Тренажёр представляет собой интерактивное приложение для отработки навыков решения задач на вычисление объёмов геометрических тел в практических контекстах. Вместо абстрактных формул пользователь сталкивается с реальными объектами: коробками, кружками, арбузами, строительными колоннами и другими предметами, чьи формы соответствуют призмам, цилиндрам, конусам, шарам и пирамидам.
Ключевая особенность — динамическая генерация заданий: из базы 15 разнообразных задач каждый раз случайным образом выбирается 5, что обеспечивает высокую вариативность и предотвращает заучивание шаблонов.
Все формулы по геометрии для 9–11 классов: площади, объёмы и поверхности — в одной таблице
📐 Площади плоских фигур
Треугольники
| Формула | Обозначения |
|---|---|
| \( S = \dfrac{1}{2}ah \) | \( a \) — основание, \( h \) — высота |
| \( S = \dfrac{1}{2}ab\sin\gamma \) | \( a, b \) — стороны, \( \gamma \) — угол между ними |
| \( S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \) | \( p = \dfrac{a+b+c}{2} \) — полупериметр |
| \( S = pr \) | \( r \) — радиус вписанной окружности |
| \( S = \dfrac{abc}{4R} \) | \( R \) — радиус описанной окружности |
Четырёхугольники
| Фигура | Формула |
|---|---|
| Прямоугольник | \( S = ab \) |
| Квадрат | \( S = a^2 \) |
| Параллелограмм | \( S = ah \) |
| Ромб | \( S = ah = \dfrac{1}{2}d_1d_2 \) |
| Трапеция | \( S = \dfrac{a + b}{2} \cdot h \) |
Окружность и её части
| Фигура | Формула |
|---|---|
| Круг | \( S = \pi r^2 \) |
| Сектор (угол в градусах) | \( S = \dfrac{\pi r^2 \alpha}{360^\circ} \) |
| Сектор (угол в радианах) | \( S = \dfrac{1}{2} r^2 \alpha \) |
📦 Объёмы и площади поверхностей тел
Призма (любая)
| Объём | \( V = S_{\text{осн}} \cdot h \) |
| Полная поверхность | \( S_{\text{полн}} = 2S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} \) |
| Боковая поверхность (прямая) | \( S_{\text{бок}} = P_{\text{осн}} \cdot h \) |
Пирамида (любая)
| Объём | \( V = \dfrac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot h \) |
| Полная поверхность | \( S_{\text{полн}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} \) |
Для правильной пирамиды: \( S_{\text{бок}} = \dfrac{1}{2} P_{\text{осн}} \cdot l \), где \( l \) — апофема.
Тела вращения
| Тело | Объём \( V \) | Площадь поверхности \( S \) |
|---|---|---|
| Цилиндр | \( \pi r^2 h \) | \( 2\pi r(r + h) \) |
| Конус | \( \dfrac{1}{3} \pi r^2 h \) | \( \pi r(r + l) \), где \( l = \sqrt{r^2 + h^2} \) |
| Шар | \( \dfrac{4}{3} \pi r^3 \) | \( 4\pi r^2 \) |
Куб и параллелепипед
| Тело | Объём | Площадь поверхности |
|---|---|---|
| Куб (ребро \( a \)) | \( a^3 \) | \( 6a^2 \) |
| Прямоугольный параллелепипед (\( a, b, c \)) | \( abc \) | \( 2(ab + bc + ac) \) |
Тренажёр: Объёмы в реальных ситуациях
Решайте задачи на вычисление объёмов различных геометрических тел в практических ситуациях. Каждый раз выбирается 5 случайных задач из 15 возможных!
Ваш прогресс
Решено: 0 из 5 задач
Решение:
Ответ: