Логарифмические уравнения

Показательные и логарифмические уравнения — фундаментальные понятия в алгебре, широко применяющиеся в науке, технике и экономике для описания процессов роста, затухания и многих других явлений.

История: Понятие логарифма было введено в начале XVII века шотландским математиком Джоном Непером. Его работа «Описание удивительной таблицы логарифмов» (1614 г.) произвела революцию в вычислениях, позволив заменить трудоемкое умножение и деление на сложение и вычитание. Позже, благодаря трудам Эйлера, была установлена связь между логарифмами и показательной функцией.

Логарифмические уравнения · интерактивный тренажёр

🎯 Что это такое?

Логарифмическое уравнение — уравнение, в котором неизвестная находится под знаком логарифма или в основании логарифма.

Основные виды: logₐf(x) = b, logₐf(x) = logₐg(x), и более сложные комбинации.

1. Переход к показательной форме

Суть: Использовать определение логарифма: logₐf(x) = b ⇔ f(x) = aᵇ

log₂(x - 1) = 3

Решение: x - 1 = 2³ → x - 1 = 8 → x = 9
ОДЗ: x - 1 > 0 → x > 1 ✓

💡 Просто переходим от логарифма к степени

2. Приравнивание аргументов

Суть: Если logₐf(x) = logₐg(x), то f(x) = g(x) (при одинаковых основаниях).

log₃(x + 1) = log₃(2x - 5)

Решение: x + 1 = 2x - 5 → x = 6
ОДЗ: x + 1 > 0 и 2x - 5 > 0 → x > 2.5 ✓

💡 Основания одинаковы, приравниваем аргументы

3. Свойства логарифмов

Суть: Применение свойств для преобразования уравнения.

log₂x + log₂(x + 2) = 3

Решение: log₂[x(x + 2)] = 3 → x(x + 2) = 8 → x² + 2x - 8 = 0 → x = 2
ОДЗ: x > 0 ✓

💡 Сумма логарифмов = логарифм произведения

Определение и основные понятия

Логарифм числа b по основанию a (где a > 0, a ≠ 1, b > 0) — это показатель степени, в которую нужно возвести основание a, чтобы получить число b:

logₐb = x \text {тогда и только тогда, когда} aˣ = b

Пример: log₂8 = 3, так как 2³ = 84.

Для любых положительных чисел a, b, c (где a ≠ 1, c ≠ 1) и любого действительного p справедливы:

\begin{aligned} &\log_a(b \cdot c) = \log_a b + \log_a c \\ &\log_a\left(\frac{b}{c}\right) = \log_a b - \log_a c \\ &\log_a b^p = p \cdot \log_a b \\ &\log_a \sqrt[p]{b} = \frac{1}{p} \cdot \log_a b \quad (\text{для } p \neq 0) \\ &\log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} \log_a b \\ &\log_a b = \frac{1}{\log_b a} \quad (\text{формула перехода к новому основанию}) \\ &\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \quad (\text{ещё одна форма формулы перехода}) \\ &\log_a 1 = 0 \\ &\log_a a = 1 \end{aligned}

a^{\log_a b} = b \quad \text{(основное логарифмическое тождество)}

Логарифмическое уравнение

Логарифмическое уравнение — неизвестное под знаком логарифма:

\log_a f(x) = b, \text{где }a > 0, a ≠ 1, f(x) > 0

Общий алгоритм решения:

Сделать проверку: убедиться, что найденные корни удовлетворяют ОДЗ.
Найти ОДЗ (Область Допустимых Значений)!
- Основание логарифма > 0 и ≠ 1
- Аргумент всех логарифмов > 0
Преобразовать уравнение, используя свойства логарифмов, чтобы получить один из стандартных видов.
Решить полученное уравнение.

Основные типы уравнений:

1. Уравнение вида `logₐ f(x) = b`

Метод решения: Используем определение логарифма: f(x) = aᵇ

ОДЗ: f(x) > 0, a > 0, a ≠ 1
Решаем: f(x) = a^b
Проверяем корни по ОДЗ.

