Руководство с алгоритмами, формулами и примерами
Теория
Алгоритм
Примеры
Калькулятор
Практика
Основной принцип подобия
Для подобных трёхмерных фигур отношение объёмов равно кубу отношения соответствующих линейных размеров:
\[ \frac{V_{\text{мал}}}{V_{\text{бол}}} = \left( \frac{h_{\text{мал}}}{h_{\text{бол}}} \right)^3 = k^3 \]
⚠️ Формула \(k^3\) применима только когда жидкость образует фигуру, подобную сосуду (общая вершина у конуса/пирамиды).
Формулы для разных тел
Конус ↓ (вершина вниз)
\[ V_{\text{ж}} = V_{\text{п}} \cdot \left( \frac{h_{\text{ж}}}{h} \right)^3 \]
Жидкость от вершины
Конус ↑ (вершина вверх)
\[ V_{\text{ж}} = V_{\text{п}} \cdot \left[ 1 — \left( 1 — \frac{h_{\text{ж}}}{h} \right)^3 \right] \]
Жидкость от дна
Пирамида ↓
\[ V_{\text{ж}} = V_{\text{п}} \cdot \left( \frac{h_{\text{ж}}}{h} \right)^3 \]
Аналогично конусу ↓
Цилиндр
\[ V_{\text{ж}} = V_{\text{п}} \cdot \frac{h_{\text{ж}}}{h} \]
Прямая пропорция
Шар (сфера): Жидкость в шаре не образует подобную фигуру. Объём вычисляется по формуле сегмента шара:
\[ V = \pi h^2 \left( R — \frac{h}{3} \right) \]
где \(h\) — высота слоя жидкости, \(R\) — радиус шара. Такие задачи редки в ЕГЭ/ОГЭ.
\[ V = \pi h^2 \left( R — \frac{h}{3} \right) \]
где \(h\) — высота слоя жидкости, \(R\) — радиус шара. Такие задачи редки в ЕГЭ/ОГЭ.
Полезная таблица для конуса ↓
Высота \(\frac{1}{2}h\) → Объём \(\frac{1}{8}V\) (12,5%)
Высота \(\frac{2}{3}h\) → Объём \(\frac{8}{27}V\) (29,6%)
Высота \(\frac{3}{4}h\) → Объём \(\frac{27}{64}V\) (42,2%)
Высота \(\frac{4}{5}h\) → Объём \(\frac{64}{125}V\) (51,2%)
Высота \(\frac{2}{3}h\) → Объём \(\frac{8}{27}V\) (29,6%)
Высота \(\frac{3}{4}h\) → Объём \(\frac{27}{64}V\) (42,2%)
Высота \(\frac{4}{5}h\) → Объём \(\frac{64}{125}V\) (51,2%)
Универсальный алгоритм решения
-
Определите форму и ориентацию сосуда
Конус/пирамида (вершина вниз или вверх), цилиндр. Для шара — особый случай. -
Найдите точку отсчёта высоты жидкости
От общей вершины (конус ↓, пирамида ↓) или от дна (конус ↑, цилиндр)? -
Вычислите коэффициент подобия \(k\)
\[ k = \frac{\text{высота жидкости}}{\text{полная высота}} \]
Для конуса ↑: сначала найдите высоту пустой части от вершины. -
Выберите формулу в зависимости от тела
• Конус ↓ / Пирамида ↓: \(V_{\text{ж}} = V_{\text{п}} \cdot k^3\)
• Конус ↑: \(V_{\text{ж}} = V_{\text{п}} \cdot (1 — k_{\text{пуст}}^3)\)
• Цилиндр: \(V_{\text{ж}} = V_{\text{п}} \cdot \frac{h_{\text{ж}}}{h}\) -
Подставьте значения и вычислите
Работайте с дробями для точности:
\(2000 \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^3 = 2000 \cdot \frac{64}{125} \) \(16 \cdot 64 = 1024\) -
Проверьте результат
• Объём жидкости < полного объёма
• Для конуса ↓: при \(h_{\text{ж}} = \frac{1}{2}h\) должно быть \(V_{\text{ж}} = \frac{1}{8}V_{\text{п}}\)
Пошаговые примеры
Пример 1: Конус ↓ (вершина вниз)
Условие: В конусе уровень жидкости достигает \(\frac{3}{4}\) высоты. Объём сосуда 256 мл. Найдите объём жидкости.
Шаг 1. Коэффициент подобия:
\(k = \frac{h_{\text{ж}}}{h} = \frac{3}{4}\)
\(k = \frac{h_{\text{ж}}}{h} = \frac{3}{4}\)
Шаг 2. Формула для конуса ↓:
\(V_{\text{ж}} = V_{\text{п}} \cdot k^3\)
\(V_{\text{ж}} = V_{\text{п}} \cdot k^3\)
Шаг 3. Подстановка:
\(V_{\text{ж}} = 256 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^3 = 256 \cdot \frac{27}{64}\)
\(V_{\text{ж}} = 256 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^3 = 256 \cdot \frac{27}{64}\)
Шаг 4. Вычисление:
\(256 \div 64 = 4\), затем \(4 \cdot 27 = 108\)
\(256 \div 64 = 4\), затем \(4 \cdot 27 = 108\)
Ответ: \(108\) мл
Пример 2: Пирамида ↓
Условие: Пирамида объёмом 324 мл заполнена жидкостью до \(\frac{2}{3}\) высоты от вершины. Найдите объём жидкости.
Шаг 1. Коэффициент подобия:
\(k = \frac{2}{3}\)
\(k = \frac{2}{3}\)
Шаг 2. Формула (аналогично конусу ↓):
\(V_{\text{ж}} = V_{\text{п}} \cdot k^3\)
\(V_{\text{ж}} = V_{\text{п}} \cdot k^3\)
Шаг 3. Подстановка:
\(V_{\text{ж}} = 324 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^3 = 324 \cdot \frac{8}{27}\)
\(V_{\text{ж}} = 324 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^3 = 324 \cdot \frac{8}{27}\)
Шаг 4. Вычисление:
\(324 \div 27 = 12\), затем \(12 \cdot 8 = 96\)
\(324 \div 27 = 12\), затем \(12 \cdot 8 = 96\)
Ответ: \(96\) мл
Пример 3: Конус ↑ (вершина вверх)
Условие: Конус объёмом 500 мл (вершиной вверх) заполнен до \(\frac{3}{5}\) высоты от дна. Найдите объём жидкости.
Шаг 1. Высота пустой части от вершины:
\(k_{\text{пуст}} = 1 — \frac{3}{5} = \frac{2}{5}\)
\(k_{\text{пуст}} = 1 — \frac{3}{5} = \frac{2}{5}\)
Шаг 2. Объём пустой части:
\(V_{\text{пуст}} = 500 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^3 = \) \(500 \cdot \frac{8}{125} = 4 \cdot 8 = 32\) мл
\(V_{\text{пуст}} = 500 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^3 = \) \(500 \cdot \frac{8}{125} = 4 \cdot 8 = 32\) мл
Шаг 3. Объём жидкости:
\(V_{\text{ж}} = 500 — 32 = 468\) мл
\(V_{\text{ж}} = 500 — 32 = 468\) мл
Ответ: \(468\) мл
Универсальный калькулятор
Введите дробь в формате «2/3», «3/4» или десятичную дробь «0.75»
Примеры: «1/2», «3/4», «4/5», «0.75»
Практика
Задача 1: Конус ↓
В сосуде, имеющем форму конуса (вершиной вниз), уровень жидкости достигает \(\frac{1}{3}\) высоты. Объём сосуда равен 810 мл. Сколько миллилитров жидкости налито?
Шаг 1. \(k = \frac{1}{3}\)
Шаг 2. \(V_{\text{ж}} = 810 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^3 = 810 \cdot \frac{1}{27}\)
Шаг 3. \(810 \div 27 = 30\)
Ответ: \(30\) мл
Задача 2: Пирамида ↓
Пирамида объёмом 648 мл заполнена жидкостью до \(\frac{5}{6}\) высоты от вершины. Найдите объём жидкости.
Шаг 1. \(k = \frac{5}{6}\)
Шаг 2. \(V_{\text{ж}} = 648 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^3 = 648 \cdot \frac{125}{216}\)
Шаг 3. \(648 \div 216 = 3\), затем \(3 \cdot 125 = 375\)
Ответ: \(375\) мл
Задача 3: Конус ↑
Конус (вершиной вверх) объёмом 1250 мл заполнен жидкостью до \(\frac{4}{5}\) высоты от дна. Найдите объём жидкости.
Шаг 1. Высота пустой части: \(1 — \frac{4}{5} = \frac{1}{5}\)
Шаг 2. Объём пустой части: \(1250 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^3 = 1250 \cdot \frac{1}{125} = 10\) мл
Шаг 3. Объём жидкости: \(1250 — 10 = 1240\) мл
Ответ: \(1240\) мл
Задача 4: Цилиндр
Цилиндрический сосуд объёмом 720 мл заполнен жидкостью до \(\frac{7}{12}\) высоты. Найдите объём жидкости.
Шаг 1. Для цилиндра: \(V_{\text{ж}} = V_{\text{п}} \cdot \frac{h_{\text{ж}}}{h}\)
Шаг 2. \(V_{\text{ж}} = 720 \cdot \frac{7}{12} = 60 \cdot 7 = 420\) мл
Ответ: \(420\) мл
Задача 5: Конус ↓ (обратная задача)
В конусе (вершиной вниз) налито 64 мл жидкости. Это составляет \(\frac{2}{5}\) высоты сосуда. Найдите полный объём сосуда.
Шаг 1. \(k = \frac{2}{5}\), значит \(\frac{V_{\text{ж}}}{V_{\text{п}}} = \left(\frac{2}{5}\right)^3 = \frac{8}{125}\)
Шаг 2. \(V_{\text{п}} = V_{\text{ж}} \div \frac{8}{125} = 64 \cdot \frac{125}{8}\)
Шаг 3. \(64 \div 8 = 8\), затем \(8 \cdot 125 = 1000\)
Ответ: \(1000\) мл