Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 6. Найдите его большую сторону.
Теория
Свойства параллелограмма
В параллелограмме:
- Противоположные стороны равны: \( AB = CD \), \( BC = AD \)
- Противоположные углы равны
- Сумма соседних углов равна \( 180^\circ \)
Свойство биссектрисы параллелограмма
Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
Признак равнобедренного треугольника
Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.
Решение
Рассмотрим параллелограмм \( ABCD \). Пусть \( \angle A \) — острый, \( \angle B \) — тупой.
Биссектриса тупого угла \( B \) пересекает сторону \( AD \) в точке \( E \).
По условию: \( AE : ED = 3 : 4 \) (считая от вершины острого угла \( A \)).
Обозначим \( AE = 3x \), \( ED = 4x \), тогда \( AD = 7x \).
Докажем, что треугольник \( ABE \) — равнобедренный.
В параллелограмме \( AD \parallel BC \), поэтому:
Но \( BE \) — биссектриса, поэтому \( \angle ABE = \angle CBE \).
Значит:
Следовательно, треугольник \( ABE \) равнобедренный: \( AB = AE = 3x \).
Теперь стороны параллелограмма:
Большая сторона — \( AD = BC = 7x \), меньшая — \( AB = CD = 3x \).
Периметр параллелограмма:
По условию \( P = 33 \), поэтому:
Находим большую сторону:
Проверим в дробях:
Меньшая сторона:
Проверка периметра: