В параллелограмме АВСD точка Е — середина стороны АD. Найдите площадь параллелограмма АВСD, если площадь трапеции ВСDE равна 72.
▱
Параллелограмм ABCD
📍
E — середина стороны AD
📊
SBCDE = 72 (площадь трапеции)
🎯
Найти: SABCD (площадь параллелограмма)
Теория
Площадь треугольника
\[ S = \frac{1}{2}ah \]
где a — основание, h — высота.
Площадь параллелограмма
\[ S = ah \]
где a — основание, h — высота.
Медиана делит треугольник на равновеликие части
В данном случае CE — медиана треугольника ACD.
Решение
1
Проведём высоту BH к основанию AD. Пусть AD = a, BH = h.
Тогда площадь параллелограмма:
\[ S_{ABCD} = a \cdot h \]
2
E — середина AD, значит AE = ED = \( \frac{a}{2} \).
Площадь треугольника ABE:
\[ S_{\triangle ABE} = \frac{1}{2} \cdot AE \cdot h = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot h = \frac{ah}{4} \]
3
Трапеция BCDE состоит из параллелограмма без треугольника ABE:
\[ S_{BCDE} = S_{ABCD} — S_{\triangle ABE} \]
\[ S_{BCDE} = ah — \frac{ah}{4} = \frac{3ah}{4} \]
4
По условию \( S_{BCDE} = 72 \):
\[ \frac{3ah}{4} = 72 \]
\[ ah = \frac{72 \cdot 4}{3} = 96 \]
5
Площадь параллелограмма:
\[ S_{ABCD} = ah = 96 \]
Площадь параллелограмма:
96
\( S_{ABCD} = 96 \)