Пример 1. 1

log₃ (x² - 7) = 2

Шаг 1: Найдём ОДЗ (Область Допустимых Значений)

Аргумент логарифма должен быть положительным:

x² - 7 > 0\\ x² > 7\\ |x| > √7

Это означает, что x < -√7 или x > √7.
ОДЗ: x ∈ (-∞, -√7) ∪ (√7, +∞)

Шаг 2: Решим уравнение

Используем определение логарифма: logₐ b = c означает, что aᶜ = b.
В нашем случае a = 3, c = 2, b = x² - 7.

Получаем:

x² - 7 = 3²\\ x² - 7 = 9\\ x² = 9 + 7\\ x² = 16

Шаг 3: Найдём корни

x = ±√16\\ x = ±4

Шаг 4: Проверим корни на соответствие ОДЗ

Для x = -4: Проверяем условие |x| > √7. |-4| = 4, 4 > 2.65 — верно. Корень подходит.

Для x = 4: Проверяем условие |x| > √7. |4| = 4, √7 ≈ 2.65. 4 > 2.65 — верно. Корень подходит.

\boxed{-4} \quad \text{и} \quad \boxed{4}

Решите уравнения:

log₃ (2x - 5) = 2\\ log₅ (7x - 2) = 1\\ log_3(x - 5) = 4\\ \log_3 (2x - 1) = 2\\ \log_2 (x + 3) = 4

Ответы

x = 7
Решение: 2x - 5 = 3² => 2x = 14 => x=7. Проверка ОДЗ: 2*7-5=9>0 — верно.

x = 1

x = 86

x = 5

x = 13

2. Уравнение с «вложенными» логарифмами

Пример 2.1

\log_2 (\log_3 (\log_4 x)) = 0

Решение:

\begin{align*} &\log_3 (\log_4 x) = 2^0 = 1 \\ &\log_4 x = 3^1 = 3 \\ &x = 4^3 = 64 \end{align*}

ОДЗ:

x > 0, \log_4 x > 0, \log_3 (\log_4 x) > 0 ✓

\boxed{64}

3. Уравнение вида `logₐ f(x) = logₐ g(x)`

Метод решения: Используем свойство монотонности логарифмической функции. Если основания одинаковы и больше 0 и не равны 1, то можно приравнять аргументы.

ОДЗ: f(x) > 0, g(x) > 0, a > 0, a ≠ 1
Решаем: f(x) = g(x)
Проверяем корни по ОДЗ (очень важно!).

Пример 3. 1

log₂ (x + 1) = log₂ (2x - 5)

ОДЗ:

x + 1 > 0 => x > -1 \text{ и } 2x - 5 > 0 => x > 2.5

Решаем:

x + 1 = 2x - 5 => x = 6

Проверяем ОДЗ: 6 > 2.5 — верно.

\boxed{6}

Решите уравнения

log_2(x² + 3x) = log_2 (x + 6)\\ log_7(x^2 - 5) = log_7(3x - 1)\\ log_5 (2x-7) = log_5 (3x-12)\\ log_2(x-1) = log_2(2x-3)\\ \log_5 (2x - 1) = \log_5 (x + 7)\\ \log_2 (x^2 - 1) = \log_2 (3x - 3)

Ответы

x = 2

x² + 3x = x + 6 => x² + 2x - 6 = 0 => x=2, x=-3.\\ при x=2: 4+6=10>0 и 2+6=8>0 \quad \text{✓ (проверяем ОДЗ) } \\ при x=-3: 9-9=0 \quad \text{ (проверяем ОДЗ: аргумент не может быть равен 0)}.

x = 4

x = 5

x = 2

\begin{align*} &x - 1 = 2x - 3 \\ &x = 2 \quad \text{✓ (проверяем ОДЗ: } x > 1.5) \end{align*}

x = 8

x = 1, x = 2

Общий случай

Используем свойства логарифмов:

n \cdot log_a f(x) = log_af(x)^n\\ log_af(x) + log_ag(x) = log_af(x)\cdot g(x)\\ log_af(x) - log_ag(x) = log_af(x)/g(x)

Пример 3.2

\log_2(x + 3) + \log_2(x - 1) = \log_2(4x - 4)

ОДЗ:

\begin{cases} x + 3 > 0 \Rightarrow x > -3 \\ x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1 \\ 4x - 4 > 0 \Rightarrow x > 1 \end{cases} \Rightarrow x > 1

Преобразуем левую часть, используя свойство суммы логарифмов:

\log_2((x + 3)(x - 1)) = \log_2(4x - 4)\\ \log_2(x^2 + 2x - 3) = \log_2(4x - 4)

Потенцируем:

x^2 + 2x - 3 = 4x - 4\\ x^2 - 2x + 1 = 0\\ (x - 1)^2 = 0 \Rightarrow x = 1

Проверяем ОДЗ: x = 1 — не удовлетворяет (x > 1).

\text{нет решений}

Решите уравнения

\log_2 x - \log_2 (x - 1) = 1\\ \log_3 x + \log_3 (x + 6) = 3\\ 2\log_2 x - \log_2 (2x) = 3\\ \log_3 (x + 1) + \log_3 (x + 3) = 1

Ответы

х = 2

х = 3

х = 4

х = 0

4. Уравнения вида: `log_f(x) g(x) = c`

\log_{f(x)} g(x) = c

ОДЗ:

\begin{cases} f(x) > 0 \\ f(x) \neq 1 \\ g(x) > 0 \end{cases}

По определению логарифма:

g(x) = [f(x)]^c

Пример 4.1

\log_{(x-1)} (3x-5) = 2

Шаг 1: Записываем ОДЗ

x - 1 > 0 \\ x - 1 ≠ 1 \\ 3x - 5 > 0

Упрощаем:

\begin{cases} x > 1 \\ x \neq 2 \\ x > \frac{5}{3} \end{cases} \quad \Rightarrow \quad x \in \left(\frac{5}{3}, 2\right) \cup (2, +\infty)

Шаг 2: Решаем уравнение

3x - 5 = (x - 1)^2 \\ 3x - 5 = x^2 - 2x + 1 \\ 0 = x^2 - 5x + 6 \\ x^2 - 5x + 6 = 0

Решаем квадратное уравнение:

x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2}\\ x_1 = 3, \quad x_2 = 2

Шаг 3: Проверяем корни по ОДЗ

Для x = 3:

3 > 1 ✓\\ 3 ≠ 2 ✓\\ 3·3 - 5 = 4 > 0 ✓

Для x = 2:

2 > 1 ✓\\ 2 ≠ 2 ✗ \text{(нарушено условие!)} \\ 3·2 - 5 = 1 > 0 ✓

Шаг 4: Проверка подстановкой

\log_{(3-1)} (3·3-5) = \log_2 (9-5) = \log_2 4 = 2 \quad ✓

Анализ

x = 2 исключено из ОДЗ, так как основание логарифма не может равняться 1
x = 3 удовлетворяет всем условиям ОДЗ и является единственным решением
Интервал ОДЗ: x ∈ (5/3, 2) ∪ (2, +∞) — корень x = 3 попадает в правую часть

Проверка особых случаев:

При x - 1 = 1 ⇒ x = 2 — логарифм не определен
При 3x - 5 = 1 ⇒ x = 2 — тот же случай

Уравнение имеет единственное решение.

\boxed{3}

Пример 4.2

\log_{(2x-3)} (x^2 - 3x + 2) = 1

Решение:

\begin{align*} &x^2 - 3x + 2 = (2x - 3)^1 \\ &x^2 - 3x + 2 = 2x - 3 \\ &x^2 - 5x + 5 = 0 \\ &x = \frac{5 \pm \sqrt{5}}{2} \end{align*}

ОДЗ:

\begin{align*} &2x - 3 > 0 ⇒ x > 1.5\\ &2x - 3 ≠ 1 ⇒ x ≠ 2\\ &x² - 3x + 2 > 0 ⇒ x < 1 \text{ или } x > 2 \end{align*}

\boxed{(5 + √5)/2}

Пример 4.3

\log_{(x+1)} (x^2 - 8) = 0

Шаг 1: Записываем ОДЗ

x + 1 > 0 \\ x + 1 \\ x^2 - 8 > 0

Упрощаем:

\begin{cases} x > -1 \\ x \neq 0 \\ x^2 > 8 \Rightarrow x < -2\sqrt{2} \quad \text{или} \quad x > 2\sqrt{2} \end{cases}

Учитывая x > -1, получаем:

x > 2\sqrt{2} \approx 2.828 \quad \text{и} \quad x \neq 0 \quad \text{(автоматически выполнено)}

Шаг 2: Решаем уравнение

\log_{(x+1)} (x^2 - 8) = 0 \\ x^2 - 8 = (x + 1)^0 \\ x^2 - 8 = 1 \\ x^2= 9 \\ x = \pm 3

Шаг 3: Проверяем корни по ОДЗ

Для x = 3:

3 > -1 ✓
3 ≠ 0 ✓
3^2 - 8 = 1 > 0 ✓
Корень подходит!

Для x = -3:

(-3)^2 - 8 = 1 > 0 ✓
Корень не подходит!

-3 > -1 ✗ (нарушено условие!)

-3 ≠ 0 ✓

Анализ

x = -3 исключено из ОДЗ, так как не выполняется x > -1
x = 3 удовлетворяет всем условиям ОДЗ:
- 3 + 1 = 4 > 0 (основание > 0)
- 4 ≠ 1 (основание ≠ 1)
- 9 - 8 = 1 > 0 (аргумент > 0)

Особый случай: При x^2 - 8 = 1 логарифм равен 0 при любом допустимом основании — это и использовалось в решении.

Уравнение имеет единственное решение.

\boxed{3}

Пример 4.4

log_{(2x² + 3x - 1)} (x + 3) = 1/2

Шаг 1: Записываем ОДЗ

2x^2 + 3x - 1 > 0 \\ 2x^2 + 3x - 1 \neq 1 \\ x + 3 > 0

Упрощаем:

\begin{cases} 2x^2 + 3x - 1 > 0 \\ 2x^2 + 3x - 2 \neq 0 \\ x > -3 \end{cases}

Шаг 2: Решаем уравнение

\log_{(2x² + 3x - 1)} (x + 3) = \frac{1}{2} \\ x + 3 = (2x^2 + 3x - 1)^{1/2} \\ (x + 3)^2 = 2x^2 + 3x - 1 \quad \text{(возводим в квадрат)}\\ x^2 + 6x + 9 = 2x^2 + 3x - 1 \\ 0 = x^2 - 3x - 10 \\ x^2 - 3x - 10 = 0\\ x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2} = \frac{3 \pm 7}{2}\\ x_1 = 5, \quad x_2 = -2

Шаг 3: Проверяем корни по ОДЗ

Для x = 5:

2·25 + 3·5 - 1 = 50 + 15 - 1 = 64 > 0 ✓
64 ≠ 1 ✓
5 + 3 = 8 > 0 ✓
Корень подходит!

Для x = -2:

-2 + 3 = 1 > 0 ✓
Корень не подходит!

2·4 + 3·(-2) - 1 = 8 - 6 - 1 = 1 > 0 ✓

1 ≠ 1 ✗ (нарушено условие!)

Важно: При возведении в квадрат могли появиться посторонние корни, но в данном случае их нет.

Уравнение имеет единственное решение.

\boxed{5}

Пример 4.5

\log_{x+2} (x^2 - 3x + 2) = 1

Решение:

\begin{align*} &x^2 - 3x + 2 = (x + 2)^1 \\ &x^2 - 3x + 2 = x + 2 \\ &x^2 - 4x = 0 \Rightarrow x(x - 4) = 0 \\ &x = 0, \quad x = 4 \end{align*}

ОДЗ:

x + 2 > 0, x + 2 ≠ 1 ⇒ x > -2, x ≠ -1\\ x² - 3x + 2 > 0 ⇒ x < 1 \text{ или }x > 2

Проверка:

x = 0: 0 > -2, 0 ≠ -1, 0²-3·0+2=2>0 ✓\\ x = 4: 4 > -2, 4 ≠ -1, 16-12+2=6>0 ✓

\boxed{0} \quad \text{и} \quad \boxed{4}

Особые случаи и ловушки

Случай 1: f(x) = 1

\log_1 g(x) \quad \text{— не определено!}

Случай 2: g(x) = 1

\log_{f(x)} 1 = 0 \quad \text{при любом допустимом } f(x)

Случай 3: f(x) = g(x)

\log_{f(x)} f(x) = 1 \quad \text{при любом допустимом } f(x)

Алгоритм решения

Алгоритм решения
Записать ОДЗ для всех условий
Применить определение: g(x) = [f(x)]^c
Решить полученное уравнение
Отобрать корни, удовлетворяющие ОДЗ
Сделать проверку подстановкой

Полезные замечания

Всегда проверяйте все три условия ОДЗ
Если c = 0, то g(x) = 1 (упрощает решение)
Если c = 1, то g(x) = f(x) (упрощает решение)

Особое внимание к области определения — здесь чаще всего теряются корни

Решите уравнения

\log_{x-1} (x^2 - 5x + 7) = 2\\ \log_{x+2} (2x^2 - x - 3) = 2\\ \log_{2x} (x^2 - 3x + 2) = 1

Ответы

х = 3

х = 5

х = 2

5. Уравнения A·[log_a f(x)]² + B·log_a f(x) + C = 0

A\cdot[log_a f(x)]² + B\cdotlog_a f(x) + C = 0, f(x) > 0, a > 0, a \neq 1

Замена: t = log_a x\\ A·t² + B·t + C = 0

Пример 5.1

log²₂ x - 3log₂ x + 2 = 0

ОДЗ: x > 0

Замена: t = log₂ x. Уравнение принимает вид:

t² - 3t + 2 = 0

Решаем квадратное уравнение: t₁ = 1, t₂ = 2

Обратная замена:

log₂ x = 1 => x = 2¹ = 2\\ log₂ x = 2 => x = 2² = 4

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

\boxed{2} \quad \text{и} \quad \boxed{4}

Решите уравнения

log²₃ x - 4log₃ x + 3 = 0\\ lg^2(x) - 3lg(x) + 2 = 0\\ (\log_2 x)^2 - 4\log_2 x + 3 = 0

Ответы

x = 3; x = 27
Решение: Замена t = log₃ x. Уравнение: t² - 4t + 3 = 0 => t=1, t=3.
Обратная замена: log₃ x = 1 => x=3; log₃ x = 3 => x=27. Оба корня > 0.

x = 10; x = 100

х = 2, х = 8

6. Уравнения A·log_a f(x) + B·log_b g(x) = 0

A\cdotlog_a f(x) + B\cdotlog_b g(x) = 0

ОДЗ

\begin{cases} f(x) > 0 \\ g(x) > 0 \\ a > 0, \ a \neq 1 \\ b > 0, \ b \neq 1 \end{cases}

Метод решения

Привести все логарифмы к одному основанию (чаще всего к натуральным логарифмам или к основанию одного из логарифмов):

\log_a f(x) = \frac{\ln f(x)}{\ln a}, \quad \log_b g(x) = \frac{\ln g(x)}{\ln b}

Уравнение принимает вид:

A \cdot \frac{\ln f(x)}{\ln a} + B \cdot \frac{\ln g(x)}{\ln b} = 0

Умножить на общий знаменатель и преобразовать

Решить полученное уравнение

Пример 6. 1

\log_2 x + \log_4 (x - 1) = 0

Решение:

Шаг 1: Приводим к основанию 2

\begin{align*} &\log_4 (x - 1) = \frac{\log_2 (x - 1)}{\log_2 4} = \frac{\log_2 (x - 1)}{2} \\ &\text{Уравнение: } \log_2 x + \frac{\log_2 (x - 1)}{2} = 0 \end{align*}

Шаг 2: Умножаем на 2

2\log_2 x + \log_2 (x - 1) = 0

Шаг 3: Объединяем логарифмы

\begin{align*} &\log_2 x^2 + \log_2 (x - 1) = 0 \\ &\log_2 [x^2 (x - 1)] = 0 \end{align*}

Шаг 4: Решаем

\begin{align*} &x^2 (x - 1) = 2^0 = 1 \\ &x^3 - x^2 - 1 = 0 \end{align*}

Шаг 5: ОДЗ и проверка

\begin{cases} x > 0 \\ x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad x > 1

Кубическое уравнение x³ - x² - 1 = 0 имеет один корень x ≈ 1.4656 (попадает в ОДЗ)

\boxed{1.4656}

7. Уравнения log_a f(x) = log_b g(x)

Это уравнения, содержащие логарифмы с разными основаниями от разных функций. Для решения необходимо привести логарифмы к одному основанию.

log_a f(x) = log_b g(x)

ОДЗ

f(x) > 0, g(x) > 0, a,b > 0, a,b \neq 1

Если основания логарифмов разные, часто полезно привести их к одному основанию.

Формулы перехода

\log_a b = \frac{1}{\log_b a} \quad (\text{формула перехода к новому основанию}) \\ \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \quad (\text{ещё одна форма формулы перехода}) \\

Пример 7.1

log₂ x + log₄ x = 3

ОДЗ: x > 0

Приведем log₄x к основанию 2:

\log_4 x = \frac{\log_2 x}{\log_2 4}= \frac{\log_2 x}{2}

Подставляем:

log₂ x + (1/2)log₂ x = 3 => (3/2)log₂ x = 3 => log₂ x = 2

Решаем:

x = 2² = 4

Корень удовлетворяет ОДЗ.

\boxed{4}

Пример 7.2

\log_4 x + \log_2 x = 6

\begin{align*} &\frac{\log_2 x}{\log_2 4} + \log_2 x = 6 \\ &\frac{1}{2}\log_2 x + \log_2 x = 6 \\ &\frac{3}{2}\log_2 x = 6 \Rightarrow \log_2 x = 4 \\ &x = 2^4 = 16 \end{align*}

\boxed{16}

Решите уравнения

\log_4 x + \log_2 x = 3\\ \log_3 (x - 1) = \log_9 (x + 3)\\ \frac{1}{\log_2 x} + \frac{1}{\log_4 x} = 3\\ \log_2 (x + 1) + \log_3 (x + 1) = \log_6 (x + 1)\\ \log_x 2 \cdot \log_{2x} 2 = \log_{4x} 2

Ответы

х = 4

х = 7

х = 2

х = 0

х = 4 и х = 1/2

Пример 7.3

\log_2 x \cdot \log_3 x = \log_2 x + \log_3 x

Решение:

Пусть t = log₂ x, тогда

log₃ x = t / log₂ 3 = t / (ln3/ln2) = t \cdot (ln2/ln3)

t \cdot \left(t \cdot \frac{\ln 2}{\ln 3}\right) = t + t \cdot \frac{\ln 2}{\ln 3}\\ \frac{\ln 2}{\ln 3} \cdot t^2 = t \left(1 + \frac{\ln 2}{\ln 3}\right)

Если t ≠ 0:

