Основные правила интегрирования

Табличные интегралы

Основные формулы, которые нужно знать наизусть:

∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C, n ≠ -1

∫1/x dx = ln|x| + C

∫e^x dx = e^x + C

∫sinx dx = -cosx + C

∫cosx dx = sinx + C

∫a^x dx = a^x/lna + C, a>0, a≠1

Пример применения

∫(x³ + 5) dx = ∫x³ dx + ∫5 dx = x⁴/4 + 5x + C

Линейность интеграла

Интеграл суммы равен сумме интегралов, постоянный множитель можно выносить:

∫[f(x) ± g(x)] dx = ∫f(x) dx ± ∫g(x) dx

∫k·f(x) dx = k·∫f(x) dx, k = const

Пример

∫(3x² — 4cosx + 5/x) dx = 3∫ x² dx — 4∫cosx dx + 5∫1/x dx

= 3·(x³/3) — 4·sinx + 5·ln|x| + C = x³ — 4sinx + 5ln|x| + C

Задача для решения

Найти: ∫(2e^x — 3/x + 4) dx

∫(2e^x — 3/x + 4) dx = 2∫e^x dx — 3∫1/x dx + 4∫ dx

= 2e^x — 3ln|x| + 4x + C

Замена переменной

Используется, когда под интегралом есть сложная функция и её производная:

∫f(g(x))·g'(x) dx = ∫f(u)du, где u = g(x)

Пример 1

∫2x·e^x²dx

Замена: u = x², тогда du = 2xdx

∫e^u du = e^u + C = e^x² + C

Пример 2

∫cos(3x+5) dx

Замена: u = 3x+5, тогда du = 3 dx, dx = du/3

∫cos u · (du/3) = (1/3) ∫cosu du = (1/3)sinu + C = (1/3)sin(3x+5) + C

Задача для решения

Найти: ∫x·sin(x²) dx

Замена: u = x², тогда du = 2x dx, x dx = du/2

∫sin(u) · (du/2) = (1/2)∫sinu du = -(1/2)cosu + C = -(1/2) cos(x²) + C

Интегрирование по частям

Используется для интегралов от произведения функций:

∫u dv = u·v — ∫vdu

Правило выбора u (LIATE):

Логарифмы (ln x)

Обратные тригонометрические

Алгебраические (xⁿ)

Тригонометрические

Экспоненциальные (eˣ)

Пример

∫ x·e^x dx

u = x, dv = e^x dx

du = dx, v = e^x

∫ x·e^x dx = x·e^x — ∫e^x dx = x·e^x — e^x + C = e^x(x-1) + C

Задача для решения

Найти: ∫x·cosx dx

u = x, dv = cosx dx

du = dx, v = sinx

∫x·cosx dx = x·sin x — ∫sinx dx = x·sinx — (-cosx) + C = x·sinx + cosx + C

Алгоритм решения

Порядок действий при нахождении интеграла:

Проверить, нет ли табличного интеграла
Применить свойства линейности
Попробовать метод замены переменной
Для произведений — интегрирование по частям
Для рациональных дробей — разложение
Не забыть добавить константу C!

Важные замечания

• Всегда проверяйте результат дифференцированием!

• Некоторые интегралы не берутся в элементарных функциях

• При замене не забывайте вернуться к исходной переменной

Типовые задачи

Задача 1: Простой интеграл

∫(4x³ — 2x + 7) dx

= 4∫x³dx — 2∫x dx + 7∫dx = 4·(x⁴/4) — 2·(x²/2) + 7x + C

= x⁴ — x² + 7x + C

Задача 2: С заменой переменной

∫(2x+1)⁵ dx

Замена: u = 2x+1, тогда du = 2 dx, dx = du/2

∫u⁵ · (du/2) = (1/2)∫u⁵ du = (1/2)·(u⁶/6) + C = u⁶/12 + C

= (2x+1)⁶/12 + C

Задача 3: По частям

∫lnx dx

u = lnx, dv = dx

du = (1/x)dx, v = x

∫lnx dx = x·ln x — ∫x·(1/x) dx = x·lnx — ∫dx = x·lnx — x + C

ТЕМЫ

ЕГЭ ПРОФИ

Табличные интегралы

Пример применения

Линейность интеграла

Пример

Задача для решения

Замена переменной

Пример 1

Пример 2

Задача для решения

Интегрирование по частям

Пример

Задача для решения

Алгоритм решения

Важные замечания

Типовые задачи

Задача 1: Простой интеграл

Задача 2: С заменой переменной

Задача 3: По частям

Дополнительно