Рассмотрим уравнения, в котором неизвестная переменная содержится:
- в показателе степени (показательная часть), и/или
- под знаком логарифма (логарифмическая часть).
Часто переменная встречается и там, и там.
Тип 1. x^logax=b
ОДЗ: a > 0, \quad a \neq 1, \quad b > 0, \quad x > 0
Критерий существования решений
Уравнение xlogax=b имеет решения тогда и только тогда, когда:
\log_a b \geq 0
Количество решений:
- logab<0 — нет решений
- logab>0 — два решения
- logab=0 — одно решение x=1
Общая схема решения
1.Логарифмируем обе части по основанию a:
\log_a \left( x^{\log_a x} \right) = \log_a b2.Применяем свойство логарифма степени:
\log_a x \cdot \log_a x = \log_a b\\ (\log_a x)^2 = \log_a b
3.Вводим замену
t = \log_a x\\ Получаем: t^2 = \log_a b
4.Находим t:
t_{1,2} = \pm \sqrt{\log_a b}\\
\text{Условие существования корней}:\log_a b \geq 05.Возвращаемся к x:
x = a^t\\
x_1 = a^{\sqrt{\log_a b}}, \quad x_2 = a^{-\sqrt{\log_a b}}6.Проверить корни по ОДЗ
Полезные тождества
\begin{align*}
a^{\log_a b} &= b \\
\log_a (m^n) &= n \cdot \log_a m \\
x^{\log_a x} &= a^{(\log_a x)^2}
\end{align*}Ключевое тождество:
x^{\log_a x} = a^{(\log_a x)^2}Доказательство:
\begin{align*}
x^{\log_a x} &= \left(a^{\log_a x}\right)^{\log_a x} \\
&= a^{(\log_a x) \cdot (\log_a x)} \\
&= a^{(\log_a x)^2}
\end{align*}Пример 1.1
Решить уравнение
x^{\log_2 x} = 16 \\
Способ 1: Используем тождество
\begin{align*}
x^{\log_2 x} &= 16 \\
2^{(\log_2 x)^2} &= 16 \\
2^{(\log_2 x)^2} &= 2^4 \\
(\log_2 x)^2 &= 4 \\
\log_2 x &= \pm 2
\end{align*}\\
\log_2 x = 2 \Rightarrow x = 2^2 = 4\\
\log_2 x = -2 \Rightarrow x = 2^{-2} = \frac{1}{4}Способ 2: Стандартное логарифмирование
\begin{align*}
x^{\log_2 x} &= 16 \\
\log_2(x^{\log_2 x}) &= \log_2 16 \\
(\log_2 x) \cdot (\log_2 x) &= 4 \\
(\log_2 x)^2 &= 4 \\
\log_2 x &= \pm 2 \\
x = 4, &\quad x = \frac{1}{4}
\end{align*}Проверка ОДЗ:
x≠1 — оба корня удовлетворяют
x>0 — оба корня удовлетворяют
\boxed{4} \quad \text{и} \quad \boxed{1/4}Пример 1.2
Решить уравнение
x^{\log_3 x} = 81\\Способ 2: Стандартное логарифмирование
x^{\log_3 x} = 81\\
\log_3 \left( x^{\log_3 x} \right) = \log_3 81\\
(\log_3 x)^2 = \log_2 81\\
\log_3 x = \pm \sqrt{\log_3 81}=\pm\sqrt{4} =\pm2\\
x_1 = 9 \\
x_2 = \frac{1}{9}\boxed{9} \quad \text{и} \quad \boxed{1/9}Пример 1.3
Решить уравнение
x^{\log_x(3) + 1} = 9\\
Шаг 1: Записываем ОДЗ
\begin{cases}
x > 0 \\
x \neq 1
\end{cases}Шаг 2: Упрощаем левую часть
Используем свойства степеней:
x^{\log_x(3) + 1} = x^{\log_x(3)} \cdot x^1 = 3 \cdot xШаг 3: Решаем линейное уравнение
3x = 9\\
x = \frac{9}{3} = 3Шаг 4: Проверяем ОДЗ
- x=3>0 ✓
- x=3≠1 ✓
\boxed{3}Пример 1.4.
Решить уравнение
x^{\lg x} = 100x, x > 0\\Шаг 1: Логарифмируем обе части (по основанию 10)
\begin{align*}
x^{\lg x} &= 100x \\
\lg(x^{\lg x}) &= \lg(100x) \\
(\lg x) \cdot (\lg x) &= \lg 100 + \lg x \\
(\lg x)^2 &= 2 + \lg x
\end{align*}Шаг 2: Получаем квадратное уравнение
(\lg x)^2 - \lg x - 2 = 0
Шаг 3: Замена переменной
Пусть t=lgx, тогда:
t^2 - t - 2 = 0
Решаем квадратное уравнение:
D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9\\
t_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}\\
t_1 = 2, \quad t_2 = -1Шаг 4: Возвращаемся к переменной x
\lg x = 2 \Rightarrow x = 10^2 = 100\\
\lg x = -1 \Rightarrow x = 10^{-1} = 0.1Шаг 5: Проверяем ОДЗ
Оба корня x=100>0 и x=0.1>0 удовлетворяют ОДЗ.
\boxed{100} \quad \text{и} \quad \boxed{0.1}Пример 1.5
Решить уравнение
x^{\log_3 x} = 9x\\
Способ 1: Логарифмирование и замена
\begin{align*}
x^{\log_3 x} &= 9x \\
\log_3 \left( x^{\log_3 x} \right) &= \log_3 (9x) \\
(\log_3 x)^2 &= \log_3 9 + \log_3 x \\
(\log_3 x)^2 &= 2 + \log_3 x \\
(\log_3 x)^2 - \log_3 x - 2 &= 0 \\
t^2 - t - 2 &= 0, \quad \text{где } t = \log_3 x \\
t_1 = 2, &\quad t_2 = -1 \\
x_1 = 3^2 = 9, &\quad x_2 = 3^{-1} = \frac{1}{3}
\end{align*}Способ 2: Преобразование и замена
\begin{align*}
x^{\log_3 x} &= 9x \\
x^{\log_3 x - 1} &= 9 \quad \text{(делим на } x \text{)} \\
\log_3 \left( x^{\log_3 x - 1} \right) &= \log_3 9 \\
(\log_3 x - 1) \cdot \log_3 x &= 2 \\
t(t - 1) &= 2, \quad \text{где } t = \log_3 x \\
t^2 - t - 2 &= 0 \\
t_1 = 2, &\quad t_2 = -1 \\
x_1 = 9, &\quad x_2 = \frac{1}{3}
\end{align*}Проверка ОДЗ: x>0 — оба корня подходят.
\boxed{9} \quad \text{и} \quad \boxed{1/3}Пример 1.6
x^{log_2 x} = 4x\\
Решение:\\
ОДЗ: x > 0\\
\text{Логарифмируем по основанию 2: }\\
log_2(x^{log_2 x}) = log_2(4x)\\
log_2 x · log_2 x = log_2 4 + log_2 x\\
(log_2 x)² = 2 + log_2 x\\
Замена: t = log_2 x\\
t² - t - 2 = 0\\
t = (1 ± 3)/2\\
x = 2^2=4\\
x = 2^{(-1)}=1/2\\\boxed{4} \quad \text{и} \quad \boxed{1/2}Пример 1.7
Решить уравнение
log_2 x + 2^{log_2(x) }= 1,\\
x > 0Шаг 1: Упрощаем второе слагаемое
2^{\log_2(x)} = x\\
\log_2x + x = 1Функция f(x)=x+log2(x) строго возрастает на (0,+∞), так как:
- x возрастает
- log2(x) возрастает
Значит, уравнение имеет не более одного решения.
