Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 3 : 4, считая от вершины острого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 33.
Теория
Свойство биссектрисы угла параллелограмма
Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
Свойство параллелограмма
В параллелограмме противоположные стороны равны:
Периметр параллелограмма
Решение
Рассмотрим параллелограмм \( ABCD \), где \( \angle B \) — тупой угол.
Проведем биссектрису \( BM \) угла \( B \), которая пересекает сторону \( AD \) в точке \( M \).
По условию биссектриса делит \( AD \) в отношении \( 3:4 \), считая от вершины \( A \):
Обозначим \( AM = 3x \), \( MD = 4x \). Тогда вся сторона \( AD = 7x \).
Так как \( BC \parallel AD \) в параллелограмме, то \( \angle MBC = \angle BMA \) (накрест лежащие углы).
Но \( BM \) — биссектриса, поэтому \( \angle ABM = \angle MBC \).
Следовательно:
Рассмотрим треугольник \( ABM \). В нём углы при основании \( BM \) равны:
Значит, треугольник \( ABM \) — равнобедренный:
Теперь мы знаем:
В параллелограмме \( BC = AD = 7x \), \( CD = AB = 3x \).
Находим периметр:
По условию \( P = 33 \), поэтому:
Находим стороны:
Бóльшая сторона — \( BC = 11.55 \).
Можно также записать ответ в виде обыкновенной дроби: