Представляем интерактивный тренажёр по планиметрии. Это не просто сборник задач — это полноценная система подготовки, сочетающая теорию, практику и самопроверку.
📚 Планиметрия: шпаргалка
1. Треугольники
- Периметр: \( P = a + b + c \)
- Площадь: \( S = \frac{1}{2}ah = \frac{1}{2}ab\sin C = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \)
- Теорема Пифагора: \( c^2 = a^2 + b^2 \) (прямоугольный)
- Синусов: \( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \)
- Косинусов: \( c^2 = a^2 + b^2 — 2ab\cos C \)
- Высота в прямоугольном: \( CH^2 = AH \cdot HB \)
- Биссектриса: \( \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC} \)
- Медиана к основанию равнобедренного: \( m = \sqrt{a^2 — \left(\frac{c}{2}\right)^2} \)
- Радиус вписанной: \( r = \frac{S}{p} \)
- Радиус описанной: \( R = \frac{abc}{4S} \)
2. Четырёхугольники
- Параллелограмм: \( S = ah = ab\sin\alpha \)
- Ромб: \( S = \frac{1}{2}d_1 d_2 \), диагонали ⊥
- Прямоугольник: диагонали равны, \( S = ab \)
- Квадрат: \( d = a\sqrt{2} \), \( S = a^2 \)
- Трапеция: \( S = \frac{a + b}{2}h \), средняя линия \( m = \frac{a + b}{2} \)
- Если диагонали ⊥: \( S = \frac{1}{2}d_1 d_2 \)
- Свойство боковой стороны в равнобедренной трапеции: \( c = \frac{a — b}{2\cos\alpha} \)
3. Окружности
- Длина: \( L = 2\pi R \)
- Площадь: \( S = \pi R^2 \)
- Дуга: \( L = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi R \)
- Вписанный угол: \( \angle = \frac{1}{2} \overset{\frown}{AB} \)
- Центральный угол = дуге
- Касательная ⊥ радиусу
- Хорды: \( AE \cdot EB = CE \cdot ED \)
- Касательная и секущая: \( AT^2 = AB \cdot AC \)
- Радиус описанной около прямоугольного: \( R = \frac{c}{2} \)
4. Тригонометрия
- sin α = противолежащий катет / гипотенуза
- cos α = прилежащий катет / гипотенуза
- tg α = противолежащий / прилежащий = sin α / cos α
- Табличные значения:
- sin 30° = 0.5, cos 60° = 0.5
- sin 45° = cos 45° = √2/2 ≈ 0.71
- sin 60° = cos 30° = √3/2 ≈ 0.87
- tg 30° ≈ 0.58, tg 45° = 1, tg 60° ≈ 1.73
- В равнобедренном треугольнике: высота к основанию делит угол пополам
- В параллелограмме: высота = сторона · sin(угла)
- Основное тождество: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \)
🎯 Решить задачу
Выберите тему:
Выберите уровень: