Интерактивный тренажёр для изучения вычисления площади криволинейной трапеции с помощью первообразной (формула Ньютона-Лейбница). Позволяет настраивать параметры квадратичной функции и границы интегрирования, визуализируя площадь фигуры.
📐 Формула Ньютона-Лейбница
где F(x) — первообразная функции f(x), то есть F'(x) = f(x).
Площадь криволинейной трапеции:
Если f(x) ≥ 0 на [a, b], то площадь под графиком:
Если f(x) ≤ 0 на [a, b], то площадь над графиком:
Если функция меняет знак, площадь считается по частям:
где c — точка пересечения с осью Ox.
Первообразная для текущей функции:
⚠️ Важные особенности
1. Учёт знака функции
Площадь всегда положительна! Если функция отрицательна, берём модуль:
2. Разбиение на интервалы
Если функция пересекает ось Ox внутри отрезка [a, b], нужно разбить на части:
- Найти все корни на [a, b]
- Для каждого интервала определить знак f(x)
- Сложить модули интегралов
3. Формула для текущего случая
Площадь вычисляется как сумма модулей интегралов на интервалах между корнями и границами:
4. Настройка границ
В этом тренажёре вы можете самостоятельно задавать границы интегрирования a и b. Красные вертикальные линии показывают эти границы. Площадь считается только между ними.
📌 Пример 1: Парабола выше оси
f(x) = x² + 1 на [-1, 2]
Корней нет, функция положительна → S = F(2) — F(-1)
F(x) = x³/3 + x
S = (8/3 + 2) — (-1/3 — 1) = 6
📌 Пример 2: Парабола ниже оси
f(x) = –x² на [0, 2]
Функция отрицательна → S = |F(2) — F(0)|
F(x) = –x³/3
S = |–8/3 — 0| = 8/3
📌 Пример 3: Смена знака
f(x) = x² — 4 на [-2, 3]
Корни: x = ±2
На [-2, 2] функция ≤ 0, на [2, 3] ≥ 0
F(x) = x³/3 — 4x
S = |F(2) — F(-2)| + (F(3) — F(2)) = 32/3 + 7/3 = 13
📌 Текущий пример
f(x) = 1.0x² + 0.0x — 2.0
Корни: x₁ = -2.0, x₂ = 1.0
Границы: a = -2.0, b = 1.0
Площадь = 4.5
📊 Таблица основных первообразных
| Функция f(x) | Первообразная F(x) |
|---|---|
| k (константа) | kx + C |
| xⁿ (n ≠ -1) | xⁿ⁺¹/(n+1) + C |
| 1/x | ln|x| + C |
| eˣ | eˣ + C |
| aˣ | aˣ/ln a + C |
| sin x | -cos x + C |
| cos x | sin x + C |
| 1/cos²x | tg x + C |
| 1/sin²x | -ctg x + C |
| 1/√(1-x²) | arcsin x + C |
| 1/(1+x²) | arctg x + C |
📐 Для квадратичной функции:
| ax² | ax³/3 |
| bx | bx²/2 |
| c | cx |