Шаг 2: Ищем решение подбором
1 + \log_2(1) = 1 + 0 = 1 \quad \text{✓}Шаг 3: Проверяем ОДЗ
x=1>0 ✓
Проверка:
\log_2(1) + 2^{\log_2(1)} = 0 + 2^0 = 0 + 1 = 1 \quad ✓\boxed{4}Особый случай
x^{\log_x 5} = 5\\Шаг 1: Анализ ОДЗ
\begin{cases}
x > 0 & \text{(основание степени)} \\
x \neq 1 & \text{(основание логарифма)}
\end{cases}Шаг 2: Применение основного тождества
Используем тождество:
a^{\log_a(b)} = b\\
x^{\log_x(5)} = 5Шаг 3: Проверка
Тождество выполняется автоматически для всех x, входящих в ОДЗ.
Шаг 4: Окончательный ответ
x \in (0, 1) \cup (1, +\infty)
Пояснение: Это не уравнение, а тождество, которое выполняется для всех допустимых значений xx.
Тип 2. x^x=a
x^x = a\\ x > 0
Основание положительной степени должно быть положительным.
Общая схема решения
1.Логарифмируем обе части (обычно по основанию e или 10):
\ln(x^x) = \ln a
2.Применяем свойство логарифма степени:
x \cdot \ln x = \ln a
Это трансцендентное уравнение — в общем случае решается численно или графически.
Критерии существования решений
Уравнение xx=a имеет:
- Нет решений, если a<e−1/e
- Одно решение, если a>1 или a=e−1/e
- Два решения, если e−1/e<a<1
Пример 2.1
Решите уравнение:
x^x = 1
Решение:
\begin{align*}
x^x &= 1 \\
\ln(x^x) &= \ln 1 \\
x \cdot \ln x &= 0 \\
x = 0 &\quad \text{или} \quad \ln x = 0 \\
x = 0 &\quad \text{или} \quad x = 1
\end{align*}Проверка ОДЗ: x>0 ⇒ x=0не подходит
\boxed{1}Пример 2.2
x^x = 27
Решение
\begin{align*}
x^x &= 27 \\
\ln(x^x) &= \ln 27 \\
x \cdot \ln x &= \ln(3^3) \\
x \cdot \ln x &= 3 \ln 3
\end{align*}Очевидное решение: x=3
3 \cdot \ln 3 = 3 \ln 3 \quad \text{✓}Проверяем ОДЗ
x > 0 \quad \Rightarrow \quad x = 3 > 0 \quad \text{✓}Примечание: В данном случае решение находится легко, так как 27 — это полный куб (3^3), и ответ очевиден. Для других значений правой части может потребоваться численное решение.
\begin{align*}
x^x &= 27 \\
x^x &= 3^3
\end{align*}\boxed{3}Пример 2.3: Специальный случай a=x
Решите уравнение:
x^x = x
Решение:
\begin{align*}
x^x &= x \\
x^x - x &= 0 \\
x(x^{x-1} - 1) &= 0 \\
x = 0 &\quad \text{или} \quad x^{x-1} = 1
\end{align*}Решаем уравнение
\begin{align*}
x^{x-1} &= 1 \\
\ln(x^{x-1}) &= \ln 1 \\
(x-1) \cdot \ln x &= 0 \\
x = 1 &\quad \text{или} \quad \ln x = 0 \Rightarrow x = 1
\end{align*}Проверка ОДЗ: x>0 ⇒ x=0 не подходит
\boxed{1}Тип 3. (f(x))^g(x)=(f(x))^h(x)
Если основания одинаковые и зависят от x , нельзя просто приравнять показатели! Нужно рассмотреть случаи.
(f(x))^{g(x)} = (f(x))^{h(x)}\\
f(x) > 0 \quad \text{(основание степени должно быть положительным)}Способ 1: Приравнивание показателей
Применим, когда основания равны и положительны:
(f(x))^{g(x)} = (f(x))^{h(x)} \Rightarrow g(x) = h(x)\\
Условие: f(x) > 0, \quad f(x) \neq 1Способ 2: Логарифмирование
\begin{align*}
(f(x))^{g(x)} &= (f(x))^{h(x)} \\
\ln((f(x))^{g(x)}) &= \ln((f(x))^{h(x)}) \\
g(x) \cdot \ln f(x) &= h(x) \cdot \ln f(x) \\
[g(x) - h(x)] \cdot \ln f(x) &= 0
\end{align*}Получаем две возможности:
g(x) - h(x) = 0 \quad \text{или} \quad \ln f(x) = 0Специальные случаи основания
f(x)=1\\ f(x)=0\\ f(x)=−1\\
Общая схема решения
\begin{align*}
&\text{1. Найти ОДЗ: } f(x) > 0 \\
&\text{2. Решить: } g(x) = h(x) \\
&\text{3. Решить: } f(x) = 1 \\
&\text{4. Проверить особые случаи:} \\
&\quad - f(x) = 0 \text{ (если показатели > 0)} \\
&\quad - f(x) = -1 \text{ (для целых показателей)} \\
&\text{5. В ответ включить ВСЕ корни, дающие верное равенство}
\end{align*}Критерии существования решений
Для случая f(x)=1
Уравнение:
1^{g(x)} = 1^{h(x)}Получаем: 1=1 — тождественно верно! ✓
1^{\text{любое число}} = 1\\
1^{g(x)} = 1 \quad \text{и} \quad 1^{h(x)} = 1Когда f(x)=1f(x)=1 даёт решение?
Всегда, когда это математически корректно!
Для случая f(x)=0
Когда f(x)=0 может быть решением?
Только когда показатели положительные:
- 0положительное=0
- 00 — не определено
- 0отрицательное — не определено
Пример:
0^{x+1} = 0^{2x-1} Если x+1>0 и 2x−1>0 ⇒ 0=0 ✓
Но нужно следить, чтобы не было 00
Для случая f(x)=-1
Когда f(x)=−1 даёт решение?
Только когда показатели g(x) и h(x) имеют одинаковую чётность:
(-1)^{g(x)} = (-1)^{h(x)} \Rightarrow g(x) \equiv h(x) \pmod{2}Пример:
(-1)^{x^2} = (-1)^{2x} \Rightarrow x^2 \text{и } 2x \text{ всегда чётные ⇒ равенство выполняется для всех x}
Вывод: Уравнение имеет решения когда:
- Основание равно -1, а показатели — целые числа одинаковой чётности
- Показатели равны: g(x)=h(x)
- Основание равно 1: f(x)=1
- Основание равно 0, а показатели положительны
ОДЗ f(x)>0 относится только к методу приравнивания показателей, но не отменяет проверку особых случаев!
Пример 3.1
Решите уравнение:
(x+2)^{x-1} = (x+2)^{2x-3}\\
Условие:x+2 > 0, \quad x>-2
Способ 1: Приравнивание показателей
\begin{align*}
x - 1 &= 2x - 3 \\
-x &= -2 \\
x &= 2
\end{align*}Проверяем ОДЗ: 2>−2 ✓
Способ 2: Логарифмирование
\begin{align*}
(x+2)^{x-1} &= (x+2)^{2x-3} \\
(x-1)\ln(x+2) &= (2x-3)\ln(x+2) \\
(x-1-2x+3)\ln(x+2) &= 0 \\
(-x+2)\ln(x+2) &= 0
\end{align*}Два случая:
-x+2 = 0 \quad \text{или} \quad \ln(x+2) = 0 \\
x= 2 \quad \text{или} \quad x+2=1 \Rightarrow x=- 1 \\Проверяем ОДЗ: 2>−2 , -1 >-2✓
Особые случаи:
x+2=1 \Rightarrow x=- 1 \\
x+2=0 \Rightarrow x=-2 \\
x = -2 \Rightarrow 0^{-3} = 0^{-7} \quad \text{не определено}\\x+2=-1 \Rightarrow x=-3\\
x = -3 \Rightarrow (-1)^{-4} = (-1)^{-9} \Rightarrow 1 = -1 \quad \text{✗}\\\boxed{2} \quad \text{и} \quad \boxed{-1}Пример 3.2
Решите уравнение:
(x-3)^{x^2+4} = (x-3)^{2x}\\
Условие:x-3 > 0, \quad x>3
Метод логарифмирования:
\begin{align*}
(x-3)^{x^2+4} &= (x-3)^{2x} \\
(x^2+4)\ln(x-3) &= 2x\ln(x-3) \\
(x^2+4-2x)\ln(x-3) &= 0 \\
(x^2-2x+4)\ln(x-3) &= 0
\end{align*}Два случая:
Случай 1:
x^2-2x+4=0\\ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12 < 0
Действительных корней нет.
Случай 2:
\ln(x-3) = 0\Rightarrow x-3=1 \Rightarrow x=4\\
Проверяем ОДЗ: 4>3 ✓
Шаг 2: Проверка особых случаев основания
x-3=1 \\ x = 4 \quad \Rightarrow \ln(x-3) = 0
x-3=0\\
x = 3 \Rightarrow 0^{13} = 0^6 \Rightarrow 0 = 0 \quad \text{✓}x-3=-1 \\
x = 2 \Rightarrow (-1)^8 = (-1)^4 \Rightarrow 1 = 1 \quad \text{✓}Шаг 3: Проверка ОДЗ и отбор корней
Все три корня удовлетворяют уравнению.
\boxed{4}, \quad \boxed{3}, \quad \boxed{2}Пример 3.3
Решите уравнение:
(x-1)^{x+2} = (x-1)^{2x-1}Решение:
Рассматриваем все случаи:
Случай 1:
x−1>0 и x−1≠1\\ x + 2 = 2x - 1 \Rightarrow x = 3
Проверяем: 3−1=2>0, 2≠1
Случай 2:
x−1=1\\
x = 2 \Rightarrow 1^{4} = 1^{3} \Rightarrow 1 = 1 \quad \text{✓}Случай 3:
x−1=0 \\
x = 1 \Rightarrow 0^3 = 0^1 \Rightarrow 0 = 0 \quad \text{✓}Случай 4:(для целых показателей)
x−1=−1\\
x = 0 \Rightarrow (-1)^2 = (-1)^{-1} \Rightarrow 1 = -1 \quad \text{✗}\boxed{3}, \quad \boxed{2}, \quad \boxed{1}Тип 4. С логарифмом в основании и степени
Пример 4.1
(\log_2 x)^{\log_2 x} = 4Шаг 1: Введение замены переменной
t = \log_2 x\\ t^t = 4
Шаг 2: Методом подбора нашли t=2
Шаг 3: Возврат к исходной переменной
\log_2 x = 2 \Rightarrow x = 2^2 = 4
Шаг 4: Проверка ОДЗ
ОДЗ для исходного уравнения:
Выражение под логарифмом: x>0
Основание степени: log2x>0 (так как в степени стоит само выражение)
Проверяем x=4:
4>0✓
log24=2>0 ✓
\boxed{4}Тип 5. Уравнения вида a^x=x^b
a^x = x^b\\ ОДЗ: a > 0, \quad a \neq 1, \quad b > 0, \quad x > 0
Критерии существования решений
Общие свойства и методы решения
1. Логарифмирование (основной метод)
\begin{align*}
a^x &= x^b \\
\ln(a^x) &= \ln(x^b) \\
x \ln a &= b \ln x \\
\frac{\ln x}{x} &= \frac{\ln a}{b}
\end{align*}
Случай 1: ax=x (когда b=1)
a^x = x
Графически: пересечение показательной и линейной функций.
При x>0: может быть 0, 1 или 2 решения
При x<0: нет решений (левая часть > 0, правая < 0)
Случай 2: симметричный случай
x^b = b^x
Одним из решений всегда является x=b.
Пример 5.1
2^x = x^2 \\
Для x>0
C = \frac{\ln 2}{2} \approx 0.3466\\
Анализ: 0<0.3466<0.3679 ⇒ \text{2 решения}\\x = b\Rightarrow x =2\\ 2^2 = 4, \quad 2^2 = 4 \Rightarrow 4 = 4 \quad ✓
Проверяем x=4:
2^4 = 16, \quad 4^2 = 16 \Rightarrow 16 = 16 \quad ✓
b=2 (чётное) → ищем еще на x<0
Для x<0: 1 решение x≈−0.7667
Итого: 3 решения
\boxed{2} \quad \boxed{4}\quad \boxed{−0.7667}Пример 5.2
3^x = x^3 \\
Для x>0
Шаг 1: Преобразуем уравнение
Логарифмируем обе части (можно по любому основанию, например, натуральному):
\begin{align*}
3^x &= x^3 \\
\ln(3^x) &= \ln(x^3) \\
x \ln 3 &= 3 \ln x \\
\frac{\ln x}{x} &= \frac{\ln 3}{3}
\end{align*}Шаг 2: Используем таблицу значений функции
C = \frac{\ln 3}{3} \approx 0.3662\\
Анализ: 0<0.3662<0.3679 ⇒ \text{2 решения}\\Два решения.
Решение 1: x≈2.47805\\ Решение 2: x=3
Шаг 3: Проверка решений
3^3 = 27, \quad 3^3 = 27 \quad \Rightarrow 27 = 27 \quad ✓\\
3^{2.47805} \approx 15.217, \quad 2.47805^3 \approx 15.217 b=3 (нечётное) → на x<0: x3<0, но 3x>0 → нет решений
\boxed{2.47805} \quad \text{и} \quad \boxed{3}Таблица значений f(x)=lnx/x
| xx | lnx | f(x) | Примечание |
|---|---|---|---|
| 0.1 | -2.3026 | -23.026 | → -∞ |
| 0.2 | -1.6094 | -8.047 | |
| 0.5 | -0.6931 | -1.386 | |
| 0.7 | -0.3567 | -0.510 | |
| 1.0 | 0.0000 | 0.000 | f(1) = 0 |
| 1.5 | 0.4055 | 0.270 | |
| 2.0 | 0.6931 | 0.347 | f(2) |
| 2.5 | 0.9163 | 0.367 | |
| 2.7 | 0.9933 | 0.368 | Близко к max |
| e≈2.718 | 1.0000 | 0.3679 | МАКСИМУМ |
| 2.8 | 1.0296 | 0.368 | |
| 3.0 | 1.0986 | 0.366 | |
| 3.5 | 1.2528 | 0.358 | |
| 4.0 | 1.3863 | 0.347 | f(4) |
| 5.0 | 1.6094 | 0.322 | |
| 6.0 | 1.7918 | 0.299 | |
| 8.0 | 2.0794 | 0.260 | |
| 10.0 | 2.3026 | 0.230 | |
| 16.0 | 2.7726 | 0.173 | |
| 20.0 | 2.9957 | 0.150 | |
| 100.0 | 4.6052 | 0.046 | → 0⁺ |
Основные свойства:
\begin{align*}
a^{\log_a b} &= b \\
\log_a (m^n) &= n \cdot \log_a m \\
\frac{\ln x}{x} &\leq \frac{1}{e} \approx 0.3679
\end{align*}Критические константы:
\begin{align*}
\frac{1}{e} &\approx 0.3679 \quad \text{(максимум } \frac{\ln x}{x} \text{)} \\
e &\approx 2.718 \\
\frac{\ln 2}{2} &= 0.3466 \\
\frac{\ln 3}{3} &= 0.3662
\end{align*}