📐 Основные правила комбинаторики
Фундаментальные принципы подсчёта
🎯 Основные правила комбинаторики
➗ Правило суммы (Правило ИЛИ)
Пример 1: Выбор транспорта
Из города A в город B можно добраться 3 поездами или 2 автобусами. Сколько всего способов добраться из A в B?
Решение:
3 (поезда) + 2 (автобусы) = 5 способов
Пример 2: Выбор книги
На полке 4 книги по математике и 3 книги по физике. Сколькими способами можно выбрать одну книгу?
Решение:
4 (математика) + 3 (физика) = 7 способов
✖️ Правило произведения (Правило И)
Пример 1: Комбинация замка
Замок имеет 3 цифры, каждая от 0 до 9. Сколько всего возможных комбинаций?
Решение:
10 × 10 × 10 = 1000 комбинаций
Пример 2: Комплект одежды
У человека 3 рубашки и 4 пары брюк. Сколько разных комплектов он может составить?
Решение:
3 (рубашки) × 4 (брюки) = 12 комплектов
🔀 Принцип включений-исключений
Пример: Студенты и языки
В группе 25 студентов. 15 изучают английский, 12 — французский, 5 — оба языка. Сколько студентов изучает хотя бы один язык?
Решение:
15 + 12 — 5 = 22 студента
🔄 Правило дополнения
Пример: Бросок двух кубиков
Какова вероятность, что сумма двух кубиков будет больше 3?
Решение через дополнение:
Всего исходов: 36
Противоположное событие: сумма ≤ 3
Исходы с суммой ≤ 3: (1,1), (1,2), (2,1) → 3 исхода
P(сумма > 3) = 1 — 3/36 = 33/36 = 11/12
🎮 Интерактивный пример
Задача: Составление меню
В кафе есть 3 первых блюда, 4 вторых блюда и 2 десерта. Сколько разных обедов (первое + второе + десерт) можно составить?
📊 Сравнение правил
| Правило | Когда применять | Формула | Ключевые слова | Пример |
|---|---|---|---|---|
| Суммы | Независимые варианты ИЛИ | m + n | или, либо, любой из | поезд ИЛИ автобус |
| Произведения | Последовательные выборы И | m × n | и, затем, после | рубашка И брюки |
| Включений-исключений | Пересекающиеся множества | |A| + |B| — |A∩B| | хотя бы один, пересекаются | английский И/ИЛИ французский |
| Дополнения | Когда противоположное проще | |U| — |Aᶜ| | не, кроме, противоположное | сумма > 3 (через ≤ 3) |
🎯 Практические задачи
Задача 1: Пароль
Сколько 4-значных паролей можно составить из цифр 0-9?
10 × 10 × 10 × 10 = 10,000
(правило произведения)
Задача 2: Выбор команды
В команду нужно выбрать 1 из 5 программистов и 1 из 3 дизайнеров. Сколько вариантов?
5 × 3 = 15 вариантов
(правило произведения)
Задача 3: Чтение книг
Из 30 студентов 20 читали «Войну и мир», 15 — «Преступление и наказание», 8 — обе книги. Сколько не читали ни одной?
30 — (20 + 15 — 8) = 3 студента
(правило дополнения + включений-исключений)
Основные правила комбинаторики: 12 задач
Правило суммы: если A можно выбрать \(m\) способами, B — \(n\) способами, и нельзя выбрать оба сразу, то «A или B» — \(m + n\) способами.
Правило произведения: если A можно выбрать \(m\) способами, а затем B — \(n\) способами, то «A и B» — \(m \cdot n\) способами.
Условие: В меню 4 вида мороженого и 3 вида пирожных. Сколькими способами можно выбрать один десерт?
Решение:
Выбираем либо мороженое, либо пирожное → правило суммы:
\(4 + 3 = 7\) способов.
Условие: Из города А в город Б можно доехать на поезде (2 маршрута), автобусе (3 маршрута) или самолёте (1 маршрут). Сколькими способами можно добраться?
Решение:
Варианты взаимоисключающие → сумма:
\(2 + 3 + 1 = 6\) способов.
Условие: На день рождения можно подарить книгу (5 вариантов), игрушку (4 варианта) или сертификат (2 варианта). Сколькими способами выбрать подарок?
Решение:
\(5 + 4 + 2 = 11\) способов.
Условие: В школе 6 кружков по математике и 5 — по информатике. Сколькими способами ученик может выбрать один кружок?
Решение:
\(6 + 5 = 11\) способов (предполагается, что кружки не пересекаются по времени).
Условие: На экзамене 12 билетов по алгебре и 8 — по геометрии. Студент вытягивает один билет. Сколькими способами это может быть билет по алгебре или геометрии?
Решение:
\(12 + 8 = 20\) способов.
Условие: У Иры 7 платьев и 9 блузок с юбками. Сколькими способами она может выбрать наряд, если сегодня она наденет либо платье, либо комплект из блузки и юбки?
Решение:
Варианты исключают друг друга → сумма:
\(7 + 9 = 16\) способов.
Условие: У мальчика 4 рубашки, 3 пары брюк и 2 пары туфель. Сколькими способами он может составить комплект «рубашка и брюки и туфли»?
Решение:
Действия последовательны → произведение:
\(4 \cdot 3 \cdot 2 = 24\) способа.
Условие: Код замка состоит из 4 цифр (0–9), и цифры могут повторяться. Сколько всего кодов возможно?
Решение:
На каждую позицию — 10 вариантов →
\(10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^4 = 10\,000\) кодов.
Условие: В меню 3 супа, 5 вторых блюд и 4 напитка. Сколькими способами можно выбрать обед из трёх блюд?
Решение:
\(3 \cdot 5 \cdot 4 = 60\) способов.
Условие: В среду нужно поставить 3 разных урока из 6 предметов. Сколькими способами можно составить расписание?
Решение:
На 1-е место — 6 вариантов, на 2-е — 5, на 3-е — 4 →
\(6 \cdot 5 \cdot 4 = 120\) способов (основано на правиле произведения).
Условие: Из пункта A в пункт B нужно пройти 2 квартала на восток и 3 на север. Сколькими маршрутами можно дойти, двигаясь только вправо и вверх?
Решение:
Любой маршрут — последовательность из 2 «В» и 3 «С». Число таких последовательностей:
\(\displaystyle \binom{5}{2} = 10\).
(Хотя ответ — сочетание, сам подсчёт маршрутов основан на том, что каждый шаг — независимый выбор → правило произведения в основе.)
Условие: В набор входят тарелка, чашка и блюдце. Есть 5 видов тарелок, 4 чашки и 3 блюдца. Сколькими способами собрать набор?
Решение:
\(5 \cdot 4 \cdot 3 = 60\) способов.