\frac{\ln 2}{\ln 3} \cdot t = 1 + \frac{\ln 2}{\ln 3}\\ t = \frac{1 + \frac{\ln 2}{\ln 3}}{\frac{\ln 2}{\ln 3}} = \frac{\ln 3 + \ln 2}{\ln 2} = \frac{\ln 6}{\ln 2} = \log_2 6\\ x = 2^{\log_2 6} = 6

Случай t = 0:

t = 0 \Rightarrow \log_2 x = 0 \Rightarrow x = 1

Проверка ОДЗ

Для x = 1:

1 > 0 ✓

Для x = 6:

6 > 0 ✓

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

\boxed{6} \quad \text{и} \quad \boxed{1}

Пример 7.4

\log_2 (x + 1) + \log_3 (x + 1) = \log_6 (x + 1)

Решение:

\begin{align*} &\frac{\ln(x+1)}{\ln 2} + \frac{\ln(x+1)}{\ln 3} = \frac{\ln(x+1)}{\ln 6} \\ &\ln(x+1)\left(\frac{1}{\ln 2} + \frac{1}{\ln 3} - \frac{1}{\ln 6}\right) = 0 \\ &\ln(x+1) = 0 \Rightarrow x = 0 \end{align*}

\boxed{0}

8. «Симметричное» уравнение

Пример 8.1

\log_2 x + \log_x 2 = 2

ОДЗ:

x > 0, x \neq 1

Решение

\begin{align*} &\text{Замена: } t = \log_2 x \Rightarrow \log_x 2 = \frac{1}{t} \\ &t + \frac{1}{t} = 2 \Rightarrow t^2 - 2t + 1 = 0 \Rightarrow (t-1)^2 = 0 \\ &t = 1 \Rightarrow \log_2 x = 1 \Rightarrow x = 2 \end{align*}

\boxed{2}

Пример 8.2

\frac{1}{\log_2 x} + \frac{1}{\log_3 x} = \frac{1}{\log_6 x}

Решение:

\begin{align*} &\log_x 2 + \log_x 3 = \log_x 6 \\ &\log_x (2 \cdot 3) = \log_x 6 \\ &\log_x 6 = \log_x 6 \quad \text{тождество!} \end{align*}

Ответ:

x \in (0,1) \cup (1,\infty)

9. Логарифм в степени

(a^n)^{\log_a x} = b

(a^n)^{\log_a x} = a^{n \cdot \log_a x} = a^{\log_a (x^n)} = x^n

Общая формула:

(a^n)^{\log_a x} = b\\ x^n = b \quad \Rightarrow \quad x = \sqrt[n]{b}

ОДЗ:

При нечётном n: любое b

x > 0 (аргумент логарифма)
a > 0, a ≠ 1 (основание логарифма)

При чётном n: b ≥ 0, x = ±√[n]{b} (но x > 0 по ОДЗ)

Пример 9.1

8^{\log_2 x} = 64 \\

Решение

\begin{align*} (2^3)^{\log_2 x} &= 64 \\ x^3 &= 64 \\ x &= \sqrt[3]{64} = 4 \end{align*}

Проверка: 8^(log₂ 4) = 8^2 = 64 ✓

Проверь себя

Тест: Логарифмические уравнения

Вопрос 1 из 10

Дополнительно

Источник: https://школадобра.рф/wp-content/uploads/2019/12/показательная-и-логарифмическая-функции.pdf

Источник: https://doroga-v-shkolu.ru/images/dokumenty/200/063.pdf

Источник: https://dgunh.ru/content/glavnay/ucheb_deyatel/uposob/up-matem-3.pdf

Источник: https://школадобра.рф/wp-content/uploads/2019/12/показательная-и-логарифмическая-функции.pdf

Источник: https://fm11.ucoz.ru/11math4UM.pdf

Источник: https://mathcourse.ru/wp-content/uploads/2022/10/zadanie-6-preobrazovanie-logarifmicheskih-vyrazhenij.pdf

ТЕМЫ

ЕГЭ ПРОФИ

Логарифмические уравнения