жидкость до высоты 9 см. Жидкость перелили в конус высотой 3 см. Найдите радиус основания конуса.

Шаг 1. Тип сосудов: цилиндр → конус (разные типы!)

Шаг 2. \( V_{\text{цил}} = \pi R_{\text{ц}}^2 h_{\text{ц}} \), \( V_{\text{кон}} = \dfrac{1}{3} \pi R_{\text{к}}^2 h_{\text{к}} \)

Шаг 3. \( V_{\text{цил}} = V_{\text{кон}} \) → \( \pi \cdot 2^2 \cdot 9 = \dfrac{1}{3} \pi R_{\text{к}}^2 \cdot 3 \)

Шаг 4. Упрощаем: \( \pi \cdot 4 \cdot 9 = \pi R_{\text{к}}^2 \) → \( 36\pi = \pi R_{\text{к}}^2 \)

Шаг 5. Сокращаем \(\pi\): \( R_{\text{к}}^2 = 36 \)

Шаг 6. \( R_{\text{к}} = \sqrt{36} = 6 \) см

Ответ: \( 6 \) см

Задачи для самостоятельного решения

Все задачи с целыми или простыми дробными ответами.

Задача 1: Конус → Конус

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 16 см. Жидкость перелили в другой конус той же формы, диаметр основания которого в 4 раза больше. На какой высоте будет находиться уровень жидкости?

Шаг 1. Конус → конус, диаметр в 4 раза больше ⇒ радиус тоже в 4 раза

Шаг 2. \( \dfrac{1}{3} \pi R_1^2 \cdot 16 = \dfrac{1}{3} \pi (4R_1)^2 \cdot h_2 \)

Шаг 3. Сокращаем \( \dfrac{1}{3} \pi \): \( R_1^2 \cdot 16 = 16R_1^2 \cdot h_2 \)

Шаг 4. \( 16 = 16h_2 \) → \( h_2 = 1 \) см

Ответ: \( 1 \) см

Задача 2: Пирамида → Пирамида

Вода в сосуде, имеющем форму правильной четырёхугольной пирамиды, находится на уровне 81 см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другую пирамиду той же формы, у которой сторона основания в 3 раза больше?

Шаг 1. Пирамида → пирамида, сторона в 3 раза больше

Шаг 2. \( \dfrac{1}{3} a_1^2 \cdot 81 = \dfrac{1}{3} (3a_1)^2 \cdot h_2 \)

Шаг 3. Сокращаем \( \dfrac{1}{3} \): \( a_1^2 \cdot 81 = 9a_1^2 \cdot h_2 \)

Шаг 4. \( 81 = 9h_2 \) → \( h_2 = 9 \) см

Ответ: \( 9 \) см

Задача 3: Цилиндр → Цилиндр

В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 5 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить в цилиндр, диаметр которого в 5 раз меньше первого?

Шаг 1. Цилиндр → цилиндр, диаметр в 5 раз меньше ⇒ радиус в 5 раз меньше

Шаг 2. \( \pi R_1^2 \cdot 5 = \pi \left(\dfrac{R_1}{5}\right)^2 \cdot h_2 \)

Шаг 3. \( R_1^2 \cdot 5 = \dfrac{R_1^2}{25} \cdot h_2 \)

Шаг 4. \( 5 = \dfrac{h_2}{25} \) → \( h_2 = 5 \cdot 25 = 125 \) см

Ответ: \( 125 \) см

Задача 4: Призма → Призма

В сосуде, имеющем форму правильной четырёхугольной призмы, вода находится на уровне 75 см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другую призму той же формы, у которой сторона основания в 5 раз меньше?

Шаг 1. Призма → призма, сторона в 5 раз меньше

Шаг 2. \( a_1^2 \cdot 75 = \left(\dfrac{a_1}{5}\right)^2 \cdot h_2 \)

Шаг 3. \( a_1^2 \cdot 75 = \dfrac{a_1^2}{25} \cdot h_2 \)

Шаг 4. \( 75 = \dfrac{h_2}{25} \) → \( h_2 = 75 \cdot 25 = 1875 \) см

Ответ: \( 1875 \) см

Задача 5: Параллелепипед → Параллелепипед

В аквариуме размером 50×30 см вода имеет высоту 40 см. Воду перелили в другой аквариум размером 100×60 см. Найдите новую высоту воды.

Шаг 1. Параллелепипед → параллелепипед

Шаг 2. \( V = 50 \cdot 30 \cdot 40 = 60\,000 \) см³

Шаг 3. Новое дно: \( 100 \cdot 60 = 6\,000 \) см²

Шаг 4. \( h_2 = \dfrac{60\,000}{6\,000} = 10 \) см

Ответ: \( 10 \) см

Задача 6: Объём жидкости в конусе

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 1/2 высоты. Объём сосуда 640 мл. Чему равен объём налитой жидкости? Ответ дайте в миллилитрах.

Шаг 1. Тип задачи: объём жидкости в конусе

Шаг 2. Отношение высот: \( \frac{h_1}{H} = \frac{1}{2} \)

Шаг 3. Полный объём сосуда: \( V = 640 \) мл

Шаг 4. Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия: \( \frac{V_1}{V} = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8} \)

Шаг 5. Выразим объём жидкости: \( V_1 = V \cdot \frac{1}{8} = 640 \cdot \frac{1}{8} \)

Шаг 6. Вычисляем объём жидкости: \( V_1 = 80 \) мл

Ответ: 80 мл

Задача 7: Объём конуса

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 2/5 высоты. Объём жидкости равен 80 мл. Найдите объём сосуда. Ответ дайте в миллилитрах.

Шаг 1. Тип задачи: объём конуса

Шаг 2. Отношение высот: \( \frac{h_1}{H} = \frac{2}{5} \)